2009年考研数学一真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）

()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 1

1,6

a b =-=.

（2）如图，正方形

(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为

四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k

k D I y xdxdy =⎰⎰，

则{}14

max k k I ≤≤=（ ）

()A 1I .

()B 2I . ()C 3I .

()D

I （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：

则函数()()0

x

F x f t dt =

⎰的图形为（ ）

()A .

()B .

x

()C .

()D .

（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则（ ）

()A 当1

n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞

=∑收敛.

()B 当1n n b ∞=∑发散时，1

n n n a b ∞

=∑发散.

()C 当

1

n

n b

∞

=∑收敛时，

221

n n

n a b

∞

=∑收敛.

()D 当1

n

n b ∞

=∑发散时，

221

n n

n a b

∞

=∑发散.

（5）设123,,ααα是3维向量空间3

R 的一组基，则由基12311

,

,23

ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）

()A 101220033⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

. ()B 120023103⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

.

()C 1

112461112461112

4

6⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪

- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

.

()D 1112221114

441116

6

6⎛⎫-

⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

. （6）设,A B 均为2阶矩阵，*

*

,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块

矩阵O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭

的伴随矩阵为（ ）

()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.

()B **

23O

B A O ⎛⎫

⎪⎝⎭. ()C **32O A B

O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.

()D **

23O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

.

（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫

=Φ+Φ

⎪⎝⎭

，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）

()A 0.

()B 0.3. ()C 0.7.

()D 1.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）

()A 0.

()B 1. ()C 2.

()D 3.

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）

（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则

2z

x y

∂=∂∂ 。 （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x

y C C x e =+，则非

齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = 。

（11）已知曲线(2

:0L y x x =≤≤，则L

xds =⎰ 。

（12）设(){}

2

22,,1x y z x

y z Ω=

++≤，则2z dxdydz Ω

=⎰⎰⎰ 。

（13）若3维列向量,αβ满足2T

αβ=，其中T

α为α的转置，则矩阵T

βα的非零特征值

为 。

(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本

均值和样本方差。若2X kS +为2

np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分9分）求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

（16）（本题满分9分）设n a 为曲线n

y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记

12211

1

,n n n n S a S a ∞∞

-====∑∑，求1S 与2S 的值。

（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22

143

x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点