第11章机械波作业答案
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P处质点__t1___l___时刻的振动状态与 L
O处的质点t1时刻的振动状态相同。
yp (t )
yo (t1 )
t
t1
L u
p
O
x
3. 一平面简谐波在媒质中传播，在某时刻，某 质元的动能为最大值时，其势能___最__大___。
4. 两相干波源S1和S2，相距20m，其振幅相等， 周期为0.2s，在同一媒质中传播，波速度均为40
10πt 4πx 9.2π x 0.825m t 1.25s
2. 如图所示，一平面波媒质中以波速u=20m·s-1沿直线
传播，已知A点的振动方程为：y 3 cos 4πt 。
求：（1）以A为坐标原点的波动方程；
（2）以B为坐标原点的波动方程。
解：(1) y 3 cos 4π(t x )
若t＝0.1s，则x=2m处质点的位移为_-_0_._0_1__m， 该处质点的振动速度为___0_____m·s-1，加速度 为__6_2_5_p_2__m·s-2。
2. 如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，
波 则长波为的波l,若动P方处程质l 是点_y的__振_A_c动_o_s[方_2_π程__(t是___xylp__l_)A_c_πo2_s](。y2π t ，π2 )
B
π 2π (30 x x) (2k 1)π l u 4
l
可得： x 15 2k, 又x [0 30] 得 - 7 k 7
4. 在同一均匀媒质中有两个相干波源分别位于A、B两点，
其振幅相等，频率皆为100Hz，初相差 B 。A 若πA、
B两点间的距离为30m，波速为400m·s-1，求AB间连线上 因干涉而静止的各点的位置。
2kπ
C. 2 - 1 2kπ
D.
2
-
1
-
2π
l
( r2
-
r1
)
2kπ
3. 对于波动方程 y A cos(t x ) 中的( x ) 表示
A. 波源的振动相位； B. 波源的振动初相位； C. x处质点的振动相位； D. x处质点的振动初相位。
4. 平面简谐波在同一介质中传播，下列说法中正确的 是 A. 波源的频率与振动的频率不相同。 B.波源的振动速度与波速相同; C. 在波的传播方向上各质点都在各自的平衡位置附近振
A.正方向最大位移处 B.负方向最大位移处
C.平衡位置处 D.其它位置处
10. 一端固定，另一端自由的棒中有余弦驻波存 在，其中三个最低振动频率之比为（）
A.1:2:3 C.1:3:5
B.1:2:4 D.1:4:9
(二) 填空题 1.一横波的波动方程为: y 0.01cos(250πt 10πx)(m)
L 10 lg I I0
I0 1012 W/m 2
（三） 计算题
1. 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 y 0.05 cos(10πt 4πx)
式中x、y以米计，t 以秒计。求：
（1）波的波速、频率和波长；
（2）绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
（3）求x=0.2m处质点在t=1s时的相位，它是原点在哪
解：若以流动的空气为静止不动的参照系，则风琴
管相对该参照系以速度u向声源（流动的空气）运动。
根据多普勒效应风琴管（探测器）接收到的声波频
率为
c
uB c
0
将uB=u=c/2，
1 T
,0
1 T0
带入上式得
T/T0 2/3
例题：设波源（在原点O）的振动方程为：y=Acosωt，它向墙 面方向传播经反射后形成反射波，墙面为波密介质。求：反射 波方程。
最后在
y
5l x0
4
y y
区间形成驻波，其表达式为 2 Acos 2p x cost
l
在 x0区间波函数的表达y式为2Acost(2lpx)
6、一微波探测器位于湖面以上0.5米处，一发射波长为21 ㎝的单色微波射电星从地平线上缓缓升起，探测器将相继 指出信号强度的极大值和极小值，当接收到第一个极大值 时，射电星位于湖面以上什么角度？
为 ，t=0时，处于y轴正方向最大位移处，波源的振动沿着x轴正
负方向传播，不考虑能量损失。在x=-5λ/4处为波密介质的反射面， 入射波在此被完全反射。求x轴上各处波函数的表达式.
