曲线曲面的基本理论

h(u)
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30-15
如：
塔柱上的螺旋楼梯
p(u, v) h(u) vl(u) (0, 0,u) v(cos u,sin u, 0) (v cos u, v sin u,u)
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30-16
直纹面的方程： p(u, v) h(u) vl(u)
30-20
直纹面是可展曲面的充要条件：h, l, l 0
设直纹面方程： p(u, v) h(u) vl(u)
则直纹面母线上的法矢： n pu pv h vl l
因为同一母线上的法矢平行，故
0 n1 n2 h v1l l h v2l l v2 v1 h l l l v2 v1 h, l, l l
h, l, l 0
例 螺旋面 p(u, v) = (vcosu, vsinu, u) 是直纹面， 但非可展曲面. 事实上，h(u) (0, 0, 1)u, l(u) (cos u,sin u, 0).
h, l, l (0, 0,1), ( sin u, cos u, 0), (cos u,sin u, 0) 1
i (u) 是以u为变量的一组基函数， j (v) 是以v为变量的一组基函数. i (u) j (v) 是以u, v为变量的一组基函数， pij 为系数矢量！
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30-3
定义1. 设曲面π：p = p(u, v) 具有连续的偏导向量， 若 pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 ) 0, 则称 (u0, v0) 对应曲面 上的点为正则点，否则称为奇点，若曲面π上每 点都是正则点，则称曲面π为正则曲面. （简单曲面）
u0 u u1
旋转曲面：
x f (u) cos v,

y

f (u) sin v,
z g(u).

u0 v0

u v

u1 v1

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30-8
(a) 球面
x R cos u cos v,

y

R
cos u
sin
v,
z R sin u.
y

y(u,
v),
z z(u, v).
(u, v) D
（u, v 称为曲面的参数或曲纹坐标）
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30-2
曲面的基表示参数方程（CAGD）：
mn
p(u, v)
piji (u) j (v)
(u, v) D
i0 j0
其中：i 0,, m; j 0,, n
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3、参数曲面的参数连续性 4、参数曲面的几何连续性
（参考《CAGD & NURBS》P195-P208）
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30-30
注：曲面在正则点处具有唯一确定的切平面! 切平面的法向量：n = pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 ) 切平面方程： n (PP0) = 0 曲面的等距面方程：P(u, v) = p(u,v) dn
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30-4
定义2. 称 p = p(u, v0)为曲面π：p = p(u, v)的u 曲线， 称 p = p(u0, v)为曲面π：p = p(u, v)的v 曲线，它 们构成的曲线网称为曲面π的曲纹坐标网.
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30-27
定义8 若两参数曲线段在正则的连接点 p 的两侧导矢
满足下式（Beta 约束）: 1 0
p+ 1

p +

0
1
p


p

pp++


0 0
2 3
12 312
13
30-11
二、直纹面与可展曲面
定义3. 若曲面 p(u, v) 的u 曲线或v 曲线中的一族是 直线，则称该曲面为直纹面，该族直线称为母线. 直纹面上与所有母线都相交的曲线称为准线.
注：直纹面也可定义为： 母线在空间连续运动扫出的轨迹！
（如：圆柱面、圆锥面、圆柱螺旋面）
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30-12
实际上，我们常采用组合曲线曲面形式，即在 满足一定光滑连接的条件下，采用分段或分片拟 合，以满足实际应用的需要。
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30-24
1、参数曲线的参数连续性
定义5 若参数曲线 p(t) 在 t = t0 处满足：
(i)
(i)
lim p(t) lim p(t),
t t0
t t0
r SPP1P2 , s SP0PP2 , t SP0P1P .
S P0 P1P2
S P0 P1P2
S P0 P1P2
P = rP0 + sP1 + tP2 （r, s, t 0, r + s + t = 1）
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30-23
三、参数曲线曲面的拼接
在实践中，常常难于用单一的曲线段或曲面片 描述复杂的形状，若依靠提高次数增加控制的灵 活性，则具有一定的局限性：不便于局部修改； 过高的次数带来计算的不稳定性等。
第三节 曲面初论
一、曲面的参数表示 二、直纹面与可展曲面 三、参数曲线曲面的拼接
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30-1
一、曲面的参数表示
曲面的向量式参数方程：
p(u, v) x(u, v), y(u, v), z(u, v) (u, v) D
曲面的坐标式参数方程：
x x(u, v),

