〖附13套高考模拟卷〗河北省冀州中学2020-2021学年高三下学期第一次月考数学含解析

河北省冀州中学2020-2021学年高三下学期第一次月考数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且
直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A
．
4
B
．
3
C
．
5
D
．
2
2．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A
．5
-
B
．5
-
C
．
5
D ．25
-
3．已知函数()x
e f x ax x
=-，(0,)x ∈+∞，当21
x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞
B ．(,)e -∞
C ．,
2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
4．设12,F F 分别是双线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线
的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=
B
．0y ±=
C
．0x ±=
D ．30x y ±=
5．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为19
30
，且()()
23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49
-
B ．
23
C ．
3
2
或49-
D ．
3
2
6．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，
得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )
A ．10
B ．50
C ．60
D ．140
7．直角坐标系 xOy 中，双曲线22
22 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、
B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率
e =（ ） A ．
4
3
B ．
54
C ．
65
D ．
76
8．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +
B ．66i -
C ．5i
D ．13
9．若x yi +(,)x y ∈R 与31i
i
+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0
B ．3
C ．－1
D ．4
10．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：
①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3
B ．3i
C ．3±
D ．3i ±
12．函数()()ln 12f x x x
=++-的定义域为（ ） A ．()2,+∞
B ．()()1,22,-⋃+∞
C ．()1,2-
D ．
1,2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设全集U =R ，{|31,}A x x x Z =-<≤∈，{
}
2
|20,B x x x x R =--≥∈，则U
A B =______.
14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，
5,15,25PA BC PB AC PC
AB ======，则球O 的表面积为__________.
15．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 16．已知()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
()(1)ln f x x ax a x =-+-
（I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()1112221
2,,P x f x P x f x x
x <，存在()012,x x x ∈，
使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：12
02
x x x +<. 18．（12分）已知数列{}n a 满足
112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，31
5
a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求证：数列1
{}n
a 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{
}n a 的前n 项和为n S ，+114
n n n n b a a S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点.
（1）求证：AC//平面DQF ；
（2）若∠ABC=60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.
20．（12分）己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （1）求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ；
（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：1312
2525n T -≤≤
. 21．（12分）已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？
（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（10分）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，4AB =，23EB =．
（1）求证：DE ⊥平面ACD ；
（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B-ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】 【分析】
先求出直线l 的方程为y 22
2ab a b =
-（x ﹣c ），与y ＝±b
a
x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】
双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，
∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 22
2ab
a b =
-，
∴直线l 的方程为y 22
2ab
a b =
-（x ﹣c ），
与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 22
2abc
a b
=+，
∵2AF FB =， ∴
222abc a b =+2•22
23abc
a b -，
∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 23
c a =
=
． 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 2、A 【解析】 【分析】
设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β
因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2
2
25
sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90α
β，
所以25
cos cos(90)sin 5
αββ
， 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 3、D 【解析】
【分析】 由
()()122
1
f x f x x x <
变形可得()()1122x f
x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由
()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.
【详解】
(0,),x ∈+∞
()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.
则()20x
g x e ax '=-≥恒成立.
2x
e a x
∴≤.
令()x e m x x =,则2
(1)()x
x e m x x -'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.
min 2()(1),2
e
a m x m e a ∴≤==∴≤
故选:D. 【点睛】
本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 4、B 【解析】 【分析】
由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【详解】
如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒
∠=，
和. 故选：B
【点睛】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 5、D 【解析】 【分析】
根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】
依题意，得()()
230a b a b -⋅+=，即2
2
3520a a b b -⋅-=.
