高等数学电子教案6

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高等数学下电子教案

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高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案,主要面向大学本科生和研究生,涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。

1.2 教学目标通过本课程的学习,使学生掌握高等数学的基本知识,培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质:理解极限的概念,特别是无穷小和无穷大的比较,以及极限的存在性定理。

《高等数学电子教案》课件

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《高等数学电子教案》PPT课件第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标:理解函数的概念,掌握函数的性质,了解函数的图像。

教学内容:函数的定义,函数的性质,函数的图像。

1.2 极限的概念与性质教学目标:理解极限的概念,掌握极限的性质,学会求极限。

教学内容:极限的定义,极限的性质,极限的求法。

第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标:理解导数的概念,掌握导数的性质,学会求导数。

教学内容:导数的定义,导数的性质,求导数的方法。

2.2 微分的概念与性质教学目标:理解微分的概念,掌握微分的性质,学会求微分。

教学内容:微分的定义,微分的性质,求微分的方法。

第三章:积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标:理解不定积分的概念,掌握不定积分的性质,学会求不定积分。

教学内容:不定积分的定义,不定积分的性质,求不定积分的方法。

3.2 定积分的概念与性质教学目标:理解定积分的概念,掌握定积分的性质,学会求定积分。

教学内容:定积分的定义,定积分的性质,求定积分的方法。

第四章:向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标:理解向量的概念,掌握向量的性质,学会求向量的运算。

教学内容:向量的定义,向量的性质,向量的运算。

4.2 线性方程组的概念与性质教学目标:理解线性方程组的概念,掌握线性方程组的性质,学会解线性方程组。

教学内容:线性方程组的定义,线性方程组的性质,解线性方程组的方法。

第五章:矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标:理解矩阵的概念,掌握矩阵的性质,学会求矩阵的运算。

教学内容:矩阵的定义,矩阵的性质,矩阵的运算。

5.2 行列式的概念与性质教学目标:理解行列式的概念,掌握行列式的性质,学会求行列式的值。

教学内容:行列式的定义,行列式的性质,求行列式的方法。

第六章:级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标:理解级数的概念,掌握级数的性质,学会求级数的收敛性。

教学内容:级数的定义,级数的性质,求级数的收敛性。

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第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想;2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。

教学重点:1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、旋转体的体积及侧面积,计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点:1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6. 1 定积分的元素法一、问题的提出回顾:曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。

面积表示为定积分的步骤如下(1)把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间,相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形,第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆,则∑=∆=ni i A A 1(2)计算i A ∆的近似值(3) 求和,得A 的近似值(4) 求极限,得A 的精确值若用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积,则∑∆=A A ,并取abi i i xf A ∆≈∆)(ξii x ∆∈ξ.)(1i i n i x f A ∆≈∑=ξi i n i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dxx f )(dx x f A )(≈∆,于是∑≈dx x f A )(当所求量U 符合下列条件:(1)U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量;(2)U 对于区间[]b a ,具有可加性,就是说,如果把区间[]b a ,分成许多部分区间,则U 相应地分成许多部分量,而U 等于所有部分量之和;(3)部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ;就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤:1) 根据问题的具体情况,选取一个变量例如x 为积分变量,并确定它的变化区间],[b a 2)设想把区间],[b a 分成n 个小区间,取其中任一小区间并记为],[dx x x +,求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积,就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ,即dx x f dU )(=;3)以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式,在区间],[b a 上作定积分,得⎰=badx x f U )(,即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法.应用方向:平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等.∑=dx x f A )(lim .)(⎰=badx x f§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=dc dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y .例3 求椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积.解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以⎰=aydx S 04.椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2.极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([21=.曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21.例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==.例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d aπθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=.二、体 积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为 dV = π[f (x )]2dx , 旋转体的体积为 dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解: 直角三角形斜边的直线方程为x h r y =.所求圆锥体的体积为dx x h r V h 20)(π⎰=hx h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+bya x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22x a ab y -=及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为 dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=aa dx x a ab V )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转构成旋转体的体积. 解:323232x a y-=332322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴x a y ],[a a x -∈ 旋转体的体积dx x a V aa 33232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-π.105323a π=例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=ax dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a =5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=aay dy y x dy y x V 20212022)()(ππ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a ⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为 dx x A V ba )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为 αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=. 于是所求正劈锥体的体积为⎰--=RR dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==⎰ . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1,M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1.直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=.以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21.在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解: 21x y =', 从而弧长元素dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a bax dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. .2.参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=.所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22.例2.计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度. 解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin2=.所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得 x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长. 解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .§6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功为s F W ⋅=如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思想.例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r qkF = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功. 例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r qkF = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r qk 2, 即功元素为dr r qk dW 2=. 于是所求的功为dr rkq W b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=.当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx xk,即功元素为dx xk dW =. 于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x RR ---=⎰γR x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(l l x y a dy am G F ρ22412la a l Gm +⋅-=ρ.。

