特殊值法

(2) 中至多有一个元素；
(3)当 时，一定有 ．
35.各项均为正数的数列 ， ， ，且对满足 的正整数 ， ， ， 都有 ．
(1)当 ， 时，求 ；
(2)在（1）的条件下，将 用 表示出来（其中 ）．
(3)在（1）的条件下，证明 为等比数列，并求通项 ．
(4)证明：对任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 ，都有 ．
其中所有正确命题的序号是．
19.以 表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 ．例如，当 ， 时， ， ．现有如下命题：
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②若函数 ，则 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
② ；
③若 ， ， ，都有 成立，
则称函数 为理想函数．
(1)若函数 为理想函数，求 的值；
(2)判断函数 是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数 为理想函数，假定存在 ，使得 ，且 ，求证 ．
31.已知函数 （ ）．
(1)若 ，函数 的图象能否总在直线 的下方？说明理由；
(2)若函数 在 上是增函数，求 的取值范围；
(1)判断函数 是否是集合 中的元素，并说明理由；
(2)若函数 是集合 中的元素，求实数 的取值范围．
29.已知函数 的定义域为 ，对任意实数 ， 都有 ，且 ，当 时， ．
(1)求 ；
(2)求和 ；
(3)判断函数 的单调性并证明．
30.对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：
①对任意的 ，总有 ；
(2)试判断该函数在 上的单调性；
(3)求 在 上的最大值和最小值．
27.已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， ．
(1)求 的值；
(2)判定 的单调性；
(3)若 ，求 在 上的最小值．
28.已知 是由所有满足下述条件的函数 构成的集合：①方程 有实数根；②设函数 的导函数 ，且对 定义域内任意的 ，都有 ．
④若函数 有最大值，则 ．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）
20.给出定义：若 （ 为整数），则 叫做离实数 最近的整数，记作 ．在此基础上给出下列关于函数 的四个结论：
①函数 的定义域为 ，值域为 ；
②函数 的图象关于直线 （ ）对称；
③函数 是偶函数；
④函数 在 上是增函数．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）
36.已知函数 ，其中 且 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若方程 存在两个异号实根 ， ，求证： ．
答案
第一部分
1
2
3
4
5
6
7 ②④
8
9 ②
10
11 ②④
12
13 ；
14
15
16 ①
17
18 ①④
19 ①③④
20 ①②③
第二部分
21 (1)设 ，
因为 ，
所以 ．
7.下列命题：
①设 ， 是非零实数，若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③函数 的最小值是 ；
④若 、 是正数，且 ，则 有最小值 ；
⑤已知两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ；
其中正确命题的序号是．
8.已知 ， ， 成等比数列，如果 ， ， 和 ， ， 都成等差数列，则 ．
9.设 ， ，并给出以下结论；
特殊值法
一、填空题
1.函数 对任意实数 ， 都满足： 且 ，则 的值是．
2.若函数 的零点为 ，满足 且 ，则 ．
3.若实数 满足 ，那么 ， ， ， 由小到大的顺序是．
4.若 为奇函数，则 ．
5.已知函数 满足： ， ，则 ．
6.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为．
又因为 ，
所以 ，而 ．
所以 ，这是一个恒等式，
所以
解得
所以 ．
(2)解法一：由 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 ， ．
解法二：画出函数 的示意图（如图）．
由图可知函数 在 时取得最小值 ，
在 时取是最大值 ，
所以函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 和 ．
22 (1)由 ，令 ，则 ，所以 ．
所以
同理
当 时，
由 得 ，即 ，