将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32
λ=
（4
9λ=-舍去）.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 6、C 【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×
50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为15
2006050
⨯=，故选C 7、D 【解析】 【分析】
根据题干得到点A 坐标为()
33x x ，代入抛物线得到坐标为()
63b b ，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】
因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为3
3
y x =
，设点A 坐标为()
33x x ，代入抛物线得到
x=2b,故点A 的坐标为()
6b ，代入双曲线得到22137
.366
b e a =⇒== 故答案为：D. 【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 8、A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】
由复数的乘法法则得()()2
2332656125i i i i i +-=+-=+.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【解析】 【分析】 计算
3121i
i i
+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】
3121i
i i
+=+-，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念. 10、B 【解析】 【分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正
的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与
CD 所成角判断④的正误．
【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==，1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又
11//BC B C ，∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==，而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =，而在Rt CBD ∆中，5CD =，
222DF CF CD ∴+=，
即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， (
)1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (
)
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 11、C 【解析】
【分析】
设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】
设z a bi =+,则z a bi =-,
因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】
本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用. 12、C 【解析】 【分析】 【详解】
函数的定义域应满足20
,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨
+>⎩
故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{0,1} 【解析】 【分析】
先求出集合A ，B ，然后根据交集、补集的定义求解即可． 【详解】
解：{2,1,0,1}A =--，{|1B x x =≤-或2}x ≥； ∴
{|12}U
x x B =-<<；
∴{0,1}U
A B ⋂=．
故答案为：{0,1}． 【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题． 14、30π 【解析】
如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体，球O 为长方体的外接球，长、宽、高分别为,,a b c ，计算得
到30
2
R =
，得到答案. 【详解】
如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体，球O 为长方体的外接球，长、宽、高分别为,,a b c ，
则22222225,15,20,
a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，所以22230a b c ++=，所以球O 的半径302R =，
则球O 的表面积为2
2
3044302S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
.
故答案为：30π.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥P ABC -补成长方体是解题的关键. 15、1 【解析】
试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为1． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量
，
，，
，
中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结
合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用. 16、10 【解析】 【分析】
根据()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得到46
n n C C =，再利用组合数公式求解.
因为()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，
所以46
n n C C =，
即
()()!!
4!4!6!6!
n n n n =-- ，
所以()()
4
565n n --=⨯，
即 29100n n --= ， 解得10n =. 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)见解析(2)见证明 【解析】 【分析】
(1)对函数()f x 求导，分别讨论0a ≥，20a -<<以及2a =-，即可得出结果；
(2)根据题意，由导数几何意义得到
()()()()11
2
2110122122
ln
2R P x a f x f x x f x k x x a x x x x -===+-++
+'-，将证明12
02x x x +<转化为证明()2121122ln x x x x x x ->+即可，再令21
x t x =，设()()21ln 1t g t t t -=-
+ (1)t >，用导数方法判断出()g t 的单调性，进而可得出结论成立. 【详解】
（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()1221x x a a f x x a x x
-+=-+=
'-
， 令()0f x '=，得1x =或2
a
x =-
. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.
②当20a -<<时，12
a
x -
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02
a
x <<-
或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，()1,+∞.
③当2a =-时，0x >时，()()2
210x f x x
-'=>，函数()f x 单调递增；
此时，()f x 的减区间为()0,+∞.
综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞： 当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.()1,+∞；
当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021
R P f x f x f x k x x ==
'--
()()2222211121
1ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤
-+---+-⎣
⎦⎣⎦=-
()211222
ln
2x a x x x a x x =+-++
+
由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫
=+-+-
⎪
+⎭
'⎝. 易知，导函数()()21a
f x x a x
=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<
，只要证()12
02
x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭
'， 即2
1
2112
ln
2x a x a x x x x <--+，即证()212112
2ln x x x x x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =
，则()()
21ln 1
t g t t t -=-
+ (1)t >. 所以()
()()()2
22
114
011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >，
所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数，
所以()()10g t g >=，即()21ln 01
t t t --
>+，
所以()21ln 1
t t t ->
+，即
ln 2
11
t t t >-+， 即()212112
2ln
x x x x x x ->+. 故有12
02
x x x +<（得证）. 【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.
