高二数学数列练习题(含答案)

高二《数列》专题
1．n S 与n a 的关系:1
1(1)(1)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨
->⎪⎩ ，已知n S 求n a ,应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a =
两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a ． 2.等差等比数列
(3)累乘法(
n n n c a a =+1型);(４)利用公式1
1(1)(1)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩;(５)构造法（b ka a n n +=+1型)(６) 倒数法 等
4.数列求和
(1)公式法;(２）分组求和法;（3)错位相减法;(４）裂项求和法;（5）倒序相加法。

５． n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+00
1m m a a 的项数ｍ使得m S 取最大值.
(2)当 0,01><d a 时,满足⎩⎨
⎧≥≤+00
1
m m a a 的项数ｍ使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

６．数列的实际应用
现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.
训练题
一、选择题
１.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则201１是这个数列的 (ﻩB ） A.第100６项 ﻩ ﻩＢ．第1007项 C. 第１0０８项 Ｄ. 第１009项 2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ,则10S 等于 (Ａ ） A.１0２3 Ｂ．１024 C.５11 D ．５12
３．若{a n }为等差数列,且ａ７-2a 4＝-1,a ３=０，则公差d =
( )
Ａ．-２ B.－12 C.1
2 D ．2
由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4=a 5+a 3,∴2ｄ=a ７－a 5＝－1，即ｄ＝－＼f(1,2)．故选B ．
４．已知等差数列{a ｎ｝的公差为正数，且a 3·ａ７=-12,a ４+ａ６=-4,则S 2０为( A )
A.１８0 ﻩ ﻩ Ｂ.-180 C.９０ ﻩﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩＤ.-９0
5.（2010青岛市)已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ，则28cos()a a +的值为( A ）ﻩ A.2
1
-
ﻩB ．23-
Ｃ．
2
1
D ．23
6.在等比数列｛a n }中,若a 3a 5a 7ａ９a 11＝243,则
ａ＼o ＼ａl(２,9)
a １1
的值为 ( ）
A.9 B ．1 Ｃ．２ D.3
解析 由等比数列性质可知a ３ａ5a 7a 9ａ11=a 错误!=243,所以得a ７=3，又错误!=错误!=ａ7，故选Ｄ．
7.已知等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，ａ１＋a 5=错误!S 5,且a 9＝2０,则S 11＝（ ）
Ａ．26０ B ．22０
Ｃ．130 ﻩD ．11０
解析 ∵S 5＝＼f(a 1+a 5,2)×5,又∵错误!S 5=a １＋a ５，∴ａ1+a 5＝０.∴a 3=０，∴Ｓ11=错误!×11=错误!×１1=错误!×1１=110,故选Ｄ.
８各项均不为零的等差数列｛a n }中，若a ＼o ＼ａｌ(2,ｎ)－a n －１-ａn ＋１＝0(n ∈N ＊,n ≥2),则S ２ 009等于ﻩﻩ( )
A.0 ﻩB ．2
C ．２ 009 ﻩD.4 ０18
解析 各项均不为零的等差数列｛a n },由于a 错误!-ａｎ－1-a n ＋1=0(n ∈N ＊,n ≥2），则a 错误!－2a n ＝0,ａn =2,S ２ ０09=4 ０１8,故选D ．
9.数列｛a ｎ｝是等比数列且a n >0,a 2a 4＋2a 3a 5+a 4a 6=2５，那么a 3+a 5的值等于ﻩﻩ( )
A ．5 ﻩＢ.10 Ｃ．１５
D.２0 解析 由于ａ2a 4=a 错误!，a ４a 6=a 错误!,所以a 2·a ４＋２ａ3·a 5+a 4·a 6＝a 错误!＋2a 3a 5＋a 错误!＝(a 3＋ａ5)2=25．所以a ３+a ５=±５.又a n >0，所以a 3+ａ5=5.所以选A.
10. 首项为1,公差不为0的等差数列{ａn ｝中，a 3，a 4，ａ6是一个等比数列的前三项,则这个等比数列的第四项是
ﻩ( ） A ．8
B.-８
Ｃ．-6 ﻩＤ．不确定 答案 Ｂ
解析 a ２4=a ３·a 6⇒（1+3d )2=(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (ｄ＋1)＝0⇒ｄ=－1,∴ａ3＝-1,a 4=-２,∴q ＝２. ∴a 6=a 4·ｑ=-4，第四项为a 6·q ＝－8.
11.在△ＡB Ｃ中，ｔａｎA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ｔa ｎB 是以3
