5.1 平行关系的判定

则该直线与此平面平行.
转化到线线平行
若直线l 平面，直线b ,l / /b,则l / /.
直线与平面平行的画法 把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外 面，并使它与平行四边形内的一条线段平行或与平 行四边形一边平行.
a
a
b α
b α
【思考交流】 你能举出生活中应用线面平行判定定理的例子吗？
因此 DE∥平面 ABC，
同理 EF∥平面 ABC. 又因为 DE∩EF＝E，
所以平面 DEF∥平面 ABC.
1 判断下列说法是否正确： （1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
与平面 平行 . （×） （2）若直线a//b ， a//c ，且b，c ，则 a / / .（×）
A1 D
同理可证 BC1∥平面AB1D1. A
又直线BD与直线BC1交于点B.
因此，平面AB1D1∥平面 C1BD.
C1 B1
C
B
【变式练习】 已知三棱锥 P－ABC 中，D，E，F 分别是 PA，PB，PC 的中点，求证：平面 DEF∥平 面 ABC.
【证明】 在△PAB 中，因为 D，E 分别是 PA，PB 的中点， 所以 DE∥AB， 又知 DE 平面 ABC，
（将空间问题转化为平面问题）
3.面面平行的定义； 4.面面平行的判定定理； 5.面面平行判定定理的应用：
线线、线面、面面间的位置关系的转化.
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身 躯变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就 使求索的脚步迟缓.
在生活中，注意到门扇的两边是平的．当门扇绕着一边 转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门 扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
观察1:门转动的一边与门框所在的平面之间的位置 关系是什么？
观察2：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，
封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位
E，F 分别在 PA，BD 上，且 PE∶EA＝BF∶FD. 求证：EF∥平面 PBC.
证明 连接 AF 延长交 BC 于 G， 连接 PG. 在▱ABCD 中，
易证△BFG∽△DFA. ∴GFAF＝FBDF＝PEEA， ∴EF∥PG.
而 EF 平面 PBC，PG 平面 PBC，
∴EF∥平面 PBC.
E
F
D
αB
C
易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中
点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是
AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置
源自文库
关系的所有情况.
解 由E F / /A C / /H G ，得
(1)E F / /平面A C D ;
（3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内 的无数条直线平行.（√ ） （4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内 的所有直线平行.（ × ）
2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶
点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平
面MNP的图形是( D ) A．③④ B．①②
C．②③
D．①④
3.α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直 线，在下列条件下，可判定α∥β的是( D ) A.α，β都平行于直线a，b B.α内有三个不共线点到β的距离相等 C.a,b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D.a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β， b∥β
解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A， B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D．
4.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一 直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的 中点，求证BE∥平面PAD.
证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，
1
F为中点，所以EF∥CD且EF=2 CD，又
AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且
F
EF=AB，从而四边形ABEF为平行四边形，
§5 平行关系 5.1 平行关系的判定
我们知道，一条直线和一个平面有三种位置关系?
直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
a α
a
α
A
a α
直线在平面α 内a α有无数
个交点
直线与平面α 相交a∩ α= A 有且只有一个 交点
直线a与平面α 平行a∥α无交
点
如何判定一条直线和一个平面平行呢？
F
A
D
E
O
C
△PBC的重心∴ DE∥MN
M
N
又∵DE ⊆ 面ABC，MN 面ABC
B
∴DE∥面ABC，同理：DF∥面ABC
又∵DE∩DF=D∴面DEF∥面ABC
l
1.线面平行的判定定理：
b



l
/
/

2.线面平行的判定方法: a / /b
平行四边形 中位线等
平行移动法 线线平行 线面平行
那么直线 a 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 a 与平面 平行？
a

b
思考2：
平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b ．
（1）这两条直线共面吗？ 共面
（2）直线 a与平面 相交吗？ 不可能相交
a

b
直线和平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
所以，BE∥AF，BE 平面PAD，AF 平面PAD，
根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD.
5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、
△PBC、△PAC的重心，
求证：平面DEF//平面ABC.
证明：连接PD并延长交AB于点M
P
连接PE并延长交BC于点N，
连接PF并延长交AC于O， 连接MN，MO ∵D，E分别为△PAB、
置关系？
平行
A
A
B
B
本节课我们来学习平行关系的判定！
1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行 的判定定理.（重点） 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述 这两个定理，并知道其地位和作用.(重点） 3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题.（难 点）
探究点1 直线与平面平行的判定
思考1：如果平面 内有直线 b 与直线 a 平行，
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框 与天花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和 墙面的交线平行，显然用到了这个判定定理.
安装教室里的日光灯，也用到了这个判定定理.
例1 空间四边形ABCD中，E，F分别为 AB，AD的中
点.判断EF与平面BCD的位置关系.
A
解 设由相交直线BC，CD
所确定的平面为α， 如图，连接BD.
模型１
a α α α β
a // β b//β a // b
模型２
α a
b
β
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥β吗?
直观 感受
ba
问题3 平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面 β, 则α∥β吗?
a b
α
你能得到什么结论？
平行
β
线不在多 贵在相交
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，
【反思领悟】
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理.
2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中 位线、平行线的判定来完成. 3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平行” 缺 一不可.
探究点2 面面平行的判定定理
思考：空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
➢思考: 若平面α∥β，则α中所有直线都平行β ? 平行 反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β? 平行
➢启示：
无限 转 化
有限
两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内
的直线与另一个平面平行的问题.
面面平行
转
化
线面平行
➢探究:
问题1 平面α内有一条直线 a 平行于平 面β, 则α∥β吗? 请举例说明. 不能
问题2 平面α内有两条直线a , b 平行 于平面β, 则α∥β吗? 请举例 不能 说明.
α// β?
(2)A C / /平面E FG H ;
(3)H G / /平面A B C .
由B D / /E H / /FG ，得
B
(4)B D / /平面E FG H ;
(5)E H / /平面B C D ;
(6)FG / /平面A B D .
A
E
H
D
F
G
C
【变式练习】 如图所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，
那么这两个平面平行.
a
,b
a ,b
a b =P
//
a //
b //
a Pb
符号语言
面面平行
转 化
转 线面平行 化
图形语言 线线平行
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证:平面AB1D1//平面C1BD.
证明：如图,因为ABCD－
D1
A1B1C1D1
为又正B1方D1体，平所面以ABB1DD∥1，B1D1. 从而BD∥平面AB1D1