高等数学电子教案

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高等数学电子教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种规则,将一个非空数集(定义域)中的每一个元素对应到另一个非空数集(值域)中的唯一元素。

函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋近于某个值a时,函数f(x)趋近于某个确定的值L,称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作:lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质:保号性、传递性、夹逼性等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法:代数法、几何法、泰勒公式等。

极限的运算法则:加减法、乘除法、复合函数的极限等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念:当自变量x趋近于某个值a时,如果函数f(x)趋近于0,称f(x)为无穷小。

无穷大的概念:当自变量x趋近于某个值a时,如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷,称f(x)为无穷大。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在点x处的导数,记作f'(x)或df/dx,表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的几何意义:函数图像在某点处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。

导数的运算法则:和差法、乘法法、链式法则等。

2.3 微分的概念与计算微分的定义:函数f(x)在点x处的微小变化量,记作df(x)。

微分的计算:微分的基本公式df(x)=f'(x)dx,以及微分的运算法则。

2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义:含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的解法:分离变量法、积分因子法等。

第三章:积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义:函数f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,表示f(x)与x轴之间区域的面积。

基本积分公式:幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。

3.2 定积分的概念与计算定积分的定义:函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作∫[a,b]f(x)dx,表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。

高等数学电子教案

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高等数学电子教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,将一个集合(定义域)中的每个元素对应到另一个集合(值域)中的一个元素。

函数的性质:单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋近于某个值a时,函数f(x)趋近于某个值L,称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质:保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法:代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念:无穷小是指绝对值趋近于0的量,无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性:如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值,称该函数在这一点连续。

导数的概念:函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章:微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义:函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率,记作f'(x)。

导数的计算:基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义:微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值,记作df(x)。

微分的计算:微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义:积分表示函数图像与x轴之间区域的面积,记作∫f(x)dx。

积分的计算:基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义:微积分基本定理是微分与积分之间的关系,即导数的不定积分是原函数,积分的反函数是原函数的导数。

第三章:微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义:微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类:常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法:分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用,例如描述物体运动、电路方程等。

第四章:级数4.1 级数的概念与性质级数的定义:级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列,记作∑an。

高等数学电子教案 天南(教授)主讲

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高等数学电子教案天南(教授)主讲第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种规则,将一个非空数集(定义域)中的每一个元素对应到另一个非空数集(值域)中的唯一元素。

函数的性质:奇偶性、单调性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋向于某个数值a时,函数f(x)趋向于某个数值L,称为f(x)当x趋向于a时的极限,记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质:保号性、夹逼性、传递性等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法:直接计算、因式分解、有理化、代数运算等。

极限的常用性质:无穷小、无穷大、无穷小量比较等。

1.4 无穷小的比较无穷小的定义:当自变量x趋向于某个数值a时,如果存在一个正数M,使得0<|f(x)|<M,则称f(x)为无穷小。

无穷小的比较:根据无穷小的定义,比较无穷小的大小时,可以比较它们的比值或者根据它们的关系进行转化。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在点x处的导数,记作f'(x)或df/dx,表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的几何意义:函数在某一点的切线斜率。

2.2 导数的计算导数的计算方法:导数的基本规则、导数的四则运算、复合函数的导数等。

导数的常用性质:导数的单调性、导数的周期性等。

2.3 微分的定义与计算微分的定义:微分是导数的一个小增量,表示函数在某一点的瞬时变化量。

微分的计算:微分的计算公式为df=f'(Δx)Δx,其中Δx表示自变量的增量。

2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义:含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的解法:分离变量法、积分因子法、常系数线性微分方程解法等。

