题解有限元法和无网格伽辽金法
伽辽金无网格法和有限元法的比较
０ 引
言
ห้องสมุดไป่ตู้
有限点法Ｅ 、 ｐ云法Ｅ 引ｈ 及单位分解法Ｅ 等。本 。 文通 过对 几种 平 面模型 采用无 网格法 和有 限元 法 分别计算 ， 得出应力和位移的 Ｌ 误差 ， ｚ 通过误差 曲线 比较两者的精度和收敛率。
在工程实际和科学分析 中， 数值方法被用来 求解复杂体系的控制方程 ， 如有限差分法 、 有限元 法 和边界 元法 。近 １ 年 来 ， 网格法 逐渐 兴起 成 ５ 无 为数值分析中的另一 种求解偏微分方程的方法 ， 这种方 法直 接通 过 一 组 结 点来 构 造 近似 体 系 ， 增 加或删除结点很方便 。
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第３ Ｏ卷 第 ７期
２０ ０ ７年 ７月
合肥 工 业 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＥＦＥＩＵＮＩ ＲＳＴＹ ＴＥＣＨＮＣＬ ＶＥ Ｉ ＯＦ ｌＯＧＹ
Ｖｏ ＿ ０Ｎ ｏ ７ ｌ３ ．
Ｊｌ ０ ７ ｕ。２ ０
Ｃｏ ｐａ ａ ｉｅ ｓｕ ｙ ｏ ｈ ｌｒ ｎ ｍ ｅ ｈ ｆｅ ｍ ｒ ｔｖ ｔ ｄ ｆｔ ｅ Ｇａｅ ｋｉ ｓ －ｒ ｅ
ｍ ｅ ｈｏ ｎ ｈ ｉ ｔ ｌ ｍ ｅ ｅ ｈ ｄ ｔ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｆｎｉｅ ｅ ｅ ｎｔｍ ｔ ｏ
ＬＩ ＡＮＧ ａ － ｏ ｇ ＮＩ Ｚ ｏ ｇ ｒ ｎ ， ＣＨ Ｅ Ｇ ａ ｇ ｚ ｅ ｇ Ｘｉｏ ｄ ｎ ， Ｕ ｈ ｎ － ｏ ｇ Ｎ Ｃｈ ｎ － ｈ ｎ
无 网格 法 由于 采 用 基 于点 的 近似 ， 因此 可 以 彻底 或部 分 地消 除 网格 ， 需 要 网格 的初 始 划 分 不
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｉｉ Ｅ ｇ ｎ ｅ ｉｇ Ｓ ｈ ｏ ｖ ｎ ｉｅ ｒ ，Ｈｅ ｅ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｈｅｅ ３ ０ ９ ｈ ｎ ） ｏＣ ｌ ｎ ｆｉ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｔ Ｔｅ ｆｉ ０ ０ ，Ｃ ｉ ａ ２
经典：第八讲-有限元法(8)
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。 伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。
1
（5）伽辽金法
简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。 等效积分形式
伽辽金法的一般表达式
引入变分 更简洁的形式：
22
弹性长杆的定解问题
微分方程 定解条件
Eu g 0
u xa 0
E u x
xb q
对应泛函
泛函的变分
23
有限元法的基本原理
2．加权余量法
直接从微分方程出发的一种积分方法。
假设未知函数采用近似函数表达：
n
u u Niai Na i 1
近似函数表示的微分方程的残差
边界条件的残差
其思想是使由近似函数表示的微分方程的残差和边界条件的残差的加权积分为零
加权函数、近似解试探函数、坐标插值 函数的类型一致
29
d）单元平衡方程
30
4） 总体分析
a） 建立选择矩阵：
31
b) 组集单元刚度矩阵 c) 组集等效节点载荷
Fe
Al 2
Aqe (x1e )
Al 2
Aqe
(
x2e
)
T
d） 解以节点为未知量的方程组
32
热传导问题的有限元方法
33
热传导方程
a
xb
此式即杆的平衡方程
19
iii ）含有约束条件的变分问题
一端约束（指定位移）的弹性杆
解法1：Lagrange 乘子法构造新泛函
I *(u)
b a
F u
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
题解有限元法和无网格伽辽金法
题解有限元法和无网格伽辽金法
张俊贤;朱风风;王金田
【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2010(036)001
【摘要】采用无网格伽辽金法和有限元法对一维问题进行了数值模拟,对结构体离散、刚度矩阵、等效节点荷载、边界条件、计算精度和效率等进行了比较,数值模拟结果表明,同样的节点划分,无网格伽辽金法得到的数值解精度较高、与解析解吻合较好,但是计算量大于有限元法.