解:由题意得波源的振动方程为
y0 Ac ost
则沿x轴正负向传播的波函数分别为
y
Acos(t
2p l
x)
y
Acos(t
10 2
6. 在简谐驻波中，同一波节两侧的两个媒质元 （在距该波节二分之一波长的范围内）的振动相
位差是__π_____。
7. 在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波传播，
表达式为y = A cos(t - 2px/l)，管中波的平均能量
密度是 w ,则通过截面 S P IS wuS wSl
的平均能流是_____。l
弱的点 D. P点可能是振动最强的点
6. 关于驻波，以下见解正确的是（ ） A. 波形不变 B. 波腹处质点位移恒不为零 C. 波节处质点位移恒为零 D. 两相邻波腹间的距离为四分之一波长
7. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（ ）
A.振幅相同，位相相同 B.振幅不同，位相相同 C.振幅相同，位相不同 D.振幅不同，位相不同
一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在
t=1.25s时刻达到哪一点？
解：（1） y 0.05 cos10π(t
x
)
2.5
u 2.5m/s 10π 5Hz
l 0.5m
（2） max A max 0.5πm/s
amax 2 A amax 5π2m/s 2
1. 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
（1）波的平均能量密度和最大能量密度？
（2）两个相邻同相位面之间有多少波的能量？
解：(1) I w u
w
I u
18 103 J m-2 300m s-1
s-1
6 105 J
m-3
wm 2w 1.2 104 J m-3
(2) 相邻两个同相位面之间距离为一个波长 W wV π( D )2 lw 9.23 107 J
P
10l / 3
S2
9. 已知波源的振动周期为4.00×10-2s，波的传播 速度为300m·s-1，波沿x轴正方向传播，则位于 x1=10.0m和x2=16.0m的两质点的振动相位差为 ___π_或__-__π__。
*10. 一日本妇女的喊声创吉尼斯世界记录，达到 115dB，则其喊声的声强为_0_.3_1_6_W__/_m__2 。
2π( λ
r2
r1 )
(2k
1)π
x=4k 4(k 0 1, 2, ) 或 x=-4k
两列平面简谐波在一很长的弦上传播，设其方 .5
程为
y1
5 cos(20πt
π 10
x
π) 2
y2
5
cos(20πt
π 10
x
π 2
)
。_________则弦线上1波0k腹的5位(k置 0 1,2,)
cos( ) cos( ) 2 cos cos y 10 cos( π x π ) cos2p t
8. 一平面简谐波表达式为y 0.05 sin π(t 2x)(SI)
则该波的频率 (Hz) ，波速u（m/s）及波线上各
点振幅A（m）依次为（ ）
A. 1 , 1 ,0.05 22
B. 1 ,1,0.05 2
C. 1 , 1 ,0.05 22
D. 2,2,0.05
9. 一列机械横波,能量为最大值的媒质质元的位 置是：
m·s-1。S1的振动方程：y1 A cos(10πt π/2) ， S2的振动方程：y2 A cos(10πt π/2) 。以S1、S2 连线为坐标轴x，以S1、S2连线中点为原点，则 S1S2间因干涉而静止的各点的坐标：x=_______。
r1 10 x , r2 10 x
Δ＝π
y 0.05 cos(10πt 4πx)
式中x、y以米计，t 以秒计。求： （3）求x=0.2m处质点在t=1s时的相位，它是原点在哪
一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在 t=1.25s时刻达到哪一点？
解:（3）10πt 4πx x0.2m 9.2π
t 1s
10πt 9.2π t 0.92s
动。 D.单位体积介质中的波动能量（能量密度）为恒量。
5. 两列振幅相同的相干波在空间P点相遇， 某 时刻观测到P点的合成振动的位移既不等于这 两列振幅之和，又不等于这两列波的振幅之差， 则我们可以断言（ ）
A. P点不可能是振动最弱的点 B. P点不可能是振动最强的点 C. P点不是振动最强的点，也不是最
驻波法求解：取A点为坐标原点，A、B连线为x轴。
在A点相遇的相位差：
x
O
x
p 2π 30 14p
l
u
l
4m
A
30 x B
30m
A点是波腹点，节点在距A为l/4处，满足：
x (2k 1) l 2k 1
4
x 1,3,5,7,9,......25,27,29m
5、波源位于坐标原点O处，波源做简谐振动，振幅为A，圆频率
解：如图，设出现第一极大值时射电星与湖面成
θ角。由射电星射出的1、2波束是相干波，在探
测器处P点两波的波程差为
OPDPl
2
sin hsin(p22)sin hp 2
l
解得：
sin l/4 h 6 0
7. 两端开口的长为L的风琴管可用来测量亚音速风洞中 空气的马赫数u/c，其中u是空气的流动速度，c是在静 止空气中的声速。观察到风琴管固定在洞中不动时，与 周期为T的基波发生共振，若u/c=1/2，求T/T0，T0是风 琴管置于静止空气中时，在基波发生共振的基波周期。
2p l
x)
沿x轴负向传播的波在x=-5λ/4处的振动方程为
p p 2 5 l l y 入 A c o s [t( 4)] A c o s (t 2 )
波密介质反射，反射波在该点引起的振动方程为
y 反 A co t sp 2 ( p)A co t sp 2 ()
则反射波的波函数为
l p l p y A co ( t s x [ 5 u /4 ) 2 ] A co t 2 sx ( )
2π
wS
2p
8. 如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P
点距波源的距离分别为3l和10l /3，l为两列波
在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，
则两波源振动方向__相__同___（填相同或不同），
振动频率__相__同____（填相同或不同），波源S2的
相位比S1的相位领先__2_π_/_3___。 S1 3l
第11章机械波作业答案
2. 如图所示，两列波长为l 的相干波在P点相遇， S1的初相位是 ，S11点到P点的距离是r1，S2点 的初相位是 ，S22到P点的距离是r2，以k代表
零或正、负数，则P点是干涉极大的条件为（）
S1
r1
r2
S2
A. r2 - r1 kl
P
B.