第三章:泰勒公式与极值3.1 泰勒公式的定义与计算泰勒公式的定义:将一个函数在某一点的邻域内展开成多项式的形式。

泰勒公式的计算:根据函数在某一点的导数,将函数展开成泰勒级数。

3.2 极值的概念与计算极值的概念:函数在某一点的导数为0,且在该点的左侧导数为正,右侧导数为负(或反之),则该点为函数的极值点。

高等数学电子教案

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高等数学电子教案一、前言1.1 教案简介本教案主要针对高等数学课程,内容包括极限、导数、积分、级数、常微分方程等基本概念和运算方法,适合高等院校理工科专业学生使用。

1.2 教学目标通过本教案的学习,使学生掌握高等数学的基本概念、运算方法和应用技巧,培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、极限2.1 极限的概念引入极限的概念,解释函数在一点邻域内的极限意义,举例说明极限的存在与不存在。

2.2 极限的运算讲解极限的基本性质和运算规则,引导学生掌握极限的求解方法。

三、导数3.1 导数的定义介绍导数的定义,解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率,举例说明导数的计算。

3.2 导数的运算讲解导数的四则运算规则,引导学生掌握常见函数的导数公式。

四、积分4.1 积分概念引入积分的概念,解释积分表示函数图像与x轴所围成的面积,举例说明积分的计算。

4.2 积分的运算讲解积分的基本性质和运算规则,引导学生掌握常见函数的积分公式。

五、级数5.1 级数概念介绍级数的基本概念,解释级数表示函数的和,举例说明级数的前n项和与收敛性。

5.2 级数的收敛性讲解级数收敛性的判定方法,引导学生掌握常见级数的收敛性判断。

六、常微分方程6.1 微分方程的定义解释常微分方程的概念,即含有未知函数及其导数的等式。

引导学生理解微分方程描述的是函数的导数与函数本身之间的关系。

6.2 微分方程的解法介绍常微分方程的基本解法,包括分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

通过实例演示各种方法的运用。

七、线性代数7.1 向量空间与线性方程组定义向量空间,解释线性方程组的解集及其性质。

介绍高斯消元法求解线性方程组。

7.2 矩阵与行列式讲解矩阵的基本运算,包括矩阵的加法、数乘、乘法。

介绍行列式的定义及其性质,演示行列式在解线性方程组中的应用。

八、概率论与数理统计8.1 随机事件与概率定义随机事件,解释概率的基本性质,包括加法原则和乘法原则。

通过实例让学生理解概率的意义。

高等数学电子教案(大专版)(2024)

高等数学电子教案(大专版)(2024)

02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量,$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$,使得对于$D$中 的每一个数$x$,按照某种对应法则$f$,在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应, 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数,记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法,包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法,以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率,反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率,即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$,其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关, $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$,则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微,而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。

《高等数学电子教案》课件

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《高等数学电子教案》课件第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,将一个非空数集A中的每一个元素在某个确定的方式下对应到另一个非空数集B中的一个元素。

性质:一一对应、单调性、周期性、奇偶性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋近于某一数值a时,函数f(x)趋近于某一数值L,我们称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记为:lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质:保号性、传递性、夹逼定理、单调有界定理等。

1.3 极限的计算基本极限:常见的基本极限公式,如sinx/x→0,(1+x)^n/x^n→e 等。

极限的运算法则:加减法则、乘除法则、复合函数法则等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念:当自变量x趋近于某一数值a时,如果存在一个正实数M,使得对于任意的正实数ε,总存在正实数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)-L|<ε,则称f(x)当x趋近于a时常数L的无穷小。

无穷大的概念:当自变量x趋近于某一数值a时,如果对于任意的正实数ε,总存在正实数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)-L|≥ε,则称f(x)当x趋近于a时常数L的无穷大。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在x处的导数,记为f'(x)或df/dx,表示自变量x的变化引起函数f(x)变化的速度。

导数的几何意义:函数图像在某点处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式:常见的基本导数公式,如(x^n)'=nx^(n-1),(sinx)'=cosx等。