【总页数】2页(P68-69)
【作者】张俊贤;朱风风;王金田
【作者单位】烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005;烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005;烟台大学土木工程学院,山东,烟台,264005
【正文语种】中文
【中图分类】TU311
【相关文献】
1.改进的高斯-无网格伽辽金法解偏微分方程 [J], 孟虹宇;彭磊
2.基于无网格伽辽金法的非线性流动数值模拟 [J], 孟俊男;潘光;曹永辉;李林丰;黎针岑;周冰
3.二维多域弹性问题虚边界无网格伽辽金法分析 [J], 杨冬升; 凌静
4.三维单域弹性问题虚边界无网格伽辽金法分析 [J], 杨冬升; 吴福飞
5.基于无网格伽辽金法的连铸坯凝固计算方法 [J], 王宁; 王旭东; 蔡来强; 姚曼
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[硕士]题解无网格法及其与有限元法的比较研究初步_pdf
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ห้องสมุดไป่ตู้摘要
近几十年来，有限元法(FEM)由于其通用性和灵活性已经成为工程数值领域的主要方法， 但是有限元法在分析大变形、不连续性等问题时存在缺陷。无网格法(MLM)正是基于这些缺 陷提出的。本文在分析了无网格法的研究历史和现状、分类和优缺点的基础上，基于算例分 别采用无网格伽辽金法(EFGM)和有限元法进行数值模拟，对两者在结构体离散、刚度矩阵 建立、等效节点荷载施加、边界条件的引入等方面进行了比较分析，并指出了各自的优缺点。
文章简述了无网格法中另外的比较成熟的方法——配点法，并基于一维算例在相同条件 下分别与无网格伽辽金法计算结果进行了对比。相比于无网格伽辽金法，配点法计算效率高、 位移边界条件容易实现、但系数矩阵是非对称的、稳定性较差。
本文简单介绍了克立格法，并将其应用到求解无网格法形函数的过程中，建立了克立格 无网格伽辽金（KEFG）法（简称克立格无网格法)。用克立格无网格伽辽金法分析了一维杆件 算例，并与相同材料参数条件下运用无网格伽辽金法得到的结果进行对比，结果表明该方法 具有很好的稳定性和点插值性，方便施加位移边界条件，在固定端的误差相对于无网格伽辽 金法要小，且计算量远小于无网格伽辽金法。
最后运用无网格伽辽金法求解了土体的二维固结问题，并与相同条件下运用有限元法得 到的结果进行比较。结果表明两种方法计算结果比较吻合，说明该方法可以有效地模拟工程 问题。
关键字： 无网格伽辽金法；有限元法；配点法；克立格法。
I
筑龙网
Ａｂｓｔｒａｃｔ
In recent decades, the finite element has become a major field of engineering numerical methods, as it is universal and flexible. But defects of the finite element method exist in analyzing large deformation, non-continuityand so on. The meshless method is proposed basing on these defects. The element-free Galerkin method (EFGM) and finite element method (FEM) are adopted to numerically simulate a numerical example basing on the development history and present situation, classification, advantages and disadvantages analysis of the meshless in this text. And comparisons are also made between the results by this two methods basing on the numerical examples in structure discrete, stiffness matrix establishment, application of equivalent node loads and boundary conditions application, etc. And theirs advantages and disadvantages are pointed out.
