上海初三数学一模二次函数综合题讲解(一)

精师教育学科教师辅导讲义

学员姓名：年级：九年级学科教师：汪加桦时间：2015.12.27 课题二次函数综合题分类汇编讲解（一）

教学内容

题型一：二次函数+相似

1. 如图，抛物线y 1

x2

2

5

x 2 与x 轴相交于A、B，与y 轴相交于点C，过点 C 作CD∥x 轴，交抛物线点D．2

（1）求梯形ABCD 的面积；

(2) 若梯形ACDB 的对角线AC、BD 交于点E，求点 E 的坐标，并求经过A、B、E 三点的抛物线的解析式；

（3）点P 是射线CD 上一点，且△PBC 与△ABC 相似，求符合条件的P 点坐标．

y

O A B x

E

C D

2. 已知抛物线y ax2 4ax c 与y 轴交于点 A 0,3 ，点B 是抛物线上的点，且满足AB∥x 轴，点C 是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的对称轴及 B 点坐标；

（2）若抛物线经过点2,0 ，求抛物线的表达式；

（3）对（2）中的抛物线，点 D 在线段AB 上，若以点 A 、C 、D 为顶点的三角形与AOC 相似，试求点 D 的坐标.

y

O x

（第24 题图）

3. 已知，二次函数y= ax2 +bx 的图像经过点 A ( 5, 0) 和点B，其中点 B 在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2 ．

（1）求点 B 的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）过点 B 作直线BC 平行于x 轴，直线BC 与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P 在x 轴上，且△ABC 和△PAB 相似，求点P 的坐标．

y

B

1

A - 1 O 1 x

- 1

4. 如图，直线y＝x＋3 与x 轴、y 轴分别交于点A、C，经过A、C 两点的抛物线y＝ax 一交点为B，且tan∠CBO= 3．

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点 D 的坐标；

（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P、A、B 为顶点的

三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．2

＋bx＋c 与x 轴的负半轴上另

5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x2bx c 与x 轴交于A, B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 B 的坐标为(3,0) ，与y 轴交于点 C (0,3) ，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；

（2）联结AC，BC，求ACB 的正切值；

（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD 与CAB 相似时，求点P 的坐标．

y

C

O A B x

题型二:二次函数+角度

1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线

轴负半轴交于点A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为3．

（1）求点M、A、B 坐标；

（2）联结AB、AM 、BM ，求ABM 的正切值；

y x2 3 向右平移一个单位后得到的，它与y

（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为，当ABM 时，求P 点坐标．

y

B

O x

A

M

图11

2. 在平面直角坐标系xOy （如图9）中，已知A（- 1，3）、B（2 ，n ）两点在二次函数y 图像上.

（1）求b 与n 的值；

（2）联结OA、OB 、AB ，求△AOB 的面积；1

x 2 bx 4 的3

（3）若点P （不与点 A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且POB 45 ，求点P 的坐标.

3. 如图，已知抛物线y 2

x 2 bx

3

c 与x 轴交于点A、B，与y 轴交于点C,点B 的坐标为（3,0），它的对称轴为直

线x 2 ．

（1）求二次函数的解析式；

y

（2）若抛物线的顶点为 D 点，联结BD 并延长交y 轴于点P，联结PA，

求∠APC 的余切值；

（3）在（2）的条件下，若在抛物线上存在点E，使得∠DPE =∠ACB，

C

求点 E 的坐标．

x

O A B

D

P

4. 如图，抛物线y x2 3x 4 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，点D(3，4) 在抛物线上，连接BD，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标．

5. 如图，抛物线y x2 4x 3 交x 轴于A(l ，O)、B 两点，交，，轴于C(0 ，3) ；抛物线上是否存在点P，使∠PCB+ ∠ACB= 45°?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

题型三：二次函数+面积

1.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA ，且OB=2OA ，A(-1,2) 。

（1）分别过点 A 、B 作x 轴的垂线，垂足是C、D。求证：△ACO ～△ODB ；

（2）求 B 点的坐标；

（3）设过 A 、B、O 三点的抛物线的对称轴为直线l，在直线l 上求点P，使得S

ABP S

ABO

。y

A B

O x 2.已知：如图，抛物线

值为1

．

3

y x2 b x c 与x 轴的负半轴相交于点 A ，与y 轴相交于点 B （0，3），且∠OAB 的余切

（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点 D 的坐标；

（2）设该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为 C ，BC 与直线l 相交于点 E ．点P 在直线l 上，如果点D 是△PBC 的重心，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y 轴向上或向下平移后顶点为点P ，写出平移后抛物线的表达式．点M 在平移后的抛物线上，且△MPD 的面积等于△BPD 的面积的 2 倍，求点M 的坐标．

y

B

A

O x

3.如图，在直角坐标平面上，点A、B 在x 轴上（A 点在 B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A（-1,0），OB=3OA，且tan∠CAO =2.

（1）求点B、C 的坐标；

（2）求经过点A、B、C 三点的抛物线解析式；

（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.

y