统计学第六版贾俊平第6章
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2.思想
❖ 设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量， 求统计量T的分布函数F(n)(t)；
❖ 可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽 取容量为n的样本，然后计算其统计量的值；
❖ 当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测 值：T1，T2，…，TN；
❖ 根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个 很好的近似。
6 -6
统计学(第6版)
6. 1 统计量
【例6. 1】设X1, X2, , Xn是从总体X中抽取的个 一样本，则
X
1 n
n i1
Xi
S2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X）2
n
都是统计量，而 [(Xi E(X）2],[(Xi E(X）]/ D(X都) i 1
不是统计量，主要是为 因其中含有依赖于总的 体未知
6 -9
R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为 充分统计量。 因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n,
都能导出统计量T(X1,X2, …,Xn)的分布的数学表达式, 这种分布称为精确的抽样分布。
精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 χ 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。
6 - 13
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6 - 10
统计学(第6版)
6. 1 统计量
充分统计量（算例）
【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质 检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是 不合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1）外，其他都是合格 品（记为Xi=0, i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结 果时，质检员给出如下回答：
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
第6章 统计量及其抽样分布
wenku.baidu.com
第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态 分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出 一些常用统计量的抽样分布。
6 -2
统计学(第6版)
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的分布 6.6 两个样本均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
6. 1 统计量
❖定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。
❖对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
(5)v k
1 n
n
(Xi
i1
X)k，
称为样本
k阶中心矩
。
n
n ( X i X )3
(6) 3
i1
3,
n i1
(Xi
X )2
2
称 3为样本偏度 。
n
n ( X i X )4
(7) 4
i1 n
3,
[ ( X i X ) 2 ]2
i1
称 4为样本峰度 。
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6 - 17
n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6 - 14
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.3 随机模拟获得的近似分布
1.背景
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
6 - 11
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
6 -3
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6 -5
统计学(第6版)
6 - 15
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 1 2 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
n
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
X
2 i
服从自由度
为n的 2 分布。
i1
参数。
6 -7
统计学(第6版)
6 -8
6. 1 统计量
6.2.2 常用统计量（当n充分大时）
(1) X
1 n
n i1
X i是样本的均值
。
(2 )S 2
1 n
n i1
(Xi
X )2 是样本方差
。
(3)V S 是样本的离散系数 。 X
(4 )m k
1 n
n
X
k，
i
i1
称 m k为样本
k阶矩 。
❖ 设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量， 求统计量T的分布函数F(n)(t)；
❖ 可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽 取容量为n的样本，然后计算其统计量的值；
❖ 当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测 值：T1，T2，…，TN；
❖ 根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个 很好的近似。
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6. 1 统计量
【例6. 1】设X1, X2, , Xn是从总体X中抽取的个 一样本，则
X
1 n
n i1
Xi
S2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X）2
n
都是统计量，而 [(Xi E(X）2],[(Xi E(X）]/ D(X都) i 1
不是统计量，主要是为 因其中含有依赖于总的 体未知
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R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为 充分统计量。 因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n,
都能导出统计量T(X1,X2, …,Xn)的分布的数学表达式, 这种分布称为精确的抽样分布。
精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 χ 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。
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6. 2 关于分布的几个概念
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统计学(第6版)
6. 1 统计量
充分统计量（算例）
【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质 检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是 不合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1）外，其他都是合格 品（记为Xi=0, i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结 果时，质检员给出如下回答：
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
第6章 统计量及其抽样分布
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第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态 分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出 一些常用统计量的抽样分布。
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统计学(第6版)
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的分布 6.6 两个样本均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
6. 1 统计量
❖定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。
❖对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
(5)v k
1 n
n
(Xi
i1
X)k，
称为样本
k阶中心矩
。
n
n ( X i X )3
(6) 3
i1
3,
n i1
(Xi
X )2
2
称 3为样本偏度 。
n
n ( X i X )4
(7) 4
i1 n
3,
[ ( X i X ) 2 ]2
i1
称 4为样本峰度 。
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6 - 17
n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
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统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.3 随机模拟获得的近似分布
1.背景
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
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统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
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统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
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统计学(第6版)
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统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 1 2 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
n
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
X
2 i
服从自由度
为n的 2 分布。
i1
参数。
6 -7
统计学(第6版)
6 -8
6. 1 统计量
6.2.2 常用统计量（当n充分大时）
(1) X
1 n
n i1
X i是样本的均值
。
(2 )S 2
1 n
n i1
(Xi
X )2 是样本方差
。
(3)V S 是样本的离散系数 。 X
(4 )m k
1 n
n
X
k，
i
i1
称 m k为样本
k阶矩 。