导数的运算法则:和差法则、乘除法则、复合函数法则等。

2.3 微分微分的定义:函数f(x)在x处的微分,记为df,表示自变量x的无穷小变化引起函数f(x)的无穷小变化。

微分的运算法则:微分与常数的乘积、微分与函数的乘积、复合函数的微分等。

2.4 高阶导数高阶导数的定义:函数f(x)的二阶导数、三阶导数等,记为f''(x)、f'''(x)等。

高等数学电子教案:6-6

高等数学电子教案:6-6

y lim y0 y1 y2 yn1 ,
n
n
y
lim
n
y0
y1
b
y2 yn1 a
b
a n
x
1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
1
n
lim
b a x0 i1
f ( xi1 )x,
y
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
100t
0
)
(安);
(3)、 1 (秒), 0.0073(秒). 300
三、 I m . 2
2 0
Im2
4
t
sin 2
2
t
2
0
Im . 2
结论:正弦交流电的有效值等于电流的峰值的1
2
函数 f ( x)在[a, b]上的均方根
b
1
a
b
a
f
2(
x )dx .
三、小结
函数的平均值
y 1
b
f ( x)dx;
ba a
函数的有效值 1 b f 2( x)dx. ba a (理解平均功率、电流的有效值等概念)
它在[0,T
]上的平均功率为
1 T
T
0
i
2
(t
)Rdt
,
按定义有 I 2R 1 T i 2(t )Rdt,
T0
I
2
1 T
T
0
i 2(t )dt

《高等数学电子教案》课件

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《高等数学电子教案》PPT课件第一章:导数与微分1.1 导数的定义与性质引入导数的定义讲解导数的性质例题解析1.2 常见函数的导数基本初等函数的导数复合函数的导数例题解析1.3 微分及其应用微分的定义与性质微分的计算法则微分在实际问题中的应用例题解析第二章:积分与面积2.1 不定积分的概念与性质不定积分的定义不定积分的性质基本积分表2.2 定积分的定义与性质定积分的定义定积分的性质定积分的计算法则2.3 定积分的应用求解平面区域的面积求解物体的体积例题解析第三章:多元函数微分学3.1 多元函数的定义与性质多元函数的定义多元函数的性质多元函数的图形表示3.2 多元函数的偏导数偏导数的定义与性质偏导数的计算法则例题解析3.3 多元函数的极值及其判定多元函数的极值概念多元函数的极值判定方法例题解析第四章:重积分4.1 一元重积分的定义与性质一元重积分的定义一元重积分的性质一元重积分的计算法则4.2 二元重积分的定义与性质二元重积分的定义二元重积分的性质二元重积分的计算法则4.3 三元重积分的定义与性质三元重积分的定义三元重积分的性质三元重积分的计算法则第五章:向量代数与空间解析几何5.1 向量代数的基本概念向量的定义与表示向量的运算规则向量的图形表示5.2 空间解析几何的基本概念坐标系的定义与表示点、直线、平面的方程空间解析几何的图形表示5.3 向量代数与空间解析几何的应用向量的应用实例空间解析几何的应用实例例题解析第六章:常微分方程6.1 微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程的分类微分方程的解法6.2 线性微分方程线性微分方程的定义线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法6.3 非线性微分方程非线性微分方程的定义非线性微分方程的解法例题解析第七章:概率论与数理统计7.1 随机事件与概率随机事件的定义与表示概率的基本性质条件概率与独立性7.2 离散型随机变量离散型随机变量的定义离散型随机变量的分布律离散型随机变量的期望与方差7.3 连续型随机变量连续型随机变量的定义连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的期望与方差第八章:线性代数8.1 矩阵的基本概念矩阵的定义与表示矩阵的运算规则矩阵的逆8.2 线性方程组高斯消元法克莱姆法则线性方程组的解的结构8.3 特征值与特征向量特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的应用第九章:级数9.1 数列的基本概念数列的定义与表示数列的极限数列的收敛性与发散性9.2 函数项级数函数项级数的定义函数项级数的收敛性判定函数项级数的应用9.3 幂级数幂级数的定义幂级数的收敛半径幂级数的展开与应用第十章:常微分方程数值解10.1 数值解的基本概念数值解的定义与意义数值解的方法与误差分析数值解的应用领域10.2 初值问题的数值解法欧拉法龙格-库塔法亚当斯法10.3 边界值问题的数值解法有限差分法有限元法谱方法重点和难点解析1. 第一章导数与微分中的导数定义与性质理解,特别是导数的极限概念。