2
- 1
2π
l
( r2
-
r1 )
入射波在O点振动方程为y=Acosωt，沿x轴正向 传播，其波动方程为y=Acosω(t-x/u)
反射波在O点的振动比入射波在O点的振动在时间 上落后2d/u， 反射波在O点振动方程： y=Acos[ω(t-2d/u)+ π] 波动方程为：y=Acos[ω(t+x/u-2d/u)+π]
结语
谢谢大家！
u
B
3 cos 4π(t x )
20
(2)
yB
3 cos 4π(t
5) 20
O
u A x
5m Ox
x
3cos(4πt π) y 3 cos 4π[(t x 5 )]
y 3 cos 4π[(t x ) π]
20
20
3. 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波 的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300Hz，波速为 300m·s-1，求：
2
4. 在同一均匀媒质中有两个相干波源分别位于A、B两点，
其振幅相等，频率皆为100Hz，初相差
B 。A 若πA、
B两点间的距离为30m，波速为400m·s-1，求AB间连线上
因干涉而静止的各点的位置。
解：选取A点为坐标原
30m x
点，AB间静止点满足：
A
P
B
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
l
( rB
rA )
30-x
O处的质点t1时刻的振动状态相同。
yp (t )
yo (t1 )
t
t1
L u
p
O
x
3. 一平面简谐波在媒质中传播，在某时刻，某 质元的动能为最大值时，其势能___最__大___。
4. 两相干波源S1和S2，相距20m，其振幅相等， 周期为0.2s，在同一媒质中传播，波速度均为40
10πt 4πx 9.2π x 0.825m t 1.25s
2. 如图所示，一平面波媒质中以波速u=20m·s-1沿直线
传播，已知A点的振动方程为：y 3 cos 4πt 。
求：（1）以A为坐标原点的波动方程；
（2）以B为坐标原点的波动方程。
解：(1) y 3 cos 4π(t x )
若t＝0.1s，则x=2m处质点的位移为_-_0_._0_1__m， 该处质点的振动速度为___0_____m·s-1，加速度 为__6_2_5_p_2__m·s-2。
2. 如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，
波 则长波为的波l,若动P方处程质l 是点_y的__振_A_c动_o_s[方_2_π程__(t是___xylp__l_)A_c_πo2_s](。y2π t ，π2 )
B
π 2π (30 x x) (2k 1)π l u 4
l
可得： x 15 2k, 又x [0 30] 得 - 7 k 7
4. 在同一均匀媒质中有两个相干波源分别位于A、B两点，
其振幅相等，频率皆为100Hz，初相差 B 。A 若πA、
B两点间的距离为30m，波速为400m·s-1，求AB间连线上 因干涉而静止的各点的位置。
2kπ
C. 2 - 1 2kπ
D.