计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
电磁波方程
Yee格式及蛙跳机制
电磁波方程的离散
激励源
Mur吸收边界条件
解的数值稳定性
Yee格式及蛙跳机制
n d 2 l E dl = 0 dt A H dS 1 = 0 H n1 dS H n dS A A t d H d l = E dA J dA 0 l A dt A
t H x 0
E
n 1 z i , j , k 1/2
Hx z
n 1 2 i , j 1/2, k 1/2
Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
Hz x
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
n 1 2 J Source _y
f x x
xi
1 2 f x x f x x O x i i 2x
离散
计算机处理
1.积分 f xi x
岩土工程数值方法
岩土工程数值方法摘要：逐渐发展起来的一些岩土分析手段与数学理论，如信息量法、层次分析法、随机模拟法、无网络法、数值流形法、离散元法、分形理论、可靠度分析、人工神经元网络和智能岩石力学等，已经呈现出综合应用的趋势，对于岩体力学研究而言，岩石破坏过程的渐进性、岩体内部初始损伤的存在及块体之间的不连续特征是必须考虑的因素，因此建立在连续介质力学基础上的传统有限单元法具有明显的局限性。
各种新方法的涌现从不同方面推动了岩石力学数值计算方法的进步。
关键词：岩土数值模拟有限元法无网络伽辽金法扩展有限元法数值流形法离散元法Abstract: gradually developed some geotechnical analysis method and mathematical theory, such as information method, the analytic hierarchy process (ahp), random simulation method, the numerical manifold method, no network, discrete element method, fractal theory, reliability analysis, artificial neural network and intelligent rock mechanics etc, has presented a comprehensive application trend, for research in rock mechanics, rock failure process of rock mass progressive, the existence of the internal initial damage and block the discontinuous characteristics between is must consider factors so based on continuum mechanics on the basis of the traditional finite element method has obvious limitation. All kinds of the emerging of the new method from different aspects promote the rock mechanics numerical calculation method of progress.Keywords: geotechnical numerical simulation finite element method without network petro-galerkin method was expanded numerical manifold method finite element method of discrete element method中图分类号：O241 文献标识码：A文章编号：岩土数值模拟是否正确，其解决问题的重要基础仍然是地质工作，“地质体运动真实行为的理解比精确计算更为重要”。
伽辽金法
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
谢谢
THAN到满足，若记：
RI RB
L(u%) B(u%)
f g
在V域内 在S边界上
显然 RI RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 WI，在边界S上引入边界权函数WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
EI
