立体几何证明的向量公式和定理证明
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立体几何证明的向量公式和定理证明
的计算（1）向量法：
（2）转化法
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
与平面的交点
这两点的线段的中点是
的点来求，
、转化到平面另外一侧
另外一点到平面的距离
上
、转化为平面的平行线
2
1
（3）等体积法：
（1）向量法
（2）定义法：找出异面直线的公垂线段。
（3）转化法：转化为线面距离或面面距
离来求。
（四）利用向量方法证明和计算的原理（非常重要）
证明分类示意图所需条件证明原理
平行的证明线线
平行
（1）直线m方向向量m；
（2）直线n方向向量n
n
mλ
=⇔m∥n⇔m∥n
线面
平行
（1）直线m方向向量m；
（2）平面α的法向量n
=
•n
m
⇔n
m⊥
⇔直线m∥平面α
面面
平行
（1）平面α的法向量m
（2）平面β的法向量n
n
mλ
=
⇔m∥n
⇔平面α∥平面β
垂直的证明线线
垂直
（1）直线m方向向量m；
（2）直线n方向向量n
=
•n
m⇔n
m⊥⇔m⊥n
线面
垂直
（1）直线m方向向量m；
（2）平面α的法向量n
n
mλ
=
⇔m∥n
⇔直线m⊥平面α
（1）直线m方向向量m；
（2）平面α内两相交直线
的方向向量AB,CD
m•AB=0⇔m⊥AB
m•CD=0⇔m⊥CD}⇔m⊥α
AB,CD⊂α且AB I CD=P
面面垂直（1）平面α的法向量m
（2）平面β的法向量n
=
•n
m
⇔n
m⊥
⇔平面α⊥平面β
计算分类示意图所需条件证明原理
角的计算
两异
面直
线所
成角
∈
θ（0，
2
π
】
（1）直线m方向向量m
（2）直线n方向向量n
n
m
n
m
n
m
•
=
>
<
=,
cos
cosθ
简化：
n
m
n
m•
=
θ
cos
线面角
∈
θ【0，
2
π
】
（1）直线OA的方向向量
OA；
（2）平面α的法向量n
n
OA
n
OA
n
OA
•
=
>
<
=,
cos
sinθ
简化：sinθ=
n
OA
n
OA•
=
二面角
∈
θ【0，π】
同进同出为互补
（1）平面α的法向量n
（2）平面β的法向量m
n
m
n
m
n
m
•
>=
<,
cos
（1二面角平面角是锐角余弦就取正值
（2二面角平面角是钝角余弦就取负值一进一出为相等
距离
的计算两异面直线间的距离
（1）直线a和直线b的公
垂线的方向向量n；
（2）a上任意一点A，b
上任意一点B，构成向量
AB
θ
|
|
|
|
n
n
AB
d
⋅
=
点面距离
点
面
距
离
点A到平面α的距离（1）点A和平面α内任意一点B构成一个向量
AB；
（2）平面α的法向量n
线面距离转化为点面距离
面面距离转化为点面距离
高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知，本章高考命题的形式比较稳定，难易适中。主要考线线、线面及面面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，以及空间角和距离的计算。从解答题来看，一般遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。（即立体几何平面化：面面问题⇒线面问题⇒线线问题；几何问题代数化）
平行的证明线面平行面面平行
定义
一条直线与一个平面没有公共
点，叫做直线与平面平行。
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平
行，也叫做平行平面。
判定定理文字
语言
如果不在平面内的一条直线和平面
内的一条直线平行，那么这条直线和
这个平面平行。
如果一个平面内有
两条相交直线分别平行
于另外一个平面，那么这
两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两
条相交直线分别平行于另
外一个平面内的两条直线，
那么这两个平面平行。
图
形
语
言
符
号
语
言
α
α
α
//
//
a
b
a
b
a
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂
⊄
β
α
β
β
α
//
//
,
//
,
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⊂
⊂
b
a
P
b
a
a
b
a
Iβ
α
β
β
α
//
,
//
,
//
,
'
'
'
'
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
=
⊂
⊂
b
a
b
b
a
a
P
b
a
a
b
a
I
性质定文字
语言
如果一条直线和一个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相
交，那么这条直线和交线平行。
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他
们的交线平行。
|
|
|
|
n
n
AB
d
⋅
=