误差分析及绪论习题-复习题

课本例外补充习题 (第一章)
1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2. 2.为了使
11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?
3. 3.如果利用四位函数表计算
2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.
4.求方程
01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.
( 已知
975.19399≈ )
5、设
0>x , *x 的相对误差为δ
求
x ln 的误差。

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。

摄指出他们是几位有效数字。

解：(1)
*1
x =1.1021 是五位有效数字 (2) *2x =0.031 (2位) (3) *
3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5)
*
5
x =7*1.0 (2位) . 7、 求下 列各近似值得误差限 .
(.
1)*
3*2*
1x
x x ++ , (
.1.
1)*
3*2*1x
x x ， (
.1.1.
1) *
4*2
x x , 其中*
4
*3*2*1
,,,x x x x 均为 第6题 所给的数 .
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限
是多少?、
9、设
2
2
1gt s =
假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.
10、
)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公
式
)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?
课本例外补充习题 (第一章)答案
4. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?
2.为了使
11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?
解:
3166.311≈ , 31=∴a , %1.010**21
|)(|11
*≤≤
∴+-n r a x ε
⇒ 1000
6
101≤
+-n
⇒ (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3
⇒-n+1≤-2.2218 ⇒n ≥3.2218 .
∴
n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限
≤0.1% .
3.如果利用四位函数表计算
2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.
解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012
cos 1=-≈-
, 只有1位有效数字.
4
2210*092.69994.1)03490.0(2cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-
只有4位有效数字.
4210*09.61sin 22cos 1-≈=- , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=- , 故
以上3种算法误差限分别为
44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .
4.求方程
01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知 975.19399≈ )
解: 975.39399202
1400240241600401
=+=-+=-+=
x
975.1920*
1+=x , 由伟大定理
21
1
x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975.3912==
x , 02500.0975.1920399202
1400240*
22=-=⇒-=--=
x x
00005.010*2
1
00001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*
111=≤
=-=-=-=-x x x ε
4*
22210*2
1
|975.19399||||)(|-≤
-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字. 5、设
0>x , *x 的相对误差为δ求
x ln 的误差。

解：求x
ln 的误差限就是求
x
x f ln )(= 的误差限。

由公式
)
(|)(|)(***x x f x f δδ'≈ 有
)(|)(|max |)()(|)(*)
(||****x x f x f x f x f x x x δδδ'≤-=≤-
已知
*x 的相对误差限δ
满足
|
*||
*|x x x -δ≤<1而
x x f ln )(= , x
x f 1)(=
' , |
|)(||*
*
*x x x x δδ=≤- ,故
)
(|||||||1|max |ln ln |**
**
*)(|*|*
x x x x x x x x x x x x δδ--≤-≤-≤- 即
δ
δ
δδ-≤
--=
111|*||*|)(ln *x x x x 。

6‘-为了减少运算次数，应将表达式.54324216171814131
1681
x x x x x x x x -+---++-
改写为；
答案：
()()()()()()()1
816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。

摄指出他们是几位有效数字。

解：(1)
*1
x =1.1021 是五位有效数字。

(2) *
2x =0.031 (2位) (3)
*
3
x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5)
*
5
x =7*1.0 (2位) . 7、 求下 列各近似值得误差限 .
(.
1)*
3*2*1x
x x ++ , (
.1.
1)*
3*2*1x
x x ， (
.1.1.
1) *
4*2
x x , 其中*
4
*3*2*1
,,,x x x x 均为 第6题 所给的数 . 解: (.
1)*
3
*2*1
x x x ++ 用 7p 公式=±)(*2*1x x ε±)(*1x ε)(*2x ε ∴
)()()()(*
4*2*1*4*2*1x x x x x x εεεε++=++
有绝对误差限公式1*110*2
1
||
+-≤
-n m x x
3344.
10*05.110*2
1
10*2110*21)1(----=++≤
∴ []
)
(||||)(||)(||||)(||||)(||)()11(*
3*2*1*2*2*1*1*3*3*2*1*2*1*3*3*2*1.
.x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεε++=+=
215.010*2
1
*031.0*1021.1)10*21*031.010*21*1021.1(*6.385134=++=---
)
111(.
..*4
*2
x
x
解2
3
32*4*4
*4
*2
*2
*4
*2)430.56(10*21
*430.5610*21*031.0||)(||)(||)(--+≤+≈x x x x x x x εεε
=8.87*6
10
-.
8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限
是多少?、解: 已知
%1=v dv , 由334r v π= %133
43*3432
==∴dr r
dr r r ππ
%33.0%31
==∴
r dr 9、设
2
2
1gt s =
假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.
解:
1
.0)(*=t ε
22
1gt s =
,
gt t
s =∂∂ ,
2
2
1t g s =∂∂ ,
0)(*=g ε
*1******101.0*|)()(|)(|)(
|)(gt gt g g
s
t t s s -==∂∂+∂∂=εεε*
2**1***
1
)(2
10||)
()(st t g gt s s s r ===-εε , 由
*1*10)(gt s -=ε , 已知*
*1)(st s r =
ε当 t 增加时 s 的绝对
误差
)(*s ε增加 , 而 )(*s r ε减少.
10、
)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公式
)
1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?分析: 由于
)1ln()(2--=x x x f , 求)(x f 的值应看成复合函数先令12--=x x y , 由于开平方用六位函数表则y
的误差为已知故应看成
y
y f z ln )(==-
, 由y 的误差限
|
*|y y - 求
)
(y f -
的误差限
|ln ln |)(**y y z -=δ .
解: 当
30=x 时求 130302--=y 用六位开平方表得 0167.09833.2930*=-=y 故
4
*
10*2
1||-≤-y y 由 y y f z ln )(==-得y y f 1)(=
'-故
)(1*
**y y y
z z -≈
- , 于是
2
4*
**
*
10*3.010*0167.05
.0|
|||||)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ , 若改用公式
)1ln()(2-+-=x x x f 则 先令12
-+=x x y 此时 y y f z ln )(-==-
则
9833.5989930*=+=y
因此
4*10*2
1
||-≤
-y y ,
)(1*
**y y y
z z --
≈- 于是
6
4*
**
10*834.010*9833.595.0|
||||*|)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ 可见改用公式时误差比前面的误差小得多. 第一章
1、345x ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
求G-矩阵T 使得1||Tx x e =
解：12125(,)3/5,4/5,05T c s c s T x ⎛⎫ ⎪
=== ⎪ ⎪⎝⎭
中
) ,
1312131
(,)1/1/0||0T c s c s T T x x e ==⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭
中1213T T T =。