由 得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
当 时，
由 得 ，即 ，
由 得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
当 时，
因为 ，所以 有一根 ，这与题意不符．
综上， ．
注：在第（3）问中，得到 后，可以在坐标平面 内，用线性规划方法解．
32 (1)对任意 ，
．
令 ，得 ，
即 ，得 或 ．
再令 ，得 ，所以 ，所以 ，即 ，故 是奇函数．
(2)已知 ，于是 ．在 中令 ，可得 ，因此 ．
25 (1)令 ，则 ，所以 ．
令 ，则 ，所以 ．
(2)令 ，则 ，所以 ．
(3)据题意可知， ，
所以 或 ，
所以 或 ．
26 (1)令 ，得
，所以 ．
令 ，得 ，
所以 ，
所以 为奇函数．
(2)任取 ，则 ，所以 ，
二、解答题
21.已知二次函数 满足 和 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值．
22.已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ，
(1)求 ；
(2)解不等式 ．
23.设函数 对于任意的 ， ，都有 ，且 时， ， ．
(1)求证： 是奇函数．
(2)试问：当 时， 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由．
令 ，得 ，对任意 成立，
所以 ，因此 ．
(2)证明：对任意 ，
有 ．
假设存在 ，使 ，
则对任意 ，有
．
这与已知 时， 矛盾．
所以，对任意 ，均有 成立．
(3)令 有
，
所以 ．
任取 ，且 ，则：
．
因为 ，所以 ，
由已知 ，
所以 ．
由（2）知 ， ．
所以 ，
即 ．
故函数 上是增函数．
由 ，得 ，
即 ，解得 ．
其中正确的命题有．（写出所有正确命题的序号）
17.在平面四边形 中， ， ，则 的取值范围是．
18.给出下列命题：
①变量 与 之间的相关系数 ，查表到相关系数的临界值为 ，则变量 与 之间具有线性关系；
② ， 则不等式 恒成立；
③对于函数 ，若 ， ，则函数在 内至多有一个零点；
④ 与 的图象关于 对称．
即
解得 ．
(2)由已知，得
将 ， 代入，解得 ．
(3)由（2），知
则数列 是首项为 ，公差为 的等比数列，从而
解得 ．
(4)由题意，得 的值仅与 有关，记为 ，则
考察函数 ，则有
当 时， ，则 在 上单调递减，从而有
当 时， ；
当 时， ，则 在 上单调递增，从而有
综上，在定义域上有
因此，对 ， 恒成立．又
综上，上述方程组至多有解
所以 中至多有一个元素．
(3)取 ， ，对一切的 ，有 ， ，
这时集合 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正．
另外，由于 ，如果 ，
那么根据（2）的结论， 中至多有一个元素 ．
而 ， ，
这样的 ，产生矛盾．
由此， ， 时， ，
所以，当 时，一定有 是不正确的．
35 (1)由 ，得
（1） ；
（2） ．
14.设 ，若 时恒有 ，则 ．
15.如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是．
16.定义“正对数”： 现有三个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
注意到 ，解上式，得
取 ，即有 ．
36 (1) 的定义域为 ，其导数 ，
①当 时， ，函数在 上是增函数．
②当 时，在区间 上， ，在区间 上， ．所以 在 是增函数，在 是减函数．
(2)当 时，则 取适当的数能使 ，比如取 ，能使 ，所以 不合题意．
当 时，令 ，则 ，问题化为求 恒成立时 的取值范围．由于
(2)求证：对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得 ．
34.已知 是等差来自百度文库列， 为公差且不为 ， 和 均为实数，它的前 项和记作 ．设集合 ， ．试问下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
(1)若以集合 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(3)设 ， ， 为方程 的三个根，且 ， ， ，求证： ．
32.定义在 上的函数 ，满足当 时， ，且对任意的 ，有 ， ．
(1)求 的值；
(2)求证：对任意 ，都有 ；
(3)解不等式 ．
33.已知 （ ）， 是关于 的 次多项式；
(1)若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满足条件的 的表达式，无需证明．
①存在 ，使 是偶函数，也存在 ，使 是奇函数；