高等数学电子教案同济版第六章6-2

高等数学电子教案同济版第六章6-2

练习题
一、填空题: 填空题: 1 、由曲线 y = e x , y = e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2 、由曲线 y = 3 − x 2 及直线 y = 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ 面积是_____ . 3 、由曲线 y = x 1 − x 2 , y = 1 , x = −1 , x = 1 所围成 平面区域的面积是_______ 平面区域的面积是_______ . 所围的区域面积时, 4、计算 y 2 = 2 x 与 y = x − 4 所围的区域面积时,选用 ____作变量较为简捷 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y = e x , y = e − x 与直线 x = 1 所围成平面区 域的面积是_________ 域的面积是_________ .
1
3
1
2
另外,也可选 另外 也可选 y 为积分变量
y ∈ [0,1]
面积元素 dA = ( 面积
y − y dy
2
)
x= y2 =
y = x2
A=∫
1
0
(
1 y − y dy = 3
2
)
例 2
计算由曲线 y = x 3 − 6 x 和 y = x 2 所围成
y = x3 −6x
的图形的面积. 的图形的面积
θ =β
dA
r = ϕ (θ )

o 1 θ =α θ 面积元素 dA = [ϕ (θ )]2 dθ 2 β1 曲边扇形的面积 A = ∫ [ϕ (θ )]2 dθ .
α
x
2
例 5
求双纽线 r
2
= a cos 2θ 所围平面图

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高等数学电子教案(最新版)第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,对于每一个自变量值,都有唯一确定的因变量值与之对应。

函数的性质:奇偶性、单调性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于某个确定的值,这个确定的值称为极限。

极限的性质:保号性、传递性等。

1.3 极限的计算基本极限:\(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) 等。

极限的运算法则:加减乘除、乘方等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于0。

无穷大的概念:当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于正无穷或负无穷。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

导数的几何意义:函数图像在某一点的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式:\( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (sin x)' = cos x \), \( (cos x)' = -sin x \) 等。

导数的运算法则:和差、乘积、商、复合函数等。

2.3 微分微分的定义:微分是导数的一个线性近似。

微分的计算:对函数进行微分,即将自变量的增量转化为微分的形式。

2.4 应用求函数的极值:求导数,令导数为0,解出x值,再代入原函数求出极值。

求函数的单调区间:求导数,判断导数的正负,确定函数的单调性。

第三章:泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义:用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。

泰勒公式的应用:求解函数在某一点的近似值。

3.2 洛必达法则洛必达法则的定义:当函数在某一点的导数为0时,可以用该点的其他导数信息来求解函数值。

洛必达法则的应用:求解函数在某一点的极限值。

3.3 泰勒展开泰勒展开的定义:将函数在某一点的泰勒公式展开,得到函数在该点的多项式近似。

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解决方案
理解向量的基本概念和运算规则,掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法;理解空间曲线和曲面的几 何性质,掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用,是许多学科的基础工具 。
VS
详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具,如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学,人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题,为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算,用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质,如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念,用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质,如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和,分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质,如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词:重积分与线积分是高等数学中的重要概念,它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述:重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法,而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用,如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词:重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用,如物理学中的力学和热学等问题;工程学中的机 械设计和流体动力学等问题;经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述:在物理学中,重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布

高等数学电子教案 天南(教授)主讲

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高等数学电子教案天南(教授)主讲第一章极限与连续1.1 极限的概念定义:函数f(x)当x趋向于某一数值a时,如果存在一个实数L,对于任意给定的正数ε,总可以找到一个正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,|f(x)-L|<ε。

