§2.2 冲激响应和阶跃响应
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§2.2 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应
•阶跃响应
一、冲激响应
1．定义
}
0{T ()
t δ()
t h 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h (t)。
h (t)=T[{0},δ(t)]
举例
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
响应及其各阶导数(最高阶为n 次)
)
(d )
(d d )(d d )(d )(d )
(d d )(d d )(d 011
11
011
11
t f b t
t f b t
t f b t
t f b t y a t
t y a t
t y a t t y m m m m
m m
n n n n
n ++++=
++++------ΛΛ对于LTI 系统,可以用一n 阶微分方程表示
()()()()()())
()()()()()()()(0111101111t b t b t b t b t h a t h a t h
a
t h m m m m n n n δδδδ++++=++++----ΛΛ激励及其各阶导数(最高阶为m 次)
令f (t )=δ(t )
则y (t )=h (t )
•h (t )解答的形式
例:当特征根均为单根时
)(e )(1t C t h n i t i i ελ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=∑=由于δ(t )及其导数在t≥0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。()()()()()()及其各阶导数。
应包含时，当；
中应包含时，当及其各阶导数；
不含时，当t t h m n t t h m n t t h m n δδδ<•=•>•②与n,m 相对大小有关
①与特征根有关
举例
解：求系统的冲激响应。)()(6d )(d 5d )(d 22
t f t y t
t y t t y =++将f (t )→δ(t )，y (t )→h (t )
)()(6d )
(d 5d )(d 2
2
t t h t
t h t t h δ=++0
_)0(_)0('==h h 1
)0('0)0(=+=+h h )
()e e
()(0
)(e e )(3232213221t C C t h t h C C t h t
t
t
t
p t
t h ε------+==+=①齐次解：②特解：③全解：
解：)(2d )(d )(3d )(d 4d )(d 2
2
t t
t t h t t h t t h δδ+=++求特征根3
,1034212
-=-=⇒=++λλλλ冲激响应
)
()e
e ()(321t C C t h t
t ε--+=求系统
的冲激响应。)
(2d )(d )(3d )(d 4d )(d 22
t f t
t f t y t t y t
t y +=++m n m n >==,1,2()中不包含冲激项
t h 将f (t )→δ(t )，
y (t )→h (t )
带ε(t )
两种求待定系数方法：•求0+法
•奇异函数项相平衡法
法一：求0+值确定系数
()
()()()()
()()
()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=++'=t r t h t r t a t
t h t r t b t a t t h 3212
2d d d d δδδ设()()20,10 '
-==∴++h h 代入h (t )，确定系数C 1,C 2，得
)
()e (e 2
1)(3t t h t
t ε--+=
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
())
(e e )(321t C C t h t
t
ε--+=()()()())
(e 3e )()
(e 3e )(e e )( 3212
1
321321t C C t C C t C C t C C t h t
t
t
t
t
t
εδεδ--------++=--++='()()()()()()()
t C C t C C t C C t h t
t
εδδ e 9e 332
1
2121--++--+'+=''
)(),(),(代入原方程将t h t h t h '''()())
(2)()(0)(3)(2121t t t t C C t C C δδεδδ+'=⋅+++'+⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇒⎩⎨⎧=+=+2121231212121C C C C C C ()
)
( e e 1)(3t t h t
t ε--+=根据系数平衡，得