18、（1）见解析；（2）84
n n
T n =+
【解析】 【分析】 【详解】
（1）因为112(2)n n
n n a a n a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=，
所以数列1{}n
a 是等差数列， 设数列1
{
}n
a 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠， 因为125,,a a a 成等比数列，所以2
125a a a =，所以
2152111a a a ⋅=，所以2333
111
(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为31
5
a =
，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-， 解得0d =（舍去）或2d =，所以3
11(3)21n n d n a a =+-=-，所以121
n a n =-． （2）由（1）知121
n a n =
-，2(121)
2n n n S n +-=
=， 所以2+1111111()4(21)(21)44(21)(21)82121
n n n n n b a a S n n n n n n =-=
-==--+-+-+， 所以1111
1111(1)(1)8335
212
182184
n n
T n n n n =⨯-+-+
+
-=⨯-=-+++． 19、（1）见解析（2 【解析】 【分析】
（1）连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，通过证明//QM AC ，证得//AC 平面PQF .
（2）建立空间直角坐标系，利用直线BC 的方向向量和平面DQF 的法向量，计算出线面角的正弦值. 【详解】
（1）证明：连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，因为四边形CDEF 为正方形，所以点M 为CE 的中点，又因为Q 为AE 的中点，所以//QM AC ；
QM ⊂平面,DQF AC ⊄平面DQF ，
//AC ∴平面DQF
.
（2）解：
2AB BC =，设1BC =，则2AB =，在ABC 中，60ABC ︒∠=，由余弦定理得：
22221221cos603AC ︒=+-⨯⨯⨯=，
222,AC BC AB AC BC ∴+=∴⊥．
又
,AC FB CB BF B ⊥⋂=，AC ∴⊥平面FBC ．AC FC ∴⊥． ,CD FC FC ⊥∴⊥平面ABCD ．
如图建立的空间直角坐标系D xyz -． 在等腰梯形ABCD 中，可得1CD CB ==．
3133(
,0),(0,0,1),(,0),(0,1,0),(0,1,1)22A E B C F ∴-则311,)42
Q -． 那么31311
(,,0),(,,),(0,1,1)242
BC DQ DF =-
-=-= 设平面DQF 的法向量为(,,)n x y z =，
则有00n DQ n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即311042
x y z y z -+=⎪+=⎩
，取1y =，得(3,1,1)n =-． 设BC 与平面DQF 所成的角为θ，则||25
|sin |cos ,|||||
CB CB CB n n n θ⋅=<>==⋅．
所以BC 与平面DQF 25
．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 20、（1）13n =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据1a ，11a ，13a 成等比数列，有2
11113a a a =⋅，结合公差0d ≠，125a =，求得通项，再解不等式
0n a ≥.
（2）根据（1）
()()1111112272252227225n n a a n n n n +⎛⎫
==-- ⎪-+-+-+-+⎝⎭
，用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可. 【详解】
（1）由题意，可知2
11113a a a =⋅， 即()()2
1111012a d a a d +=⋅+， ∴()12250d a d +=.
又125a =，0d ≠，∴2d =-， ∴227n a n =-+. ∴2270n -+≥， ∴13.5n ≤，
故满足题意的最大自然数为13n =. （2）
()()1111112272252227225n n a a n n n n +⎛⎫==-- ⎪-+-+-+-+⎝⎭， ∴122334
1
111
1
n n n T a a a a a a a a +=
+++. 1111111225232321227225n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+
- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
1111122522550504n n
⎛⎫=--=-+ ⎪
-+-⎝⎭. 从而当12n ≤时，11
50504n T n
=-
+-单调递增，且0n T >， 当13n ≥时，1150504n T n
=-+-单调递增，且0n T <， 所以1312n T T T ≤≤， 由121225T =
，131325
T =-知不等式成立. 【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）2
4x ay =，抛物线；（2）存在，()
(),11,-∞-+∞.
