唯一性定理

唯一性定理

蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。

证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。

如图所示，壳内外的电荷分布分别为

ρ

和 ρe ，壳内、外表面

1

S 、2S 上各自的面电荷分布为

σ

和 σe 。壳内外的场是这四

部分电荷共同激发的。

根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件： （一） 2

ρϕε

∇=-

，ρ 为壳内电荷分布。

（二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1

s dS q σ=-⎰ （1）

其中 V

q dV ρ=⎰ 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。在壳层

内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）

成立。

因此在给定 ρ 布后，

1S 上边界条件也已经给定为 q - ，

和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。

根据唯一性定理，满足（一）、（二）的 ϕ 就是解。由于（一）

e

和（二）与壳外的 ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是

1

0|S ϕφ= 。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。

2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。试用唯一性定理： （一）判断0

R

φ是否球壳外空间的电势分布。

（二）求球壳内空间的电势分布

解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：

（a ）2

0∇ϕ=

（b ）球壳外表面1S 上的边界条件，1

0s ϕ=φ

（c ）无穷远边界条件,0R →∞ϕ→ 若R

φ

是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来

检验： 2

2

0010R

R

φ∇

=φ∇= (0),R ≠ 方程已满足。

0,0,R R

φ→∞→ 满足（c ）。

S1的半径是R1代入 0R

φ 后，

00

R

φ≠φ 所以它不满足1S 上的边界条

件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数

A R

同时满足方程和无穷远边界条件。A 为待定常数，可由（b ）定出。在面1S 上

0,A R φ=

所以 01A R =φ 。球壳外电势是 01R R

φϕ=

它和一半径为1R 、电势为0φ的导体球在球外所激发的势完全一样。 （二）先写出球壳内电势满足的条件 （a ） 2

1()q x ∇ϕ=-

σε （除球心外，没有点电荷）

（b ）球壳内表面S2上的边界条件，2

0S ϕ=φ

我们来凑一个同时满足（a ）和（b ）的解。先从满足方程出发，考虑对称性，它可以是 ()014q A R πϕ

=

+ε，代入方程检验，

2

2

00

1()[4()]()444q q q q A x x R

R

ππππ∇ϕ=

+=

∇

=-δ=-

δεεεε 方程满足。

然后令（1）满足条件（b ），002

4q A R πφ=

+ε，求出A ，所以

002114q

R R π⎛⎫

ϕ=-+φ ⎪ε⎝⎭

可见，解题的第一步是弄清电势应满足的具体条件，第二步则是凑满足这些条件的解。 。

3、如图，有一气隙，它的长度是a 。气隙两边是铁磁质（μ→∞，

且B H μ= ）。在y=a 的面上，有自由面电流02sin xk π

αατ

=⋅ ，（τ为一常量），y=0的面上，0α=，求气隙中的磁标势。 解：本题可用磁标势m

ϕ。由题设有

2

2

2

2

0m m x

y

ϕϕ∂∂+

=∂∂ （1）

由“静磁场的唯一性定理”知，需求出边界面y=0和y=a

上的H

的切向分量。

y=0处，令n J =

有21()0J H H ⨯-= （2

因为,B H μμ=→∞

，1B 有限，所以

10H =

，

代入（2）后，有：

0m x

y y H x

ϕ==∂=-

=∂

（3）

0m z

y y H z

ϕ==∂=-

=∂

同理可得：02sin m x y a

y a

H x

ϕπατ==∂⎛⎫

=-

= ⎪

∂⎝⎭

（4）

0z

y a

H ==

设()()m X x Y y ϕ=，代入（1）后得：2

2

22

110d X d Y X dx

Y dx

+

=

令

2

2

21d X X dx

λ=-，于是

2

2

2

1d Y Y dx

λ=

有 '

'

(sin cos )()m A x B x C sh y D ch y λλλλϕλλλλ=++

（5）

(sin cos )()m

A x

B x

C sh y

D ch y x

λλλλϕλλλλ∂=++∂

为满足（3），必须有0D λ= 为满足（4），取0B λ=。有02sin()()sin()x A C sh a x λλπ

αλλτ

-=

比较上式两边，有2π

λτ

=

，02(

)

A C sh a λλαπ

τ

-=