性质:保号性、保比性、夹逼性、传递性。

1.2 极限的运算法则极限的四则运算法则。

复合函数的极限。

1.3 无穷小与无穷大无穷小的概念。

无穷大的概念。

无穷小的比较。

1.4 极限的存在性定理单调有界定理。

单调无界定理。

夹逼定理。

1.5 连续函数的概念连续函数的定义。

连续函数的性质。

连续函数的例子。

第二章导数与微分2.1 导数的概念导数的定义。

导数的几何意义。

导数的物理意义。

2.2 导数的计算基本导数公式。

高阶导数。

隐函数的导数。

2.3 微分微分的定义。

微分的运算法则。

微分在近似计算中的应用。

2.4 微分中值定理罗尔定理。

拉格朗日中值定理。

柯西中值定理。

2.5 导数的应用函数的单调性。

函数的极值。

函数的图像。

第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念微分方程的定义。

微分方程的阶数。

微分方程的解。

3.2 一阶微分方程可分离变量的微分方程。

齐次方程。

线性方程。

3.3 高阶微分方程线性高阶微分方程。

非线性高阶微分方程。

3.4 常系数线性微分方程特征方程。

通解。

初始条件。

3.5 微分方程的应用物理中的应用。

生物学中的应用。

经济学中的应用。

第四章积分与面积4.1 不定积分的概念不定积分的定义。

不定积分的计算方法。

4.2 定积分的概念定积分的定义。

定积分的性质。

定积分的计算方法。

4.3 积分的应用面积的计算。

弧长的计算。

质心、转动惯量的计算。

4.4 双重积分双重积分的定义。

双重积分的计算方法。

双重积分的应用。

4.5 三重积分三重积分的定义。

三重积分的计算方法。

三重积分的应用。

第五章级数5.1 级数的基本概念级数的定义。

级数的收敛性。

5.2 幂级数幂级数的定义。

幂级数的性质。

幂级数的收敛域。

高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程

高等数学(上册)-电子教案   6.4可降阶高阶微分方程

再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1


x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后,将初始条件代入,解得关系式:
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h

t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时

高等数学电子教案

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高等数学电子教案(最新版)第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质定义:函数是一种关系,将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。

函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,函数f(x)趋向于某一数值L,我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L,记作:lim(f(x),a)=L。

1.3 极限的运算极限的四则运算法则:1)lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2)lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3)lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) (g(x)≠0)4)lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) (c为常数,u(x)可导)1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,如果存在一个正数M,使得对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)|<M,则称f(x)为无穷小。

无穷大的定义:当自变量x趋向于某一数值a时,如果存在一个正数M,使得对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,都有|f(x)|>M,则称f(x)为无穷大。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义导数的定义:函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。

2.2 导数的运算导数的四则运算法则:1)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2)(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4)(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) (c为常数,u(x)可导)2.3 微分微分的定义:函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。

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第一章预备知识授课序号01)C C C=;(2)B A B)C C C=.B A B授课序号02教学基本指标教学课题第一章第二节函数及其性质课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点单调性与奇偶性教学难点有界性充要条件、分段函数参考教材作业布置课后习题大纲要求理解集合、函数的概念,了解函数的基本性质(有界性、单调性、奇偶性和周期性)。

了解反函数的概念,会建立简单实际问题中的函数关系式。

教学基本内容一、基本概念:1、函数设和是两个变量,是一个非空的数集,如果按照某个法则,对于每个数,变量都有唯一的确定的值与之对应,则称此对应法则为定义在上的函数. 数集称为这个函数的定义域,称为自变量,称为因变量.与自变量对应的因变量的值记作,称为函数在点处的函数值. 当取值时,的对应值就是. 当取遍定义域的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集就称为该函数的值域.2、函数的有界性设函数的定义域为,数集. 如果存在正数,使得对任一,都有,则称函数在上有界;如果这样的不存在,则称函数在上无界.3、函数的单调性设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两点及,当时,恒有,则称函数在区间内是单调增加的;如果对于区间内的任意两点及,当时,恒有,则称函数在区间内是单调减少的. 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数.4、函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称(即若,则必有),如果对于任一,恒成立,则称为偶函数;如果对于任一,恒成立,则称为奇函数。

5、函数的周期性设函数的定义域为,如果存在一个正数,使得对于任一有,且恒成立,则称为周期函数,称为函数的周期,通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期.6、反函数定义.定义2 设函数的定义域为,值域为,因为是函数值组成的数集,所以若对于任一,都有唯一的适合关系,那么就将此值作为取定的值的对应值得到一个定义在上的新函数,这个新的函数就称为的反函数,记作.这个函数的定义域为,值域为,相对于反函数而言,原来的函数就称为直接函数.二、定理与性质:函数在上有界的充分必要条件是函数在上既有上界又有下界.三、主要例题:例1求下列函数的定义域.(1); (2) .例2 讨论函数的奇偶性.例3设是定义在内的任意函数,试证:(1) 是偶函数;(2) 是奇函数.例4 求函数的反函数.例5 函数,其中为某确定的常数. 它的定义域为,值域为,它的图形是一条平行于轴的直线(图0-26),这函数称为常数函数.例6 函数的定义域为,值域,这函数称为绝对值函数.授课序号03教学基本指标教学课题第一章第三节初等函数课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点初等函数图像和性质教学难点复合函数、反三角函数参考教材作业布置课后习题大纲要求掌握基本初等函数的性质和图形;理解复合函数的概念教学基本内容一、基本概念:1、幂函数函数(是常数)称为幂函数.幂函数的定义域随而异,当时,的定义域是;当时,的定义域是;2、指数函数函数称为指数函数,定义域为,值域为.3、对数函数指数函数的反函数称为对数函数,定义域为,值域为.4、三角函数正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数和余割函数统称为三角函数.5、反三角函数三角函数的反函数称为反三角函数.常用的反三角函数有如下四种:,定义域为,值域为,称为反正弦函数;,定义域为,值域为,称为反余弦函数;在区间上正切函数的反函数记作,定义域是,值域为,余切函数的反函数为,定义域是,值域为,在整个定义域上是单调递减函数二、定理与性质:一般地,若函数的定义域为,函数在数集上有定义,且对所有的,,则对于每个数值,通过有唯一确定的数值与对应,从而得到一个以为自变量,为因变量的函数,这个函数称为由函数与的复合函数,记作,其中称为中间变量.三、主要例题:例1.设,求和.例2求函数的定义域.例3设的定义域是,求的定义域.例4已知的图形,试作的图形.例5 已知的图形,试作,的图形.例6已知的图形,试作,的图形.第二章 连续与极限 授课序号04教学基本指标教学课题 第二章 第一节 数列的极限定义与计算 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 极限运算性质 教学难点 极限定义 参考教材作业布置课后习题大纲要求理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。