【解析】 【分析】
（1）设(),Q x y
y a =+，化简即得；
（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决. 【详解】
（1）设(),Q x
y y a =+，化简得2
4x ay =，
所以动圆圆心Q 的轨迹方程为2
4x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.
（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
.
因为2
4x y a
=，所以2x y a '=，
从而直线PA 的斜率为2
402t a
t a
t a
+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.
要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.
设直线m 的方程为y kx a =-，代入2
4x ay =并整理，
得22440x akx a -+=. 首先，()2
2
1610a
k
∆=->，解得1k <-或1k >.
其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则124x x ak +=，2
124x x a =.
()()2112121212
FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=
+= ()()()
2112121212
2222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+=
=-
2
24204a ak
k a
⋅=-
=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.
22、（1）见解析（2
）()4)V x x x =<<
． 【解析】 【分析】
（1）先证明DC BC ⊥，BC AC ⊥，故BC ⊥平面ADC ．由//DE BC ，即得证； （2）可证明BE ⊥平面ABC
，结合条件表示出()3
V x x =，利用均值不等式，即得解. 【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴//CD BE ，//BC DE ．
∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥． ∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥， 且DC
AC C =，,DC AC ⊂平面ADC ，
∴BC ⊥平面ADC ．
∵//DE BC ，∴DE ⊥平面ADC ． （2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ， ∴BE ⊥平面ABC ．
在Rt ABE △中，4AB =，EB =
在Rt ABC △中，∵AC x =，∴4)BC x =<<，
∴11
22
ABC
S
AC BC x =
⋅=
∴()4)3
ABC E V x V x x -==
<<三棱锥． ∵()2
2222
1616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当2216x x =-，即x =
∴当x =． 【点睛】
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2020-2021高考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．向量1,tan 3a α⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
（ ） A ．
13
B ．22
-
C ．2-
D ．13
-
2．已知函数()2
ln e x f x x =，若关于x 的方程2
1[()]()08
f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3
(0,)4
B ．2(0,
)2
C ．23(
,)24
D ．2(
,1)2
3．已知非零向量a ，b 满足()
2a b a -⊥，()
2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 4．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）
A ．
12
33
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC + 5．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）
A ．32e e
+
B ．22e e +
C ．32e e -
D ．22
e e -
6．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++
+，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为
( ) A ．1
B ．－1
C ．8l
D ．－81
7．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82
B ．8
C
．42
D ．4
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12
O O ，的半径分别为12r r ，，则1
2
r r =（ ）
A ．
51
- B ．32- C ．21-
D ．23-
9．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =-<<，则集合A B 子集的个数为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
10．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -
B ．2i
C ．1i -+
D ．0
11．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．8
3
C ．6
D ．8
12． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383
B ．57171
C ．59189
D ．61242
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知椭圆Г：22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长
AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________. 14．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y≥−1，则3x+y 的最大值_____
15．某种牛肉干每袋的质量()m kg 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为(
)2
2,N σ
，
(1.9 2.1)0.98P m =.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是
_____袋.
16．已知2
2
2,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）
cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；
③sin sin 2
A C
b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________
，b =4a c +=，求
ABC ∆的面积.
18．（12分）已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）.
（1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-，求C 的方程；
（2）当0OA OB ⋅=时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 19．（12分）已知函数()()2
14f x x a a R x =-+-
∈，ln ()x
g x x
=
. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
（2）用{}max ,m n 表示m 、n 中的最大值，设函数()()(){}()max ,0h x xf x xg x x =>，当0<<3a 时，
讨论()h x 零点的个数.
20．（12分）若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠） （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232
n c c c ++⋯+<. 21．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.
（1）求角C 的值；
（2）求n p ⋅的最大值.
