题解有限元法和无网格伽辽金法

题 解有 限元法和无 网格伽 辽金法 ＊
张俊 贤 朱 风 风 王金 田
摘 要 ： 用 无 网格 伽 辽 金 法 和 有 限 元 法 对 一 维 问题 进 行 了数 值 模 拟 ， 结 构 体 离 散 、 度 矩 阵 、 效 节 点荷 载 、 界 条 采 对 刚 等 边
件、 计算精度和效率等进行 了比较 ， 数值模拟结果表 明， 同样 的节点 划分 ， 网格 伽辽金 法得 到的数值解精度 较高 、 无 与解
２ 有限元法 。如图 ２所示 ， 杆件 划分 为 Ｎ一１ ） 将 个单元 ， 通过
实际计算取 Ｎ＝１ ， 间距分布 ） １等 。 的有力工具 ， 是基 于网格 的数 值方法 。然而 ， 有限元法 在分析 高 Ｎ 个节点连接 （
章从基本理论 发 ， 针对一 维杆 ， 依照 计算 流程顺 序在结 构体离
第３ ６卷 第 １ 期
・
６ ・ ８
２０ １０年 １月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ １ １３ ．
Ｊｎ ２ １ ａ ． ００
・
结 构 ・ 震 ・ 抗
文 章编 号 ：０ ９６ ２ （０ ００ ．０ ８０ １ ０ —８ ５ ２ １ ）１０ ６ ．２
“ ） Ｊ （ １专一 ｚ ｌ
（ ） ＝
（ １ ）
（） ２
小二乘法可得待定系数向量 ：
ａ ） （ ＝Ａ Ｉ （２Ｂ（ ） １ ３） “ （） ３
近似函数 ：
“（ ≈ “ （ ） ） ＝Ｎ （ “ ）
（） 源自文库
２ 结构 体离 散
无 网格法基 于节点 对结 构体进行离散 ， 而有限元法基于单元 对结构体进行离散 。这样 的差别 使得 无 网格 法对结 构体进 行 离 散的时候更加灵活 ， 在处理 大变形 、 力变化 剧烈 的问题 上具有 应
１ 算 例
图 １ 图 ２均 为 承 受 轴 向 荷 载 的一 维 杆 模 型 。 受 线 性 分 布 荷 ，
图 离散 求 解 域 ｎ， 设 待 求 位 移 场 函数 ｚ ） 求 解 假 ｔ 在 （ 载 ＿ ） 作用 。左端 固定 ， ， ： （ 右端 自由 ， 长度 Ｌ＝１ 杆材料 的弹 （ 中实 心 点 ） ， 域 力 中 的 Ｎ 个 节 点 的 函数 值 是 已 知 的 ， ｆ Ｕ ｆ ， 用 移 动 最 Ｕ＝ （ ）利 性 模 量 Ｅ－１ ＿ 。位 移 和 应 力 的 解 析 解 为 ：
有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ Ｍｅｈｄ Ｆ Ｍ）１ ｊ 工 程 数 值 分 析 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｔｏ ， Ｆ Ｉ０为 ｅ ｍｅ － 速撞 击 、 态 裂 纹 扩展 等涉 及 特 大变 形 的 问 题 时遇 到 了 因 网格 畸 动 变 而产 生 的 困难 。而 无 网格 法 （ ｓ ｅｓＭｅｈ ， Ｍ ） ］ 处 ＭｅｈＬ ｓ ｔｏ ＭＬ ［ 在 ｄ ３ 理 大 变形 或 网格 畸 变 等 问题 时 具 有 明 显 的 优 势 。 目前 已 经 提 出 了十余种 ＭＬ 常用的主要有广义有限差分法ｌ 、 Ｍ， ４ 光滑质点流体 ｊ 动力 学 法 ］Ｅ Ｇ Ｅ 。Ｅ Ｇ 是 ＭＬ 中较 为 成 熟 的方 法 ， Ｆ Ｍ 等 ＦＭ Ｍ 文
Ｎ（ ：了 Ｌ ｚ） １ｆ ． － ，
元， 虽然在 Ｅ Ｇ 中引入 了背 景 网格 （ 图 １ ， ＦＭ 见 ） 但是 背景 网格仅 仅用于数值积分计算。其他无 网格法诸如配点 型无 网格法 、 局部
收稿 日期 ：０ ９０ ．４ ２ ０ ．９ １
＋ （一） ｌ （ ｌ 一 ， ］Ｌ 一 ד ｌ ９ ）
其 中 ， 函数 ： 形
（ ＝１ ２ … ， 处 是 已 知 的 ， “ ＝“（ ） Ｊ ， ， Ｎ） 即 ｆ Ｊ。单 元 的 位 移模 式 或 位 移 函 数 采 用 二 项式 作 为 近 似 函 数 ， 得 待 定 系数 向量 ： 可
一
ｎ Ｃｌ＝１ ． ＝ ｕ ［ Ｓ Ｃ
／ ＋
一
３×ｌ ２ ［． ｃ ］ ８ ］Ｕ ， ， ＋
散、 刚度矩 阵和 等效节 点荷 载 、 界条 件 、 边 精度 和 效率 等方 面对
Ｅ ＧＭ 和 Ｆ Ｍ 进 行 比 较分 析 。 Ｆ Ｅ
图 ２
有 限元 模 型
３ 刚度矩 阵 和等效 节点 荷载
３ １ 形 函数 ． １无 网格 ＭＬ ） Ｓ法 。图 １中用 Ｎ 个 节点 ． （ ＝１ ２ …， ７ Ｊ ， ， Ｎ） ２ ，
“１ ＩＪ
图 １ 无 网格 模 型
单 元近似函数 ：
Ｕ
１无 网 格 法 。 如 图 １ 示 ， Ｎ 个 节 点 离 散 一 维 杆 （ 际 计 ） 所 用 实 算 取 Ｎ ＝１ ， 间距 分 布 ） 无 网 格 法 部 分 或 彻 底 取 消 网格 或 单 １等 。
ｈ ．） ） “＝ （ ＝Ｐ （ Ｃ ｒ
优势 。
其 中， ３） ） （ Ｂ（ Ｎ（２ ＝Ｐ （ Ａ ｘ） ｘ）
Ａ（２ ， ． 分 别 为 ： ３）Ｂ（２ ７ ）
（） ５
Ａｚ ＝∑叫（）（， Ｔ ｆ （） ， Ｐ ） （ ） Ｐ
（ ６ ）
Ｂ（ ） ｕｌ Ｐ（ ） ２ ） ｘ ）… ， ，（ Ｐ（ ） （ ） ＝［ ・ ） １ ． （ Ｐ（ ２ ， ｕ ） ］７ ｒ （ ２ 有 限元法 。图 ２中求解域 ｎ 被 离散 成 Ｎ 一１个相互 连接 ） 的单元 ， 假设待求位移场 函数 “ ） （ 在求解域 ｎ 中的 Ｎ 个节点 ，
析 解 吻 合 较 好 ， 是 计 算 量 大 干 有 限元 法 。 但 关键 词 ： 网格 伽 辽 金 法 ， 限 元法 ， 动 最 小 二 乘 法 ， 格 朗 日乘 子 法 无 有 移 拉 中 图分 类号 ： Ｕ３ １ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ 伽辽金法等均不需要网格 。
０ 引言