第五章 5.4平面向量的应用-学生版

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →

，则A ，B ，C 三点共线．( ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( )

(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →

<0，则△ABC 为钝角三角形．( )

(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →

＋t (AB →＋AC →

)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( )

2、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

3、已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →

|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4

D ．3

4、若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( )

第1课时

进门测

A. 3 B ．－3 C. 6

D ．－6

5、平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP → ·OA →

＝4，则点P 的轨迹方程是____________．

无

题型一 向量在平面几何中的应用 命题点1 向量和平面几何知识的综合

例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →

＝1，则AB ＝________.

(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则 |P A →＋3PB →

|的最小值为________． 命题点2 三角形的“四心”

作业检查

阶段训练

第2课时

例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →＋AC →

)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 引申探究

1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →

＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →

|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？

命题点3 平面向量数量积与余弦定理

例3 在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →

＝6，则BC 等于( ) A ．213 B ．10 C ．237 D ．14

【同步练习】

(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →

满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →

＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．

题型二 向量在解析几何中的应用 命题点1 向量与解析几何知识的综合

例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →

＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．

(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →

＝0，则y x ＝

___________.

命题点2 轨迹问题

例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →

＋12PQ →)·(PC →－12PQ →

)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；

(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →

的最值．

【同步练习】

(1)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →

的最小值为________．

(2)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P

→

|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →

，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±

55x B ．y ＝±1

2x

C ．y ＝±32

x D ．y ＝±

33

x

题型四 函数与方程思想在向量中的应用

例6 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |

|b |的最大值等

于______．

(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →

，则λ＋μ＝________.

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

第3课时

阶段重难点梳理