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第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想;2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。

教学重点:1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、旋转体的体积及侧面积,计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点:1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6. 1 定积分的元素法一、问题的提出回顾:曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。

面积表示为定积分的步骤如下(1)把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间,相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形,第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆,则∑=∆=ni iA A 1(2)计算i A ∆的近似值(3) 求和,得A 的近似值(4) 求极限,得A 的精确值若用A ∆表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积,则∑∆=A A ,并取dx x f A )(≈∆,于是ab xyo i i i xf A ∆≈∆)(ξii x ∆∈ξ.)(1i i n i x f A ∆≈∑=ξi i ni x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=badxx f )(∑≈dx x f A )(当所求量U 符合下列条件:(1)U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量;(2)U 对于区间[]b a ,具有可加性,就是说,如果把区间[]b a ,分成许多部分区间,则U 相应地分成许多部分量,而U 等于所有部分量之和;(3)部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ;就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤:1) 根据问题的具体情况,选取一个变量例如x 为积分变量,并确定它的变化区间],[b a 2)设想把区间],[b a 分成n 个小区间,取其中任一小区间并记为],[dx x x +,求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积,就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ,即dx x f dU )(=; 3)以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式,在区间],[b a 上作定积分,得⎰=badx x f U )(,即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法.应用方向:平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等.§6. 2 定积分在几何上的应用∑=dx x f A )(lim .)(⎰=b a dx x f一、平面图形的面积 1.直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=dc dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y .例3 求椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=aydx S 04.椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2.极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([21=.曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21.例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==.例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d aπθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=.二、体 积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为 dV = π[f (x )]2dx , 旋转体的体积为 dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解: 直角三角形斜边的直线方程为x h r y =.所求圆锥体的体积为dx x h r V h20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -=及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为 dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a b V )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转构成旋转体的体积. 解:323232x a y-=332322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴x a y ],[a a x -∈ 旋转体的体积dx x a V aa 33232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-π.105323a π=例3 计算由摆线x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )的一拱,直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=ax dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a =5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=aay dy y x dy y x V 20212022)()(ππ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a ⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为 dx x A V ba )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为 αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为 22)(x R h y h x A -=⋅=. 于是所求正劈锥体的体积为⎰--=RR dx x R h V 22h R d h R 2202221cos 2πθθπ==⎰ .三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B ,并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长,并称此曲线弧AB 是可求长的. 定理 光滑曲线弧是可求长的. 1.直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=.以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21.在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解: 21x y =', 从而弧长元素dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a bax dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. .2.参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=.所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22.例2.计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度. 解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin2=.所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得 x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ). 于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长. 解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .§6. 3 功 水压力和引力一、 变力沿直线所作的功由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功为s F W ⋅=如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思想. 例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r qkF = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功.例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r qkF = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r qk 2, 即功元素为dr r qk dW 2=. 于是所求的功为dr r kqW b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=.当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx x k,即功元素为dx xkdW =.于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m ,底圆半径为3m , 桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ ,计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x RR ---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力. 解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2 ,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(l l x y a dy am G F ρ22412la a l Gm +⋅-=ρ.。

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