2
-
1
-
2π
l
( r2
-
r1
)
2kπ
3. 对于波动方程 y A cos(t x ) 中的( x ) 表示
A. 波源的振动相位； B. 波源的振动初相位； C. x处质点的振动相位； D. x处质点的振动初相位。
4. 平面简谐波在同一介质中传播，下列说法中正确的 是 A. 波源的频率与振动的频率不相同。 B.波源的振动速度与波速相同; C. 在波的传播方向上各质点都在各自的平衡位置附近振
A.正方向最大位移处 B.负方向最大位移处
C.平衡位置处 D.其它位置处
10. 一端固定，另一端自由的棒中有余弦驻波存 在，其中三个最低振动频率之比为（）
A.1:2:3 C.1:3:5
B.1:2:4 D.1:4:9
(二) 填空题 1.一横波的波动方程为: y 0.01cos(250πt 10πx)(m)
L 10 lg I I0
I0 1012 W/m 2
（三） 计算题
1. 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 y 0.05 cos(10πt 4πx)
式中x、y以米计，t 以秒计。求：
（1）波的波速、频率和波长；
（2）绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
（3）求x=0.2m处质点在t=1s时的相位，它是原点在哪
解：若以流动的空气为静止不动的参照系，则风琴
管相对该参照系以速度u向声源（流动的空气）运动。
根据多普勒效应风琴管（探测器）接收到的声波频
率为
c
uB c
0
将uB=u=c/2，
1 T
,0
1 T0
带入上式得
T/T0 2/3
例题：设波源（在原点O）的振动方程为：y=Acosωt，它向墙 面方向传播经反射后形成反射波，墙面为波密介质。求：反射 波方程。
最后在
y
5l x0
4
y y
区间形成驻波，其表达式为 2 Acos 2p x cost
l
在 x0区间波函数的表达y式为2Acost(2lpx)
6、一微波探测器位于湖面以上0.5米处，一发射波长为21 ㎝的单色微波射电星从地平线上缓缓升起，探测器将相继 指出信号强度的极大值和极小值，当接收到第一个极大值 时，射电星位于湖面以上什么角度？
为 ，t=0时，处于y轴正方向最大位移处，波源的振动沿着x轴正
负方向传播，不考虑能量损失。在x=-5λ/4处为波密介质的反射面， 入射波在此被完全反射。求x轴上各处波函数的表达式.
解:由题意得波源的振动方程为
y0 Ac ost
则沿x轴正负向传播的波函数分别为
y
Acos(t
2p l
x)
y
Acos(t
10 2
6. 在简谐驻波中，同一波节两侧的两个媒质元 （在距该波节二分之一波长的范围内）的振动相
位差是__π_____。
7. 在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波传播，
表达式为y = A cos(t - 2px/l)，管中波的平均能量
密度是 w ,则通过截面 S P IS wuS wSl
的平均能流是_____。l
弱的点 D. P点可能是振动最强的点
6. 关于驻波，以下见解正确的是（ ） A. 波形不变 B. 波腹处质点位移恒不为零 C. 波节处质点位移恒为零 D. 两相邻波腹间的距离为四分之一波长
7. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（ ）
A.振幅相同，位相相同 B.振幅不同，位相相同 C.振幅相同，位相不同 D.振幅不同，位相不同
一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在
t=1.25s时刻达到哪一点？
解：（1） y 0.05 cos10π(t
x
)
2.5
u 2.5m/s 10π 5Hz
l 0.5m
（2） max A max 0.5πm/s
amax 2 A amax 5π2m/s 2
1. 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为
（1）波的平均能量密度和最大能量密度？
（2）两个相邻同相位面之间有多少波的能量？
解：(1) I w u
w
I u
18 103 J m-2 300m s-1
s-1
6 105 J
m-3
wm 2w 1.2 104 J m-3
(2) 相邻两个同相位面之间距离为一个波长 W wV π( D )2 lw 9.23 107 J
P
10l / 3
S2
9. 已知波源的振动周期为4.00×10-2s，波的传播 速度为300m·s-1，波沿x轴正方向传播，则位于 x1=10.0m和x2=16.0m的两质点的振动相位差为 ___π_或__-__π__。
*10. 一日本妇女的喊声创吉尼斯世界记录，达到 115dB，则其喊声的声强为_0_.3_1_6_W__/_m__2 。
2π( λ
r2
r1 )
(2k
1)π
x=4k 4(k 0 1, 2, ) 或 x=-4k
两列平面简谐波在一很长的弦上传播，设其方 .5
程为
y1
5 cos(20πt
π 10
x
π) 2
y2
5
cos(20πt
π 10
x
π 2
)
。_________则弦线上1波0k腹的5位(k置 0 1,2,)
cos( ) cos( ) 2 cos cos y 10 cos( π x π ) cos2p t
