第七章无穷级数习题课

2
n1
2n1 2
n1
2n1
(1)n1
1
n1
2n1 4
【例5】* 求幂级数 n 2 x n1 在收敛区间 (1, 1)内的和函数。
n1
分析：由于幂级数 x n
x
，通过比较级数 n 2 x n1 和
n1
1 x
n1
x
n
的一般项，不难发现，
x
(
n2xn1)dx
nxn
，而
n0
0 n1
n1
0x nxn1dx xn，所以应用给定的幂级数先积分，后求导，
第七章 无穷级数习题课 (二)
函数项级数
一、幂级数
1．幂级数的基本概念
(1) 幂级数的定义： a n x n 或 an ( x x0 )n
n0
n0
(2) 收敛半径： 存在正数 R(0R) 当| x| R幂级数收敛，当 | x| R幂级数发散，
称为幂级数的收敛半径。
收敛区间： (R,R)
收敛域：收敛点的全体 (R,R) [R,R) (R,R] [R,R]
n1
n1
就可以利用 x n
x
进行计算。
n1
1 x
解：令 S(x) n2xn1 n1
对幂级数在区间 ( 1, 1) 内逐项积分，得：
x
S 1(x)S (x)dx
xn 2xn 1dxn xn
0
x
nxn1
xS2(x)
0
n 1
n 1
n1
其中，S2(x) nxn1 。
n1
再应用逐项积分的方法得：
1 tn
n1 n
lim an1
n an
n
n
lim lim 1
n n1 n n1
R
1
1
所以 1x21，即1x3时，幂级数收敛。
当 x1时，级数为
1 (1)n，为交错级数收敛，
n1 n
当 x3时，级数为
1
，为P-级数发散，
n1 n
故此幂级数的收敛域为[1, 3) 。
【例3】求幂级数
(1)n n1 n4n
解题方法流程图
3
， ，其它 a n x 2 n
an x 2n1
un( x )
n0
n0
n0
用比值法
令y x2
lim un1(x) | x|m
n un(x)
当 | x | 1 时收敛
m
当 | x | 1 时发散
m R 1
m
讨论 x R处的敛散性
收敛域
an yn
n0
求幂级数收敛域 判别幂级数类型
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项积分
x
S
0
xdx
bnxn1
n0
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项求导
Sx0xS1xdx
SxS1x
5．典型例题
【例1】
求幂级数
n1
2n n2
1
xn的收敛半径及收敛域。
2n1
解： lim an1 lim
n an
n
(n 2n
1)2
n0
对于 a n x n
n0
型，通过求
lim
n
an1 an
，得半径 R
1
，
然后讨论 x R处的敛散性，从而得收敛域；
对于an( x x0 )n型，令t x x0, 化为 a n t n 型, 可得收敛域；
n0
n0
对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论
x R处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。
x2n1 (1)n1
1 (2x)2n1
n1
2n1
n1
2n1
求导得 S(x)2 (1)n1(2x)2n2
n1
1
2 4x2
(|2x|1)
积分得S(x)
x2 0 14x2
dx
x1
01(2x)2d(2x)arctan2x(|
x
|
1) 2
令x
1 2
，则S(1) arctan1 (1)n1 22n1 (1)2n1 (1)n1 1
x n （或
xn
n0
n0 n!
幂级数的和函数，求出其和函数。
等）
解题方法流程图如下图所示。
解题方法流程图
求 a n x n 的和函数 n0
anxn S x
n0
Yes 逐项求导
能直接求 出和函数
令S x anxn n0
No No
逐项积分
恒等变换 直接求和
Yes
anxn S x
n0
Sx bnxn1 n0
1
2
n2 1
R1 2
x ( 1 ,
1 )
22
当 x
1 2
1
时，级数为 n1 n 2 1
，该级数收敛。
当
x
1 时，级数为
2
n1
(1)n n2 1
，该级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [ 1 , 1 ] 。 22
【例2】求幂级数
1 ( x 2)n 的收敛域。
n1 n
解：令 x2t，原级数变为
S 3 (x )0 x S 2 (x )d x n 10 x n x n 1 d x n 1x n 1 x x
对S 3 ( x ) 求导得 S2(x)S3 (x)(1 xx)(11x)2
x2n1 的收敛域。
解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法
lim un1 ( x) n un ( x)
limx2n1 n4n 1x21x2
n (n1)4n1 x2n1 4
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数收敛。
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数发散。
4
当
x
2时，级数为
(1)n22n1 n1 n4n
1
anxn
n0
lim an1 a n
n
R 1
讨论 x R处的敛散性
收敛域
2
an ( x x0 )n
n0
令 t x x0
antn
n0
4．幂级数和函数的求法
求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的
幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先
积分后求导”等技巧，并利用与形如
n 0
n 0
n 1
（3）可积性：
0 x(n 0a n x n )d x n 00 xa n x n d x n 0n a n 1 x n 1 x(R,R)
3．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法
求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 a n x n 型、
n0
an( x x0 )n 型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。
(1)n，为交错级数收敛。
n1 2n
当x2时，级数为n 1(n 4 1)nn(2)2n1n 1(1 2)nn1，为交错级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [2,2]。
【例4】求幂级数
(1)n1
22n1
x2n1的和函数，并求
n1
2n1Байду номын сангаас
(1)n1
1
的和。
n1
2n1
解：记
S(x) (1)n1
22n1
(3) 幂级数的和函数： S(x) anxn n0
x(R,R)
2．幂级数和函数的性质
（1）连续性：
x li m x0S(x)x li m x0(n0anxn)S(x0)
（2）可导性：
x0(R,R)
S '(x ) ( a n x n )' (a n x n )' n a n x n 1 x(R,R)