(初升高)高一数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

（初升高）高一数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

一、学习目标：

1. 会求自变量x 在某个范围内取值时二次函数的最值。

2. 了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。

二、学习重点：

会求二次函数在给定区间上的最值问题

三、新课讲解： ［旧知复习］

对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠

当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2

44ac b a -，无最大值；

当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2

44ac b a

-，无最小值．

［新知探秘］

二次函数的图象和性质

二次函数y =ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）具有下列性质：

（1）当a ＞0时，函数2

(0)y ax bx c a =++≠图象开口向上；顶点坐标为

2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线2b x a =-；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x

＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当2b x a =-时，函数取最小值y=2

44ac b a

-．

（2）当a ＜0时，函数2

(0)y ax bx c a =++≠图象开口向下；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线2b x a =-；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x

＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x=2b a -时，函数取最大值y=2

44ac b a

-．

【典型例题】

例1. 求二次函数y =－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。

思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质 解：∵y =－3x 2－6x ＋1=－3（x ＋1）2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x =－1； 顶点坐标为（－1，4）；

当x =－1时，函数y 取最大值y =4； 当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大； 当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小。

点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。

【直击高中】

（一）求一元二次函数的最值

例2. 求一元二次函数2325y x x =--的最值

思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值

解：因为函数2325y x x =--的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值 又该函数顶点的横坐标为034x =

，代入表达式，得函数的最大值为318

- 点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系

数的正负，再把对应的系数代入2

44ac b a

-求出最值。

例3. 当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

思路导航：作出函数在所给范围及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

仿练：当12x ≤≤时，求函数2

1y x x =--+的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当1x =时，max 1y =-，当2x =时，min 5y =-．

点津：由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围内的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

为方便叙述，用符号[m ，n]表示m x n ≤≤的实数x 的取值范围，通常称为 区间

例4. 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

思路导航：画出(2)y x x =--的图象，通过观察图象得出结果

解：作出函数2

(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．

可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．

思考：你能不通过作图，仅利用二次函数的开口方向及顶点横坐标是否在已知范围内，来直接求最值吗？

（二）一元二次函数最值的应用

例5. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m （件）

与每件的销售价x （元）满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

思路导航：在实际问题中努力寻找数量关系，建立相应的数学表达式，这个过程就是数学建模的过程。

解：（1）由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．

2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤

（2）由（1）知对称轴为42x =，位于x 的范围内，且抛物线开口向下

∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=

∴当每件商品的售价定为42元时商场每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

点津：解决实际问题时，要从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要培养自己的阅读理解、分析和解决问题的能力。

【拓展篇】

二次函数是最简单的非线性函数之一，其自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的延续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为数学高考中的热点。 1. 动二次函数在定区间上的最值

例6. 已知二次函数fx a x a xa ()=++-2

2

41在区间[]

-41，上的最大值为5，求实数a 的值。

思路导航：由函数的表达式知，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a 变化的，所以需要讨论a 的符号

解：将二次函数配方得fx a x a a ()()=++--2412

2

，其对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()

---2412

，a a ，图象开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，上。

若a <0时，函数图象开口向下，如图1所示，当x =-2时，函数取得最大值为5 即f a a ()-=--=

24152

解得a =

±210 故a a =-=+210210()

舍去

图1

若a >0时，函数图象开口向上，如图2所示，当x =1时，函数取得最大值为5