高中数学人教A版必修五正弦定理课件

证明：
a
b
c
sin A sin B sin C
高中数学人教A版必修五1.1.1正弦定 理课件( 共49张 PPT)
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1. 在一个直角三角形ABC中
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C
b
c 1
c c
b sin B c
在锐角三角形中
B
jc
a
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两边同取与j的数量积, 得
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（ 根 据 向 量 的 数 量 积 的定 义 ）
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
C
，
j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
AC CB AB
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sinC c sin A a c sin A sinC
同 理,过C点 作j垂 直 于CB， 可 得 c b ,在 锐 角 三 角 形 中
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正弦定理:
abc sin A sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
sin A sin B sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
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sinC sinB 也有 a b c sin A sinB sinC
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在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的 夹 角 为 A 90
（2）三角： A B C 180
B
（3）边角： 大边对大角
A
c
b
a
C
课前检测
在 Rt ABC 中， A 300, C 900, a 10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
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问题1：在 ABC 中，设 BC a, AC b, AB c,
B
j与CB的 夹 角 为 90 C
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
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You try
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例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
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例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105
∵
bc sin B sinC
5 b csin B 10sin105
sin C
sin 30
65
2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
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4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
ab c
＝
＝
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
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c sin C
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2R
来证明正弦定理呢?
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向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
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cLeabharlann Baidu
c
sin C
A c
b
Ca
B
abc sin A sin B sin C
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2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
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证明： 作外接圆O,
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B
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
a
sinC sinC' c 2R A
O
C
b
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b sin A sin B