d4y dx4
q
0
其边界条件为：
y
dy dx
0
d
2
y
dx2
d3y dx3
0
(x 0) (x l)
若取试函数为：
y% c(x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2 )
不难验证其满足边界条件，也即RB 0。而控制方程的内部余量 RI 为:
RI EIc(120x 24l) q
此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
三维无网格法与有限元法工程应用对比分析探讨
第２ ９卷第 ４期 ２０ ０ ７年 ｌ ２月
南 昌 大 学 学报 ・工科 版 Ｊｕ ａ ｏ Ｎ ｎｈｎ ｎｖｒ ｔ（ ｎｉｅｒ ｇ＆ Ｔ ｃｎｌ ｙ ｏｒｌ ｆ ａｃａ ｇＵ ｉ ｓｙ Ｅ ｇｎｅ ｎ ｎ ｓｄｏ ｏｉｇｌａｔ ｑ ａｅｍｅ ｏ （ Ｌ Ｍ） Ｆ Ｍ ｆ ｍｕａ ｓ ｈ ｉ ｒｔ ｍ ｄｌ ｓ ｃ ：ｈ Ｆ Ｍ ａｅ ｎｍ ｖ ｓ ｓｕ ｒ ｔ ｄ Ｍ Ｓ ．Ｅ Ｇ ｒ ｌ ｅ ｅｄｓ ｅ ｏ ｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ｈ ｏ ｔ ｔ ｃ ｅ
Ｕ Ｕ ｉ ｉｈ ｏ ｄ ｒ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｏ ｅ ｈ ｎ ｉ ｏ ｉ ． Ｎｏ ｌ ｅ ｒｅ ａ ｔ ｎｔ ｌ ｍｅ ｔ ｔ ｏ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｅｉ Ｏ Ｓ ｗ ｔ ｈ ｇ — ｒ ｅ ｆ ｒ ｎ ｉ ｓ ｖ ｒｔ ｅ ｅ ｔ ｅ ｄ ｍａ ｎ ｈ ｄ ｆ ａ ｒ ｎ ｉ ａ ｌｓｉ ｆ ｉ ｅｅ ｎ ｈ ｄ ｉ ａ ｅ ｎ ｄ ｒ ｎ ｃｉ ｅ ｍｅ —
ｖｎｇ ｅｅ ｎ ｓ ｏ ｕｌｔ ｓｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｇ — ｒ ｒｄｉ ｅ ｅ ｔ ｓ ｆｎ ｔｏ ｎ ｑ ｉｉｒｕ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｅｃ Ｆｕ ｔ ｅ ｏ ｅ ｉ ｌ ｍｅ ｔ ，ｆ ｒ ｍ ａｅ ｏ ｔｎ ｏ ｓｈｉｈ ｏｄｅ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｃ ｉｎｓ ａ ｄ ｅ ｕ ｌ ｉ ｍ ｑ ａｉ ｎ ｔ ． ｆ ｌ ａ ｂ ｒｈ ｒ ｒ ｍ
ａｅａ ｌ ｉ ａａｙｅ ｅ ｉ ｙｕｉｇｐｏ ｇａ ｆ ｌ ｅ ｔ ｒｅＧ ｅｋｎｍ ｔｏ （ Ｆ Ｍ）ａ ｄＮ ｎｉｅｒ ｉｉ ｘｍｐｅ ｓ ｎ ｚ ｉ ｄｔ ｌ ｂ ｓ ｒｍ ｒｍ ｏ ｅ ｎ— ｅ ａ ｒｉ ｅｈｄ Ｅ Ｇ ｌ ｄ ｎ ａ ｓ ｎ Ｅ ｍ ｆ ｌ ｎ ｏｌ ａ ｎ ｅ ｎ Ｆ ｔ Ｅｅ ｅ ｔ ｔｏ （ Ｅ ｌｍ ｎ ｍｅ ｄ Ｆ Ｍ）ｉ ｉ ｐ ｐ ｒ ｈ ｓｌｓｏ ａ ｎｗ Ｅ Ｇ ｒ ｃｕａ ａ Ｅ ｌ ｎ ｎｉ ｈ ｎｔ ｓ ａ ｅ．Ｔ ｅｒ ｕｔ ｈ ｗ ｔ ｔ ｅ Ｆ Ｍ ｉ ｍｏｅａｃ ｒ ｅｔ ｎＦ Ｍ ｉ ｓ ｖ ｇｅ ｇ ｈ ｅ ｈ ｓ ｔ ｈ ｎｏｉ —
应力强度因子的求解方法的综述
应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。
本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。
关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture MechanicsShuanglin LU(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.Key words: fracture mechanics; stress intensity factors0 引言断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。
Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。
无网格迦辽金法及其在固体力学中的应用
无网格迦辽金法及其在固体力学中的应用
韩文花;徐俊
【期刊名称】《上海电力学院学报》
【年(卷),期】2012(028)001
【摘要】介绍了无网格法的研究历史和发展现状,以及移动最小二乘(MLS)法的基本原理,给出了EFG全局弱式控制方程,再将二维无网格伽辽金法应用于固体力学典型问题——悬臂梁问题,并将其结果与其解析解对比.仿真实验结果表明,EFG法能很好地处理固体力学中的有关问题.