②存在 ，使 是偶函数，但不存在 ，使 是奇函数；
③不存在 ，使 是偶函数，但存在 ，使 是奇函数；
④不存在 ，使 是偶函数，也不存在 ，使 是奇函数．
其中正确的结论的为．（写出所有正确结论的序号）
10.已知 是首项为 ，公比为 的等比数列， 是 的前 项和．① ； 若 ，则 ；③ 成等比数列 以上说法不正确的有．（请填序号）
(2)因为对于 ，都有 ，
所以 在 上为减函数，
又因为 ，
即 ，
即 ，
即 ．
由题意得 ，解得： ．
23 (1)在 中，令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ， ，
所以 为奇函数．
(2)设 ，由 ，知 ，
因为 为奇函数，所以 ，
又 时， ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是减函数．
当 时， ， ．
24 (1)在式子 中，令 ，得 ．
所以 在 上的最小值为 ．
28 (1)因为 ，当 时， 不符合条件②，
所以函数 不是集合 中的元素．
(2)因为 是集合 中的元素，所以 对于任意 均成立．
即 恒成立，即 ．
令 ，依题意， 是集合 中的元素，
必满足 ．
当 时， 对任意 恒成立，
所以 在 上为增函数．
又 ．
，所以方程 有实根，也符合条件①．
当 时，在 时， 与条件②矛盾．
综上 ．
29 (1)令 ，则 ．
(2)再令 ，则 ，即 ，
是首项为 ，公差为 的等差数列．
．
(3)函数 在 上是增函数，证明如下：
任取 ，且 ，
， ．
又当 时， ， ，即 ， ．
所以函数 在 上是增函数．
30 (1) ．
(2) 为理想函数，证明略．
(3)略．
31 (1)当 时， ，
24.已知函数 对一切 ， 都有 ．
(1)求证： 是奇函数；
(2)若 ，试用 表示 ．
25.定义在非零实数集上的函数 满足 ，且 是区间 上的递增函数．
(1)求 ， 的值；
(2)求证： ；
(3)解关于 的不等式： ；
26.已知函数 对一切实数 都有 ，且当 时， ，又 ．
(1)试判定该函数的奇偶性；
11.已知数列 的前 项和为 ，若数列 的各项按照如下规律排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，有如下运算和结论：
① ；② ；③数列 是等比数列；④数列 的前 项和 ；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号．
12.设 ，若函数 存在整数零点，则 的取值集合为．
13.已知圆 和点 ，若定点 和常数 满足：对圆 上任意一点 ，都有 ，则
综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得 ．
34 (1)在等差数列 中，对一切 ，有 ，
则 ，
这表明点 适合方程 ，
于是点 均在直线 上．
(2)设 ，则 是方程组 的解．
由上述方程组消去 ，得 ．
当 时，方程 无解，此时 ；
当 时，方程 只有一个解 ，此时，方程组只有一解，
因为 ，
所以，函数 的图象不能总在直线 的下方．
(2)由题意，得 ，
令 ，解得 或 ．
当 时，由 ，解得 ，
所以 在 上是增函数，与题意不符，舍去；
当 时，由 ，与题意不符，舍去；
当 时，由 ，解得 ，
所以 在 上是增函数，
又 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 ．
(3)因为方程 最多只有 个根，由题意，得在区间 内仅有一根，
所以在区间 上， ；在区间 上， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，所以只需 ．
所以 ，
即
所以 在 上是减函数．
(3)因为 在 上是减函数，所以 最小， 最大．又 ，所以 ．所以 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
27 (1)令 ，则 ．
(2)任取 ， 满足 ，则 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是减函数．
(3)因为 ，所以 ．
又 在 上是减函数，所以 在 上是减函数．
所以，不等式的解集是 ．
33 (1)令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ；
令 ，则 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ；
例如 ．
(2)当 时， ，故存在常数 ， ，
使得 ．
假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ，…， ，
使得
即
则当 时，
令 ， ， （ ）， ；
故存在与 无关的常数 ， ， ，…， ， ，使得