《数学分析简明》答案 第7章

一

第七章 定积分 第一节 定积分的概念

0121.(1) (0);

[,], ,

.b

a n i xdx a

b a b n a x x x x b b a

x a n

<<=<<<<=-=+

⎰已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分：解：注意到函数已经可积,我们只需要找到一种满足条件的分法求和求极限就可以啦。 将区间等分为份分点为

其中小区间长度为 11

1

1.(),lim i i i n

n

i i i i n

b

a n i

b a

x x x n b a b a

x x a n n

b a b a xdx I a n n σ-==→∞=-∆=-=--=∆=+

--⎛

⎫==+ ⎪⎝

⎭∑∑∑⎰ 那么

则 ()()222212

lim 2 .

2

n n i b a ab a n n n n b a →∞=⎡⎤

--+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=

∑

二

0121.(1) (0);

[,], ,

.b

a n i xdx a

b a b n a x x x x b b a

x a n

<<=<<<<=-=+

⎰已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分：解：注意到函数已经可积,我们只需要找到一种满足条件的分法求和求极限就可以啦。 将区间等分为份分点为

其中小区间长度为 11

1

1.(),lim i i i n

n

i i i i n

b

a n i

b a

x x x n b a b a

x x a n n

b a b a xdx I a n n σ-==→∞=-∆=-=--=∆=+

--⎛

⎫==+ ⎪⎝

⎭∑∑∑⎰ 那么

则 ()()2

22212

lim 2 .

2

n n i b a ab a n n n n b a →∞=⎡⎤

--+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

-=

∑0121(2) (0) (;[,], ,

..b a

n i i i i kdx a b k a b n a x x x x b b a

x a n

b a

x x x n -<<=<<<<=-=+

-∆=-=⎰为任意常数)解：将区间等分为份分点为

其中小区间长度为 那么

1

11

,lim lim ()

n

n

i i i n

b

a

n i n b a

k x k

n b a xdx I k

n k b a σ==→∞

=→∞

-=∆=-===-∑∑∑⎰ 则 ().

k b a =-

三

2

21

2

12

12

2

211(3);

[1,2],2(1)2(1)1331,

33lim 1n

i n

i n

n i x dx n i n n i n n i x dx n n σ-==-→∞=-----⎛⎫

=-+

⎪⎝⎭⎛⎫

=-+ ⎪⎝

⎭⎛⎫

=-+ ⎪

⎝

⎭⎰∑∑∑⎰解：将区间等分为小分取

于是

221223123369lim 131827lim 18(1)27(1)(21)lim 32n n i n

n i n i i n n n i i n

n n n n n n n n n →∞=→∞=→∞⎛⎫

=-+ ⎪

⎝

⎭⎛⎫

=-+ ⎪

⎝⎭+++⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 399 3.

=-+= ()()1

1

11

0111/1/1(4).

1[0,1],,1lim 1lim

1lim

x n

n i i n

x

n

n i n n n

n n n

n a dx n a n

a dx a

n

a a a n

a σ=→∞

=→∞

→∞==⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-=⎰∑∑⎰解：将区间均分为等分取那么

()

11

ln 1

.

ln a a n n a a

---=

四

0122.()[,],()[,],()().

(),;[,] b

b c a a c

b c

a c

n f x a c b c f x c a b f x c dx f x dx f x dx I a c b c a c x c x c x c x c ++++++++==+++=+<+<+<<+⎰⎰

⎰

设在区间上可积证明：在上可积且 证明：设即将区间被分点

1110

1

1

1

,(1,2,

,),max ,[,],(),lim (),()lim ().

i i i i i n

n

n

i i i i i i i i i i n

b c

i i a c

i b c

n x x x i n x c x c x c f x f x I f x dx f c x I λλλξησξξη-≤≤-→==++→==+∆=-==∆=+∈++=∆∆==+∆=∑∑∑⎰

任意分成个小区间小区间长度为记在每个小区间

上任取一点做和式应有即

0121110

1

[,] ,(1,2,

,),max ,[,],(),lim (n i i i i i n

n

i i i i i i a b a x x x x b

n x x x i n x x x f c x f λλησξη-≤≤-→==<<<

<=∆=-==∆∈=+∆∑ 于是可知：将区间被分点

任意分成个小区间小区间长度为记在每个小区间

上任取一点做和式满足1

1

),()lim ().

()().

n

i i i n

b

i i a

i b

b c a a c

c x I f x c dx f c x I f x c dx f x dx λη=→=+++∆=+=+∆=+=∑∑⎰⎰⎰

即

因此有

0123. 1 (,)

(),

0 [,)(,]()0.

[,] ,b

a n i i x c c a

b f x x a

c c b f x dx a b a x x x x b

n x x x =∈⎧=⎨∈⎩==<<<

<=∆=-⎰设

求证:证明：区间被分点

任意分成个小区间小区间长度为1111

1

1

(1,2,,),max ,[,],(),0()(),

lim ()0,

i i i n

n

i i i i i i i n

i

i

i n

i i i i n x x x f x f x

f c f x λλξησξξλλλξ-≤≤-==→===∆=∈=∆≤

∆≤=∆=∑∑∑记在每个小区间

上任取一点做和式应有

于是当趋近于零时,根据夹迫性原理可知即

()0.

b

a f x dx =⎰