2018年北京大学物理科学营资格考试题及答案

2018年物理科学营资格赛试题

总分：140分 2018年7月31日 时间：2.5小时

一、简答题（40分）

1.（10分）如图所示，与水平地面夹角为锐角

的斜面低端 A 向上有三个等间距点 B 1 、B 2 和

B 3 ，即 AB 1̅̅̅̅̅= B 1B 2̅̅̅̅̅̅̅= B 2B 3̅̅̅̅̅̅̅ 。小滑块 P 以初

速 v 0 从 A 出发，沿斜面向上运动。先设置斜

面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达 B 3 位置

刚好停下，而后下滑。若设置斜面 AB 1 部分与

滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到 B 2 位置刚好停下，而后下滑。接下来，滑块下滑到 B 1 位置时速度大小记为 v 1 ，回到 A 端时速度大小记为 v A ′ 。试求 v 1 、v A ′ 。

2.（10分）互不相溶的两种液体放在一个玻璃

器皿中，最终会如图1所示各自占据一块区

域，其间有可观察到的界面（忽略重力的影

响）。A 中分子不能越过界面进入 B 中，B 中分

子也不能越过界面进入 A 中。其中原因是 A 、

B 分子互相有排斥力。

取图2所示的器皿，器皿下部用固定隔板

分成左、右两个区域，分别盛有 A 、B 液体。

器皿上部原为真空区域，顶部朝外的通道上粗

下细。通道内有一个形状类似、质量可略的活塞，活塞外是大气，活塞开始时靠外界气压与管道紧密接触、不漏气。

已知，温度为 T 0 时，A 、B 饱和蒸气压为

p A 饱(T 0)=12p 0 ，p B 饱(T 0)=14p 0 ； p 0：大气压强 温度为 T 时，设有

p A 饱(T )=T T 0p A 饱(T 0) ，p B 饱(T )=T

T 0p B 饱(T 0) 设图2装置初态温度为 T 0 ，缓慢提升装置温度到某个 T ∗ 值，活塞恰好要向上移动，试求 T ∗ 。

3.（10分）如图所示，在水平桌面上有宽度为 l 的匀强磁场 B

⃑ 区域，B

⃑ 的方向垂直于桌面朝下。磁场左侧边界直线外，有一个与边界线平行且紧挨着的由四根相同的均匀导体棒连接而

成的正方形框架。每根导体棒长为 a =l 2，质量为 m

，电阻为

A B 图1 饱和蒸气 图2

B A 饱和蒸气 大气

B ⃑ l × ×

R ，开始时框架有图示方向的速度 v0，框架与桌面处处无摩擦。设框架右行 l 路程时速度为 v 0

2

，试求 v0。

再设框架处处受到桌面的阻力，阻力 f与框架速度 v的关系为

f=−γv，γ>0 且处处相同

在 v0不改变的前提下，若框架右行 l

2

路程时即停住，试求 γ 。

4.（10分）电子从某激发态跃迁到基态时发出波长 λ=4000 Å 的光谱线。由于激发态能级有一定的宽度，而使该谱线有 ∆λ=1.0×10−4 Å 的宽度，试估算该激发态的平均寿命 τ 。（ 1 Å=0.1 nm =10−10 m ）

二、计算题（100分）

5.（20分）如图所示，倾角 45° 的绝

缘斜面上设置 O−xy 坐标平面，x

轴平行于斜面底边。斜面上有沿着 x

轴反方向的匀强静电场，场强为 E⃑。

斜面上正方形 OABC 的每条边长 l ，

位于 O 点的质量 m 、电量 q>0 的

滑块 P 具有沿 OB 方向的初速度

v0。P 在运动过程中与斜面的摩擦因数 μ 处处相同，P 运动到 B 处刚好停下。

（1）确定的 μ 取值范围；

（2）设 μ 为（1）问取值范围内的一个给定常量，l 也为已给定的常量，试求 v0；

（3）再求 E 。

6.（20分）在讨论的温度范围内，某种理想气体

的等体摩尔热容量 C mV为常量。如图所示，在体

积分别为 V1、V2的两个绝热容器内，分别存有

ν1、ν2摩尔的此种气体，且均已达到平衡状态，

压强分别为 p1、p2。将这两部分气体在与外界

绝热情况下混合在一起，最后达到体积为 V=V1+V2的平衡态。下述两问的答案中，只可包含上面给出的已知量及理想气体常量 R。

（1）试求混合后平衡态的温度 T 和压强 p 。

（2）取理想气体熵增公式为

∆S=νRln V e

V i +νC mV ln T e

T i

：下标 i、e 分别标识初、末平衡态状态量

再求混合过程中系统熵增量 ∆S。

ν1

V1、p1

ν2

V2、p2

7.（20分）如图所示，一个质量为 m 、半径为 r0、电感为 L

的匀质超导（零电阻）细圆环，水平静止在竖直的圆柱形磁棒Array上方，圆环的中央轴与磁棒的中央轴重合，取为向上的 z 坐标

轴。开始时圆环内没有电流，环心位于 z=0 、r=0 处，其

中 r 为径向坐标量。圆环周围的磁场相对 z 轴对称分布，假定

圆环较小，磁感应强度 B⃑ 的轴向、径向分量设为

B z=B0(1−αz) ,B r=B0βr

t=0 时刻将环自由释放，环将在竖直方向上平动，运动过程

中圆环电流的正方向取为题图中虚线箭矢所示方向。

（1）导出环心坐标 z 与圆环电流 i 随时间变化的函数 z(t)与 i(t)的表述式。

（2）设已给数据为

磁棒：上表面位于 z=−10 cm 处

圆环：m=50 mg ，r0=0.5 cm ，L=1.3×10−8 H

磁场：B0=0.01 T ，α=16 m−1

重力加速度：g=9.8 m/s2

试求 β 的数值和所取单位，再求 z(t)、i(t)表述式中除 t 以外的物理量的数值和所取单位。

8.（20分）椭圆有两个焦点，将点光源放在一个焦点上，它发出的光经椭圆反射后必成实像于另一个焦点上，试证之。

9.（20分）P b原子核内有82个质子，核半径 R=7.1 fm （费米）， 1 fm=10−6 nm 。估算时，常可设82个质子的正电荷均匀分布在 R 球体内。P b原子核与81个电子以及一个 μ−子构成的原子称为 P b的 μ 介子原子。设所有电子及它们的所有轨道均在原子核外，μ−子的第一激发态轨道在所有电子轨道之内，但在原子核外。μ−子的基态轨道自然应在第一激发态轨道之内，但不知是否在原子核外，还是在核内。实验上已测得 μ−子从第一激发态跃迁到基态时发出光子能量为 6.0 MeV 。已知 μ−子的质量是电子质量的207倍，所带电

=荷与电子电荷相同，试计算 μ−子的基态轨道半径 r1，取两位有效数字。参考数据：1

4πε0 8.99×109 N⋅m2/C2，e=1.60×10−19 C ，氢原子的玻尔半径为 0.0529 nm ，氢原子基态能量为−13.6 eV 。

附注：忽略相对论效应，并假设库仑定律在原子核尺度仍然适用。此外，若 μ−子在原子

核外，则类氢离子的角动量量子化条件仍然适用。