8. 一平面简谐波表达式为y 0.05 sin π(t 2x)(SI)
则该波的频率 (Hz) ，波速u（m/s）及波线上各
点振幅A（m）依次为（ ）
A. 1 , 1 ,0.05 22
B. 1 ,1,0.05 2
C. 1 , 1 ,0.05 22
D. 2,2,0.05
9. 一列机械横波,能量为最大值的媒质质元的位 置是：
m·s-1。S1的振动方程：y1 A cos(10πt π/2) ， S2的振动方程：y2 A cos(10πt π/2) 。以S1、S2 连线为坐标轴x，以S1、S2连线中点为原点，则 S1S2间因干涉而静止的各点的坐标：x=_______。
r1 10 x , r2 10 x
Δ＝π
y 0.05 cos(10πt 4πx)
式中x、y以米计，t 以秒计。求： （3）求x=0.2m处质点在t=1s时的相位，它是原点在哪
一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在 t=1.25s时刻达到哪一点？
解:（3）10πt 4πx x0.2m 9.2π
t 1s
10πt 9.2π t 0.92s
动。 D.单位体积介质中的波动能量（能量密度）为恒量。
5. 两列振幅相同的相干波在空间P点相遇， 某 时刻观测到P点的合成振动的位移既不等于这 两列振幅之和，又不等于这两列波的振幅之差， 则我们可以断言（ ）
A. P点不可能是振动最弱的点 B. P点不可能是振动最强的点 C. P点不是振动最强的点，也不是最
驻波法求解：取A点为坐标原点，A、B连线为x轴。
在A点相遇的相位差：
x
O
x
p 2π 30 14p
l
u
l
4m
A
30 x B
30m
A点是波腹点，节点在距A为l/4处，满足：
x (2k 1) l 2k 1
4
x 1,3,5,7,9,......25,27,29m
5、波源位于坐标原点O处，波源做简谐振动，振幅为A，圆频率
解：如图，设出现第一极大值时射电星与湖面成
θ角。由射电星射出的1、2波束是相干波，在探
测器处P点两波的波程差为
OPDPl
2
sin hsin(p22)sin hp 2
l
解得：
sin l/4 h 6 0
7. 两端开口的长为L的风琴管可用来测量亚音速风洞中 空气的马赫数u/c，其中u是空气的流动速度，c是在静 止空气中的声速。观察到风琴管固定在洞中不动时，与 周期为T的基波发生共振，若u/c=1/2，求T/T0，T0是风 琴管置于静止空气中时，在基波发生共振的基波周期。
2p l
x)
沿x轴负向传播的波在x=-5λ/4处的振动方程为
p p 2 5 l l y 入 A c o s [t( 4)] A c o s (t 2 )
波密介质反射，反射波在该点引起的振动方程为
y 反 A co t sp 2 ( p)A co t sp 2 ()
则反射波的波函数为
l p l p y A co ( t s x [ 5 u /4 ) 2 ] A co t 2 sx ( )
2π
wS
2p
8. 如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P
点距波源的距离分别为3l和10l /3，l为两列波
在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，
则两波源振动方向__相__同___（填相同或不同），
振动频率__相__同____（填相同或不同），波源S2的
相位比S1的相位领先__2_π_/_3___。 S1 3l
第11章机械波作业答案
2. 如图所示，两列波长为l 的相干波在P点相遇， S1的初相位是 ，S11点到P点的距离是r1，S2点 的初相位是 ，S22到P点的距离是r2，以k代表
零或正、负数，则P点是干涉极大的条件为（）
S1
r1
r2
S2
A. r2 - r1 kl
P
B.
2
- 1
2π
l
( r2
-
r1 )
入射波在O点振动方程为y=Acosωt，沿x轴正向 传播，其波动方程为y=Acosω(t-x/u)
反射波在O点的振动比入射波在O点的振动在时间 上落后2d/u， 反射波在O点振动方程： y=Acos[ω(t-2d/u)+ π] 波动方程为：y=Acos[ω(t+x/u-2d/u)+π]
结语
谢谢大家！
u
B
3 cos 4π(t x )
20
(2)
yB
3 cos 4π(t
5) 20
O
u A x
5m Ox
x
3cos(4πt π) y 3 cos 4π[(t x 5 )]
y 3 cos 4π[(t x ) π]
20
20
3. 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波 的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300Hz，波速为 300m·s-1，求：
2
4. 在同一均匀媒质中有两个相干波源分别位于A、B两点，
其振幅相等，频率皆为100Hz，初相差
B 。A 若πA、
B两点间的距离为30m，波速为400m·s-1，求AB间连线上
因干涉而静止的各点的位置。
解：选取A点为坐标原
30m x
点，AB间静止点满足：
A
P
B
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
l
( rB
rA )
30-x