【总页数】4页(P89-92)
【作者】韩文花;徐俊
【作者单位】上海电力学院电力与自动化工程学院,上海200090;上海电力学院电力与自动化工程学院,上海200090
【正文语种】中文
【中图分类】O241;O34
【相关文献】
1.改进型无网格迦辽金法在稳定热传导中的应用 [J], 夏茂辉;赵玉凤;吕鹏;翟育鹏;任伟和
2.改进型随机无网格迦辽金法在随机热传导问题中的应用 [J], 夏茂辉;赵玉凤;吕鹏;翟育鹏;任伟和
3.无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究 [J], 王难烂
4.B样条小波基自适应无网格迦辽金法应用于刚塑性成形模拟 [J], 李迪;王翠萍
5.刚塑性成形模拟中有限元和无网格迦辽金法的自动耦合算法 [J], 李迪;李旭因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
标题1：“无网格局部彼得洛夫伽辽金法”的基本原理与特点分
析
无网格局部彼得洛夫伽辽金法是一种解决大变形问题的数值模拟方法，它采用了一种全新的非结构化网格的无网格技术，能够更为准确地反映材料的局部变形行为。
本文将从基本原理和特点两个方面进行分析。
首先是基本原理。
无网格局部彼得洛夫伽辽金法采用局部网格化技术，将边界和物质界面的情况用数学函数来表示，从而避免了网格的生成和更新。
该方法能够自动适应问题的几何形状和物理行为，轻松应对具有复杂几何形状和高度非线性材料行为的问题。
其次是特点分析。
该方法具有较高的精度和稳定性，在处理非线性、大变形材料问题时表现尤为突出。
由于其自适应的特点，它还能够大幅降低模拟流程的计算复杂度。
同时，由于无网格技术的应用，该方法的计算速度较传统有限元方法更快，能够处理更大的模型。
综上所述，无网格局部彼得洛夫伽辽金法的优势在于精度高、计算速度快、适用性广泛等利好，相信在未来的科技发展中，其将具有更为广泛的应用前景。
单个标题的毕业总结：本文结合无网格局部彼得洛夫伽辽金法的基本原理和特点进行了系统的分析，揭示了这种数值计算方
法的实际应用优势。
对于学习数值模拟的学者而言，无疑是一份极具参考价值的研究成果。
-迦辽金法
= ∫ x(2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0
− 0) dΓ − 10) dΓ
+∫
Γ| x = d
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =d
= C2 d 2 + 0 + (C1d 2 + C2 d 3 − 10d ) = d 2C1 + d 2 (1 + d )C2 − 10d = 0
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 RΩ dΩ + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
Ω Γ
= ∫ x 2 (2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
Γ Ω Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K ji = w j l(ψ i )dΩ + w*ξ (ψ i )dΓ ∫Ω ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫Ω w j q dΩ 了代数方程组。 b j = ∫ w* s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处加权余量法－－例
有限元与伽辽金法的区别
有限元与伽辽金法的区别有限元和伽辽金法，这俩名字一听就让人头疼，是吧？别着急，它们看起来复杂，但说白了就是两种不同的数学工具，用来解决物理问题，尤其是在工程里，像计算建筑、机械、土木结构等的强度、变形什么的。
你可能会想，哎，这俩工具有什么区别？就像吃饭时，炒菜和蒸菜不都是吃的嘛，有什么不同？嗯，好问题！让我带你慢慢道来，听我一一道来。
先说说有限元法。
想象你手里拿着一块巧克力，你想知道它在压力下会怎么变形。
你不能直接捏巧克力来看吧，得切成小块，每一小块都观察一下它的表现。