30-25
注2. 曲线的参数连续与参数的选取紧密相关， 因此 构造参数连续的组合曲线时，需要寻找一个满足要 求的整体参数（往往很困难）.
注3. 函数曲线的可微性与函数曲线的光滑度一致. 但参数曲线的参数连续性与参数曲线的光滑度可能 不一致. （参考《CAGD & NURBS》P166-P173）
注4. 曲线的参数连续性不能客观准确度量参数曲线 连接的光滑度！
for j=1:n X(i,j)=u(j)*cos(v(i)); Y(i,j)=u(j)*sin(v(i)); Z(i,j)=k*v(i);
end end surf(X,Y,Z)
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30-7
(2) 旋转曲面
x f (u),
母线
c
：

y

0,
z g(u).
旋转轴：z轴
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30-22
局部坐标：（参数变换）
P2(x2, y2)
矩形域：[x0 , x1; y0 , y1]
r

x x0 x1 x0
,
x
(1 r)x0
rx1.
s

y y0 y1 y0
,y
(1 s) y0
sy1.
三角域：
P(x, y)
P0(x0, y0)
P1(x1, y1)
若 pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 ) 0, 且u 曲线、v 曲线 不自交，则称曲面的曲纹坐标网为正则坐标网. 若 pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 ), 则称曲面的曲纹坐标网 为正交坐标网.
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30-5
例如： (1) 圆柱螺面（正螺面）
i 0,1,k.
则称该曲线在 t = t0 处 k 阶参数连续 或 Ck 连续.
若参数曲线 p(t) 在 [a, b] 上每一点 t 均 Ck 连续，
则称该曲线是关于参数 t 的 Ck 连续曲线.
注1. 参数曲线的参数连续性实际上是沿用函数曲 线的可微性，与参数的选取有关.
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即 h, l, l 0.
注：(a c) (b c) a,b,c c
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30-21
锥面、柱面、切线面是可展曲面！
事实上，p(u, v) h(u) vl(u)
锥 面： h(u) = h 柱 面： l (u) = l 切线面： l (u) h(u)
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30-26
2、参数曲线的几何连续性
定义6 若参数曲线 p(t) 在弧长参数化下Ck 连续， 则称该曲线 k 阶几何连续（Gk 连续, GCk 连续）.
注：几何连续性着眼于形状内在几何特征的描述， 与参数化无关！
定义7 若将两曲线段之一重新参数化，可使它们在 连接点处具有正则的Ck 连续性，则称它们在该点 处 Gk 连续.
30-19
定义4. 若直纹面沿其每条母线只有唯一的切平面， 则称该直纹面为可展曲面.
注：(1) *可展曲面实质上是单参数平面簇的包络面. (2) 通过简单的弯曲，可展曲面可以完全平铺到 一个平面上，且不发生任何伸缩和破裂.
(3) 可展曲面三种类型： 锥面、柱面、切线面.
（待证）
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若 h(u) = h， 则直纹面表示锥面； 若 l (u) = l， 则直纹面表示柱面； 若 l(u) h(u), 则直纹面表示切线面；
曲线上所有点的切线的集合（h(u) 称为脊线）
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30-17
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锥面
圆锥面组成的屋面
30-18
柱状面的应用实例
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pp

(p4 )+

0
4
413

3
2 2
6 12 2
14



(p4 )


(pk )+ 0 k
1k (pk )
则称两段曲线在该点处 Gk 连续.
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双曲抛物面 （马鞍面）
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单叶双曲面
30-13
单叶双曲面
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30-14
直纹面的方程形式：
设准线为h(u)，母线的方向向量为l(u)，直纹面 可视为准线沿母线方向l(u) 连续运动产生的轨迹， 故直纹面的方程可表示为
p(u, v) h(u) vl(u),
l(u) vl(u)
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u 曲线： 曳物线 v 曲线： 纬线（圆）
30-10
(c) 悬链面
x

a
cosh
u a
cos
v,

y

a
cosh
u a
sin
v,
z u.

50 u 50

0
v
2

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u 曲线： 悬链线 v 曲线： 纬线（圆）


2 0v
u

2
2

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u 曲线： 经线 v 曲线： 纬线
30-9
(b) 伪球面

x sin u cos v,

y

sin
u
sin
Baidu Nhomakorabeav,
z

ln
tan
u
cos u.

2
3.2 u 4.2

0

v

2

x u cos v,

y

u
sin
v,
z kv.
0.6 u 3

0

v

4

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u 曲线： 直线（母线） v 曲线： 圆柱螺线
30-6
Matlab 绘图（圆柱螺面）：
v=linspace(0,4*pi,73); u=0.6:0.4:3; k=0.5; m=length(v); n=size(u,2); for i=1:m
30-28
注1. Beta 约束的应用： (1) 判断两曲线段在连接点处是否具有Gk 连续性； (2) 形状参数 i (i 1, 2,, k) 提供了控制曲线形状的 额外自由度； (3) 构造 Beta 样条曲线.
（参考《CAGD & NURBS》P189-P190）
注2. 形状参数 i (i 1, 2,, k) 的几何意义不明显！