22．（10分）如图，过点()2,2M 且平行与x 轴的直线交椭圆()2
202
x y m m +=>于A 、B 两点，且
3AM MB =.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M 且斜率为正的直线交椭圆于段C 、D ，直线AC 、BD 分别交直线2x =于点E 、F ，求证：
11ME MF
-是定值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴
1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题. 2、C
【分析】
求导，先求出()f x
在(x ∈
单增，在)
x ∈+∞
单减，且max 1
()2
f x f ==
知设()f x t =，则方程2
1
[()]()08
f x mf x -+
=有4个不同的实数根等价于方程 2108
t mt -+=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，2
43
2ln (12ln )()e x xe x
e x x
f x x x '⋅--==
， 令()0f x '=，解得1
ln 2
x =
，x =
x ∈时，()0f x '>，
当)x ∈+∞，()0f x '<
，且ln 1
2
e f e =
=， 故方程2
108
t mt -+
=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，
故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211
082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪
⎩
解得3,)24
m ∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 3、B 【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a 与b 的夹角. 【详解】
根据平面向量数量积的垂直关系可得()
2
220a b a a a b -⋅=-⋅=，
(
)
2
220b a b b a b -⋅=-⋅=，
所以2
2
2a
b a b ==⋅，即a b
=，
由平面向量数量积定义可得
2
2cos ,a a b a b
=⋅，
所以2
cos ,2
a b =
，而[],0,a b π∈， 即a 与b 的夹角为4
π. 故选：B 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 4、B 【解析】 【分析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA
=-代入化简即可. 【详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中
5、A 【解析】 【分析】
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【详解】
解：()(1)(2)0x
f e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+， 设()(2)x
y g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，
当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，
当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，
分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，
，
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整
∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >
∴32
e e
e m +<≤，
故实数m 的最大值为32
e e
+，
故选：A 【点睛】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 6、B 【解析】 【分析】
根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】
因为(1)n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得5n =，
令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a ++
+=，
令1x =，则()5
01251243a a a a λ+=++++=，
解得2λ=
令1x =-，则()()5
5
01251211a a a a -=-+-+-=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题. 7、C 【解析】 【分析】
将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值． 【详解】
F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241
y x
y x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|＝()
2
1212436442x x x x +-=-=．
故选C ． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 8、D 【解析】 【分析】
由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】
根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1
222132
AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此
(
)
13131r +=-，得123r =-，所以12
23r
r =-.
故选：D 【点睛】
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养 9、B
【分析】 首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.
【详解】
解：
{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，
{2,0,1}A B ∴=-，
A B ∴子集的个数为328=.
故选：B . 【点睛】
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 10、B 【解析】 【分析】
根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】
22(1)22,21i
z i i z i i
+-=+=
=-. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题. 11、A 【解析】 【分析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】
由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11
V 1222232
=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】
本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 12、C 【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835
n ≤. 故该数列各项之和为5857
582335591892
⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列的应用，属基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、
3
【解析】 【分析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形
12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率
【详解】
如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB|.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a−t ，所以|AB|=a+t=|BF 1|=2a−t ，解得a=2t ，即|AB|=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO=θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e=22||||
OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ=
=-，所以21sin 3θ=，即e=sin θ
故答案为：
3
.
【点睛】
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
14、5.
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，令z ＝3x+y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由题意1,11y y x y
-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.
设3,3z x y y z x =+=-,
当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.
故答案为：5
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15、1
【解析】
【分析】
根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg 的袋数的估计值.
【详解】
由于2μ=，所以()10.981.90.012
P m -<==，所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg 的袋数大约是1000.011⨯=袋.
故答案为：1
【点睛】
本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.
16、1-
【解析】
【分析】
先求()4f ，再根据()4f 的范围求出()4f f ⎡⎤⎣⎦即可.
【详解】
由题可知()24log 42f ==，
故()()2
42251f f f ⎡⎤==-=-⎣⎦. 故答案为：1-.
【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
【解析】
【分析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积．
【详解】
在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.
cos sin )sin sin B C A C B -=.
由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
得sin sin sin B C C B =.。