有限元法就有点这个意思，把一个复杂的物理问题拆分成无数个小小的“元素”，然后分别计算每个小元素的力学行为，最后再把它们拼凑起来，看整个系统的表现。
就是这样，通过分解复杂的问题，最后能够获得比较准确的结果。
你会发现，这就像是把大问题拆解成小问题，一点点攻克，最后才算大功告成。
再来看伽辽金法，它有点像有限元法的“亲戚”，但也有些自己的小脾气。
伽辽金法其实更侧重于通过一种叫“加权残差”的方法来得到问题的近似解。
你可以理解为，它是对有限元法的一种优化。
伽辽金法的主要思想是通过选择一组合适的试探函数，然后用加权平均的方式来计算解。
说白了，伽辽金法是在告诉你：我们不能直接拿现实中的每一块砖头去推算整个建筑是怎么倒的，而是选择一些合理的“试探”砖块，然后通过加权计算找出最合适的方案。
是不是有点像做数学题时，你先猜个答案，然后一步步调整，最后猜得差不多？其实就是这种感觉。
它们的一个大区别就是，有限元法是把问题拆成小块后，再各自求解，像是分而治之。
而伽辽金法则更注重全局的平衡，它通过一些试探方法来尽量找到最符合实际情况的解。
两个方法各有千秋，有限元法更适合处理复杂几何和边界条件，伽辽金法则在一些方程求解时更加高效，尤其是在一些不容易拆分的情况下。
但问题来了，有限元法和伽辽金法到底哪个更好呢？这个问题就像问“炒菜和蒸菜哪个更好？”一样，得看你的需求。
10_无网格方法
a( x) A1 ( x) B( x)u (8)
把式(8)代入式(1)得近似函数为
u ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u N T ( x, x)u (9)
U T RA T a d V T RB T a d 0
式中 RA a A a 和 RB a B a 为余量。 虽然 U 和V
T T T Tຫໍສະໝຸດ
为任意权函数，但在实际应用时，不可能也不需要取无穷多个权函数。 与试函数表达式类似，可以把权函数也写成已知基函数的组合，即
pT ( x) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ]
m6
m 10
基函数的个数 m 、 基函数中包含的完备多项式的最高阶数 n 和问题的维数 nDim 之间的关系为
m
(n 1)(n 2) (n nDim ) nDim !
(3)
在移动最小二乘近似的（MLS）中，坐标 ai ( x ) 的选取应该使近似位移
p ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ] 2 2 2 2
T
式中：r 为某点距裂纹尖端的距离， 为该点与裂纹尖端连线与裂纹线的夹角。
若把式(1)作为有限单元容许位移函数，则 p1 ( x) 1 可以保证单元容许位
求解方法。只要试函数是利用离散点来建立的，则由紧支试函
数加权余量法导出的各种近似方法都称为无网格方法。
紧支近似函数 紧支近似函数是定义在局部区域(支撑区域)中的函数，它只 在支撑域中有定义，而在支撑域外为零。在二维问题中，支撑 域一般为圆形或矩形，与求解域相比，支撑域是一个很小的区 域，并且是可以互相重叠。有限元网格表示的区域是不能彼此 重叠的。
有限元-伽辽金法
单元结点温度列阵
e
12
3
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
e [Ni
Nj
N e
Nm
] ij
N
e e
Ni
Nj
Nm
m
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
Nr (x, y) ( ar br x cr y ) br
3
NeTQd NeTqds+ NeTh ds
e
2
3
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
1
2
x 2 e
y22NxeT
Ne
Qx=0
NeT Qd
Ne y
T
Nye ,xdnx
n hNeT
3 ,y
Ne
y
ds
q
NeTqds+,xnNxeThd,ysny h
x (a ,b)
x=a
x=b
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du%(x)dx+1(x)B1 u%dx+2 (x)B2 u%dx 0
计算电磁学 第9讲 有限元法
最 小 势 能 原 理
