空间向量及其加减运算专题训练

A . a + b — c

B . — a — b +c

C . — a + b + c

D . — a + b —

c

解析：选 C.由于CD = CB +BA + AD = CB — AB +AD = b — a + c , 所以 C D = — a + b + c .

3.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中，下列选项中化简后为零向量的

A. AB + A I D I + C i A i

B .AB —A C+ BE B I

C. AB + AD + AA i

D .A C +CB 1

解析：选 A.在 A 选项中，AB +A ；D i + CA i = (AB +AD) + CA = AC + CA = 0.

4.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点，且AO + O B = D O + OC,

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）

空间向量及其加减运算专题训练

[A 基础达标]

1.在空间四边形OABC 中，OA +A B — CB 等于（

）

A .OA

B .A B C.OC

D .A C

解析：选 C.OA + A B — CB= OB — CB = BC — BO = OC.

2.已知空间四边形 ABCD 中，AB = a , CB = b , AD = c ,则CD 等

则四边形ABCD是（）

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）

A .平行四边形B.空间四边形

C.等腰梯形

解析：选A.由于AO+ A B, D O+O C=D C,

所以AB=DC,从而|AB|=|D C|,且AB与CD不共线,

所以AB DC,

所以四边形ABCD是平行四边形.

5 .已知平行六面体ABCD-A'B'CD 贝y下列四式中错误的是

① AB—CB = AC:② A厅 =AB + B B ~C C + CC :③ AT C = CC ;@AB+ BB^ +BC+ C C C = A F .

A.①

c.③

解析：选D.AB—CB=AB+BC=AC,①正确;

A B+B"C+C C = A B+

B C+

C C=A C ,②正确;

③显然正确；AB+ B B+B C+CC=AB + BC+CC=AC,④错.

6 .式子(AB—CB)+CC I运算的结果是______ .

解析：(AB—CB)+ CC I =(AB+BC) + CC I=AC+CC I = AC I.

答案：A C I

7.给出下列几个命题:

①方向相反的两个向量是相反向量;

②若|a|= |b|，则a, b的长度相等，方向相同或相反;

③对于任何向量a, b,必有|a+ b|w |a| + |b|.

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解) 其中正确命题的序号为

解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|=|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联

系，故不正确；只有③正确.

答案：③

8.对于空间中的非零向量AB, B C, A C,有下列各式：①AB+ B C

=AC；② A B—A C = B C；③ |AB|+|B C|=|AC|:④ |AB|—|AC|=|B C|.其中一定不成立的是 .

解析：①Afe+ B C=AC恒成立;

②AB—A C=CB,故②不成立;

③当A B, B C, A C方向相同时，

有|AB|+|B C|=|AC|；

④当B C,AB, AC共线且BC与AB, AC方向相反时，

有|AB|—|AC|=|B C|.

故只有②一定不成立.

答案：②

9.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

(1)若A, B, C, D四点在一条直线上，则A B与C D共线.

⑵互为相反向量的向量的模相等.

(3)任一向量与它的相反向量不相等.

解: (1)正确.因为A, B, C, D四点在一条直线上，所以AB与CD

定共线.

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解)

(2)正确.相反向量的模相等，但方向是相反的.

(3)不正确.零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是

相等的.

10.如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，化简向量表达式:

（I）A B+CD +B C+D A；

（2）AX I + B；C1 + D I D + CB. 解：（1）AB + CD + BC+ DA =AB+BC+CD+DA=0.

⑵因为B；C i= B C = —

D I D= —A X I ,

CB, 所以原式=AA1 —CB —

AX 1 + CB=0.

[B能力提升]

1.已知正方体ABCD-AB'C'D的中心为0,则在下列各结论中正

确的共有()

①OA+OD与0B + 0C 是一对相反向量;

②OB-OC与OA - 0厅’是一对相反向量;

③OA + OB + OC+ OD与OA + OB + OC + O D是一对相反向量;

④0A — OA 与0C —0C 是一对相反向量.

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）

C . 3个

解析：选C.

如图所示，①OA = — OC ； oD = — oB ； 所以Ok + Ob = —（OB'+ oC ）,是一对相反向量;

②OB —OC = CB, OA —OD = DA ,而C B= DA :故不是相反向 量;

③同①也是正确的;

④ OA — OA =AA : OC —OC = CC = — AA ,是一对相反向量.

2.化简(AB — C D)—(AC —B D)=

解析：法一：（利用相反向量的关系转化为加法运算）

(AB —C D)—(AC —B D)=A B —C D —AC + BD

=A B+ DC +CA + BD =A B+B D + DC +CA =0. 法二：（利用向量的减法运算法则求解）

(AB —C D) — (A C — B D)=(AB —A C )+ BD —cD =CB +BD —cD =

CD —CD =0.

答案：0

A