1
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（B ） A.钝角三角形 ﻩ ﻩﻩﻩB.锐角三角形
C.等腰三角形 ﻩ
ﻩＤ.非等腰的直角三角形
12、（2009澄海)记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0,则当n s 取最大值时,=n ( )C
A.4或５ﻩ
B.5或6
C ．6或7
ﻩ D.7或8
13．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ,且S 2 011＝－2 ０1１，a １ 007=3，则S ２ ０1２的值为ﻩ
Ａ．1 006
B ．－２ 01２
C.2 01２ ﻩ
D.-1 006
答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为ａ1,公差为d ,根据题意可得,
错误!
即错误!解得错误!
所以,S 2 ０1２＝2 ０12a 1+错误!d
＝2 012×(-4 021）＋2 0１2×２ 011×2 =2 01２×（４ ０22-４ 02１)=2012.
方法二 由S 2 011＝错误!=2 011a 1 006=－2 ０11， 解得ａ１ 00６=-1,则
Ｓ２ 0１2=错误!＝错误!=错误!=2 012. １４．设函数f (x )满足ｆ(n ＋1）＝
2f (ｎ)+ｎ2
(ｎ∈N
*）,且f （1)=２，则f （2０)＝（ B ) A ．95 ﻩＢ.97 C.１０5 ﻩD.1９2
解析 f （n ＋１)=ｆ(n )+＼ｆ（n,2),∴错误!
累加,得f （2０)＝f (1)＋(错误!＋错误!＋…+错误!）=f (１）+错误!＝97.
１５.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ）
Ａ.)(2*
N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)
1(3n n a n n
C. )(2*
1N n a n n ∈=+ Ｄ. 以上都不正确
１６.一种细胞每3分钟分裂一次,一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的时间为 （ Ｄ ） Ａ．1５分钟 B.３０分钟ﻩ C ．45分钟 D ．５7分钟 二、填空题
1、等差数列{a n }的前n 项和为S ｎ，若a 2＝1，ａ3＝3,则Ｓ4= 8.
2.（2０08·广东理，2）记等差数列｛ａn }的前n 项和为Ｓｎ，若a １=2
1，S 4=20,则S ６＝ . 4
８
3..（2010广州一模)．在等比数列{}n a 中，11a =,公比2q =,若64n a =，则n 的值为 .７
4.（２0０８·海南、宁夏理，４)设等比数列{ａｎ}的公比q ＝2，前n 项和为S ｎ,则
24a S = . 2
15 ５．等差数列{ａn ｝,{b n }的前n 项和分别为Ｓn 和T n ,若＼f(S ｎ，T n )=错误!，则错误!=＿_______.
答案 ＼f （1９9,2９9) 解析 错误!=错误!=错误!=错误!
6、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥
又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴1
3n n a -=
7.已知各项都为正数的等比数列{a ｎ}中，a 2·ａ4=4,a 1＋a 2+a 3=1４,则满足a n ·a ｎ＋1·ａn ＋2>＼f(1,９)的最大正整数n 的值为__＿__＿_＿.答案 4
解析 设等比数列｛a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 错误!=a 2·a 4=４．又a 3>0，因此a 3=a 1q ２=2,ａ1+a 2＝a 1+a 1q =１2，由此解得ｑ=错误!,a 1=8，a n =8×(错误!)n －1＝24-ｎ,ａｎ·a n +1·ａn +２＝29-3n .由于2－3=＼f(1，８)>错误!,因此要使2９－３ｎ>错误!,只要9-3n ≥－3,即ｎ≤4,于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>＼f(1,9)的最大正整数n 的值为4.
8．等比数列{a n ｝的首项为a 1＝1，前n 项和为Ｓn ，若S 10
S ５=错误!,则公比q 等于_＿＿_＿___.
答案 －错误! 解析 因为错误!=错误!,所以错误!=错误!＝-错误!，即ｑ5＝(-错误!)5，所以q =-错误!． 三、解答题
1(2010山东理数)(１8）(本小题满分１2分）
已知等差数列{}n a 满足:37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ)求n a 及n S ； （Ⅱ)令b n =
2
11
n a -(n ∈N ＊
)，求数列{}n b 的前n 项和n T . １【解析】（Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =,5726a a +=，所以有
1127
21026
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==,
所以321)=2n+1n a n =+-（
;n S ＝n(n-1)
3n+22
⨯=2n +2n 。

（Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =，所以ｂn =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111
(-)4n n+1
⋅,
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11
(1-)=
4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前ｎ项和n T =n
4(n+1)。

2.(全国新课标理17) 已知等比数列
{}
n a 的各项均为正数，且
212326
231,9a a a a a +==．
（I ）求数列
{}
n a 的通项公式. （II ）设
31323log log log n n b a a a =++
+，求数列1{}
n b 的前ｎ项和.
２解：(Ⅰ)设数列{ａn}的公比为q ，由
2
3
26
9a a a =得
3234
9a a
=所以
219q =
．由条件可知c>0,故1
3q =
．
由
12231
a a +=得
12231
a a q +=，所以
113a =
. 故数列{an}的通项式为an ＝1
3n .
（Ⅱ )
31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)
(1)2
n n n =-++++=-
故12112()(1)1n
b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前ｎ项和为21n n -+
3. (本小题满分12分)已知{ａn }是各项均为正数的等比数列，
且ａ1＋ａ2=2(＼f （1，a 1)＋＼f(1,a 2)),a ３＋a 4+a 5＝６4（１
a 3
＋＼f （１，a ４)＋错误!）.
（1）求{ａn }的通项公式； (2)设b ｎ=（a ｎ+＼f(1,a n ))2,求数列{ｂn }的前n 项和T n . 解析 (１)设{a ｎ}的公比为q ，则a n =a 1q n -1. 由已知,有
错误!化简,得错误!
又ａ1>0，故q =2,ａ1=1. 所以a n =2n -１．
(2）由(1)知，ｂn =错误!2＝a 错误!＋错误!+2=４ｎ－１+错误!＋2． 因此,T n ＝(1+4＋…＋４n -１)+(1+１
４
+…+错误!)＋2n ＝错误!+错误!＋2n ＝错误!(4n -４１-n )＋2n ＋1. 4.（山东省济南市2011）
已知}{n a 为等比数列，256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和,,21=b 8525S S =. (1) 求}{n a 和}{n b 的通项公式;(2) 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .
解:（１) 设｛a ｎ}的公比为ｑ,由a 5=a 1q 4得q =4
所以ａｎ=4ｎ－
1．设{ b n }的公差为ｄ,由5S 5=2 S 8得５(5 b １＋１0d )=2（8 ｂ１+28ｄ)，
322
3
231=⨯==a d ，
所以b n =b 1+（n -1）d =3n -1.(2) Ｔn =１·2＋4·５＋42
·８+…+4n －1
(3ｎ－1),①
4T n =4·２+42·5＋4３·8+…＋４ｎ
(３ｎ-1）,②
②-①得：3Ｔｎ=-２-３（4＋42+…+４ｎ)＋4ｎ
（3n －１) = －2＋４(1-4n -1）＋４n (3ｎ-１) ＝2+(3ｎ-2)·4n ∴T n =(ｎ-32)4n +3
2
5.(2０1３广东理） 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,
21212
33
n n S a n n n +=---，*n ∈N . （Ⅰ) 求2a 的值； (Ⅱ） 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ） 证明:对一切正整数n ,有12
11
174
n a a a +++
<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,1212
2133S a =-
--,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时，32112
233n n S na n n n +=---,
()()()()32
1122111133n n S n a n n n -=-------
两式相减得()()()2112
213312133n n n a na n a n n n +=----+---
整理得()()111n n n a na n n ++=-+，即111n n a a n n +-=+，又21121
a a
-=
故数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为111a =,公差为1的等差数列,
所以
()111n
a n n n
=+-⨯=,所以2n a n =.
（Ⅲ) 当1n =时，11714a =<;当2n =时,12111571444
a a +=+=<; 当3n ≥时,
()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212
111111
1111111
111434
423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++
=+++++
<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11171714244
n n =+
+-=-< 综上,对一切正整数n ，有
12
11
174
n a a a +
++
<． 6．(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且
2514,,a a a 构成等比数列．
（1) 证明:2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数n ，有
1223
11111
2
n n a a a a a a ++++
<. 1.【解析】(1）当1n =时，22
122145,45a a a a =-=+，
20n a a >∴=
(２）当2n ≥时,()2
14411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--
()2
22
1442n n n n a a a a +=++=+，
102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514,,a a a 构成等比数列，2
5214a a a ∴=⋅，()()2
222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1）可知，2
12145=4,1a a a =-∴=
21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）
()()
1223
1111111
1
133557
2121n n a a a a a a n n ++++
=++++
⋅⋅⋅-+
11111111123355721211111.2212
n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=
⋅-<⎢⎥+⎣⎦
7．（本题满分14分）2a ,5a 是方程2
x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列,数列{}
n b 的前n 项和为n T ,且n T 2
1
1-
=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)记n c ＝n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 2.解:(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a …………… 2分
23
2
5=-=
∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 …………… 4分 在n n b T 211-
=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时，Ｔn =,2
1
1n b -11211---=n n b T ,
两式相减得n n n b b b 21211-=
-,()231
1≥=∴-n b b n n …………… 6分 ()
*-∈=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∴N n b n n n 3
2
31321
. …………… 8分 (2）()n
n n n n c 32
43212-=
⋅
-=, ……………… 9分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+++=+1323123323331
23n n
n n n S ,……… 1０分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---
⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯+
+-11
31231131191231n n n =1134
43
43123131312+++-=⎪⎭⎫
⎝⎛---+n n n n n , ………………1３分
n
n n S 32
22+-
=∴ …………… 14分
8.（全国大纲理20） 设数列
{}n a 满足10a =且
111
1.
11n n
a a +-=--
（Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）设
1
, 1.
n
n n k n k b b S ==
=<∑记S 证明：
解: (I)由题设111
1,
11n n
a a +-=-- 即
1{}1n
a -是公差为1的等差数列。

又1111,.11n n a a ==--故 所以
11.n a n =- （ＩI ）由（I)得
n b ==
=,ﻩﻩﻩ…………8分
1
1
1 1.n
n
n k k k S b =====-<∑∑ …………1２分。