一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统 就会趋向于稳定平衡。
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.5
主要特点 优异的解题能力 与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出优 点： 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制； 不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的； 不必单独处理第二、三类边界条件； 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度 和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值 计算精度。
1 + y ′ 2 dx ds sec αdx dt = = = v 2 gy 2 gy
ds
O
A(x1, y1)
dx
x
滑行总时间为
J [ y ( x)] = T [ y ( x)] = ∫ dt = ∫
0
T
x2
1 + y ′2 2 gy
B(x2, y2) y
x1
dx
（ 1）
最速降线问题
信息科学与工程学院 孔凡敏
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 主要特点 离散化过程保持了明显的物理意义。
No.3
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。 因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计 算公式，可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前 提要素。
kongfmsdueducn射频和微波器件设计射频和微波器件设计射频和微波器件设计射频和微波器件设计电真空器件设计电真空器件设计电真空器件设计电真空器件设计天线天线天线天线天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真目标特性研究和目标特性研究和目标特性研究和目标特性研究和rcs仿真仿真仿真仿真高速互连结构设计高速互连结构设计高速互连结构设计高速互连结构设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计电磁兼容分析电磁兼容分析电磁兼容分析电磁兼容分析no12第九讲第九讲第九讲第九讲有限元法有限元法有限元法有限元法92有限元数学基础有限元数学基础有限元数学基础有限元数学基础
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其 中 ， 函数 ： 形
“ ） Ｊ （ １专一 ｚ ｌ
（ ） ＝
（ １ ）
（） ２
小二乘法可得待定系数向量 ：
ａ ） （ ＝Ａ Ｉ （２Ｂ（ ） １ ３） “ （） ３
近似函数 ： ຫໍສະໝຸດ “（ ≈ “ （ ） ） ＝Ｎ （ “ ）
（） ４
２ 结构 体离 散
无 网格法基 于节点 对结 构体进行离散 ， 而有限元法基于单元 对结构体进行离散 。这样 的差别 使得 无 网格 法对结 构体进 行 离 散的时候更加灵活 ， 在处理 大变形 、 力变化 剧烈 的问题 上具有 应
有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ Ｍｅｈｄ Ｆ Ｍ）１ ｊ 工 程 数 值 分 析 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｔｏ ， Ｆ Ｉ０为 ｅ ｍｅ － 速撞 击 、 态 裂 纹 扩展 等涉 及 特 大变 形 的 问 题 时遇 到 了 因 网格 畸 动 变 而产 生 的 困难 。而 无 网格 法 （ ｓ ｅｓＭｅｈ ， Ｍ ） ］ 处 ＭｅｈＬ ｓ ｔｏ ＭＬ ［ 在 ｄ ３ 理 大 变形 或 网格 畸 变 等 问题 时 具 有 明 显 的 优 势 。 目前 已 经 提 出 了十余种 ＭＬ 常用的主要有广义有限差分法ｌ 、 Ｍ， ４ 光滑质点流体 ｊ 动力 学 法 ］Ｅ Ｇ Ｅ 。Ｅ Ｇ 是 ＭＬ 中较 为 成 熟 的方 法 ， Ｆ Ｍ 等 ＦＭ Ｍ 文
