流体力学_龙天渝_流体静力学

第二章流体静力学

一、学习导引

1、流体静止的一般方程

（1）流体静止微分方程

ƒ

χ=，ƒy=，ƒz=(2-1)

(2)压强微分

d=(ƒχd+ƒy d+ƒz d) (2-2)

(3)等压面微分方程

ƒ

χd+ƒy d+ƒz d=0 （2-3）

2、重力场中液体的压强分布

质量力只有重力的条件下，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即

+=（2-4）

式中，为液体的重度。

如果液面的压强为0，则液深处的压强为

+（2-5）

3、物体壁面受到的静止液体的总压力

计算静止液体对物体壁面的总压力时，只需考虑相对压强的作

用。

（1）平面壁

总压力=

A (2-6)

=+(2-7)

压力中心

（2）曲面壁

总压力=（2-8）

分力，，

式中，和分别是曲面在，方向的投影面积；和分

别是，的形心的淹没深度；是压力体的体积。

4、浮体的稳定性

设表示定倾半径，表示偏心距，它等于浮体平衡时，重心与浮心的距离，浮体的平衡有三种情况：

>稳定平衡

=随遇平衡

<不稳定平衡

定倾半径的定义是

（2-9）

式中，是浮体被淹没的体积；是浮面对其转轴的面积惯性矩。

二、难点分析

1. 通器内不同液体的压强传递

式（2-4）、（2-5）只适合于同一种液体，如果连同器里有若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

例如，计算图2-1所示的容器里液体的表面压强：

2. 平面壁的压力中心

如图2-2（a）所示，挡水板伸至水面，如果被淹部分的板长为，则压力中心距板底。但如果平面板淹没在水下，如图2-2（b）所示，则压力中心的坐标可按式（2-7）计算。如平面板的左右受压或一侧受两种不同重度的液体压力时，可根据合力的力矩等于各分力矩之合的方法求得，计算方法如下：

式中，；为左侧（上部）液体的总压力，为左侧

（上部）液体的压力中心；为右侧（下部）液体的总压力，为右侧（下部）液体的压力中心。如图2-2（c）所示。

3. 复杂曲面的压力体

压力体是物体表面与液面或液面的延伸面以及铅垂面所围合的空间体积。压力体内不一定有液体。正确地识别压力体，可以使铅垂方向的总压力的计算得到简化。

压力体代表的铅垂方向的压力方向可根据压力体内是否装有液体确定，如压力体内实际装有液体，其压力方向向上；反之，方向向下。

压力体的正确绘制应注意围合压力体的三种表面：即底面是受压的曲面，顶面是受压曲面在自由表面或自由表面的延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅垂面。对于复杂曲面，压力体应分段计算，注意各分段压力体所代表的铅垂方向压力的方向。

4. 旋转容器内液体的相对静止

液体随容器作等角速度旋转（即液体质点以及质点与容器边壁无相对运动），此时，容器内的液体处于相对静止。其压强分布与自由表面的方程式为

解题时，恰当地选择坐标原点，可以使得上述表达式简化。

解题时，常常利用到高等数学的一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：

设抛物线方程为，当时，，即，则：

式中，正是同高等径圆柱体的体积。

三、习题详解

【2-1】如题2-1所示，已知=20，=240，，求水深。

【解】设水和水银的密度分别为和，当地大气压为，则

两式相减，化简后算得：

【2-2】如题2-2图所示，矩形闸门可绕绞轴A点转动，求证：当

时，闸门在水压力的作用下可以自动开启。

【解】闸门宽度（垂直于纸面）记为。设轴沿板面方向，从绞轴处算起。在坐标处，微元面积为，水压力是，对绞

轴的力矩为

>0

积分得

化间得：

【2-3】题2-3图所示的为一均匀质单宽矩形平面板闸门，长度

，上端设有绞轴，倾角º，上下游水深分别为，

。此时闸门处于受力平衡装态，求闸门自重。

【解】之长，之长，之长

。

设轴沿板面方向朝下，从起算。各段的静水压强为段：0<，

段：，

显然，段受到常压作用。现求水压力对绞轴的力矩：

积分后经过化简得

代入数据计算得。

【2-4】如题2-17图所示的挡水弧形闸门，已知，º，，试求单位宽度所受的静水总压力的大小。

【解】水平方向的总压力等于面上的水压力。铅垂方向的总压力对应的压力体为。

【2-5】如题2-5图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径，容器内充满水，顶盖上距中心处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

【解】本题意思是：当水随容器作等角速度旋转时，顶盖受液体压力和大气压力的共同作用，其合力为零。液体作等角速度旋转时，压强分布为

积分常数由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖中心，则当

，时，（大气压），于是，

在顶盖下表面，，此时压强为：

顶盖下表面受到的液体压强是，上表面受到的大气压强是，总的压力为零，即：

式中，是顶盖半径。积分上式，得：

，