优势 。
其 中， ３） ） （ Ｂ（ Ｎ（２ ＝Ｐ （ Ａ ｘ） ｘ）
Ａ（２ ， ． 分 别 为 ： ３）Ｂ（２ ７ ）
（） ５
Ａｚ ＝∑叫（）（， Ｔ ｆ （） ， Ｐ ） （ ） Ｐ
（ ６ ）
Ｂ（ ） ｕｌ Ｐ（ ） ２ ） ｘ ）… ， ，（ Ｐ（ ） （ ） ＝［ ・ ） １ ． （ Ｐ（ ２ ， ｕ ） ］７ ｒ （ ２ 有 限元法 。图 ２中求解域 ｎ 被 离散 成 Ｎ 一１个相互 连接 ） 的单元 ， 假设待求位移场 函数 “ ） （ 在求解域 ｎ 中的 Ｎ 个节点 ，
析 解 吻 合 较 好 ， 是 计 算 量 大 干 有 限元 法 。 但 关键 词 ： 网格 伽 辽 金 法 ， 限 元法 ， 动 最 小 二 乘 法 ， 格 朗 日乘 子 法 无 有 移 拉 中 图分 类号 ： Ｕ３ １ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ 伽辽金法等均不需要网格 。
０ 引言
散、 刚度矩 阵和 等效节 点荷 载 、 界条 件 、 边 精度 和 效率 等方 面对
Ｅ ＧＭ 和 Ｆ Ｍ 进 行 比 较分 析 。 Ｆ Ｅ
图 ２
有 限元 模 型
３ 刚度矩 阵 和等效 节点 荷载
３ １ 形 函数 ． １无 网格 ＭＬ ） Ｓ法 。图 １中用 Ｎ 个 节点 ． （ ＝１ ２ …， ７ Ｊ ， ， Ｎ） ２ ，
“１ ＩＪ
图 １ 无 网格 模 型
单 元近似函数 ：
Ｕ
１无 网 格 法 。 如 图 １ 示 ， Ｎ 个 节 点 离 散 一 维 杆 （ 际 计 ） 所 用 实 算 取 Ｎ ＝１ ， 间距 分 布 ） 无 网 格 法 部 分 或 彻 底 取 消 网格 或 单 １等 。
ｈ ．） ） “＝ （ ＝Ｐ （ Ｃ ｒ
２ 有限元法 。如图 ２所示 ， 杆件 划分 为 Ｎ一１ ） 将 个单元 ， 通过
实际计算取 Ｎ＝１ ， 间距分布 ） １等 。 的有力工具 ， 是基 于网格 的数 值方法 。然而 ， 有限元法 在分析 高 Ｎ 个节点连接 （
章从基本理论 发 ， 针对一 维杆 ， 依照 计算 流程顺 序在结 构体离
（ ＝１ ２ … ， 处 是 已 知 的 ， “ ＝“（ ） Ｊ ， ， Ｎ） 即 ｆ Ｊ。单 元 的 位 移模 式 或 位 移 函 数 采 用 二 项式 作 为 近 似 函 数 ， 得 待 定 系数 向量 ： 可
一
ｎ Ｃｌ＝１ ． ＝ ｕ ［ Ｓ Ｃ
／ ＋
一
３×ｌ ２ ［． ｃ ］ ８ ］Ｕ ， ， ＋
第３ ６卷 第 １ 期
・
６ ・ ８
２０ １０年 １月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ １ １３ ．
Ｊｎ ２ １ ａ ． ００
・
结 构 ・ 震 ・ 抗
文 章编 号 ：０ ９６ ２ （０ ００ ．０ ８０ １ ０ —８ ５ ２ １ ）１０ ６ ．２
Ｎ（ ：了 Ｌ ｚ） １ｆ ． － ，
元， 虽然在 Ｅ Ｇ 中引入 了背 景 网格 （ 图 １ ， ＦＭ 见 ） 但是 背景 网格仅 仅用于数值积分计算。其他无 网格法诸如配点 型无 网格法 、 局部
收稿 日期 ：０ ９０ ．４ ２ ０ ．９ １
＋ （一） ｌ （ ｌ 一 ， ］Ｌ 一 ד ｌ ９ ）
题 解有 限元法和无 网格伽 辽金法 ＊
张俊 贤 朱 风 风 王金 田
摘 要 ： 用 无 网格 伽 辽 金 法 和 有 限 元 法 对 一 维 问题 进 行 了数 值 模 拟 ， 结 构 体 离 散 、 度 矩 阵 、 效 节 点荷 载 、 界 条 采 对 刚 等 边
件、 计算精度和效率等进行 了比较 ， 数值模拟结果表 明， 同样 的节点 划分 ， 网格 伽辽金 法得 到的数值解精度 较高 、 无 与解
１ 算 例
图 １ 图 ２均 为 承 受 轴 向 荷 载 的一 维 杆 模 型 。 受 线 性 分 布 荷 ，
图 离散 求 解 域 ｎ， 设 待 求 位 移 场 函数 ｚ ） 求 解 假 ｔ 在 （ 载 ＿ ） 作用 。左端 固定 ， ， ： （ 右端 自由 ， 长度 Ｌ＝１ 杆材料 的弹 （ 中实 心 点 ） ， 域 力 中 的 Ｎ 个 节 点 的 函数 值 是 已 知 的 ， ｆ Ｕ ｆ ， 用 移 动 最 Ｕ＝ （ ）利 性 模 量 Ｅ－１ ＿ 。位 移 和 应 力 的 解 析 解 为 ：