八年级数学经典难题及答案

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A
P
C
D
B
P C
G
F
B
Q
A D
E
初二数学经典题型
1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
．求证：△PBC 是正三角形．证明如下。

首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。

在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ，连接PQ ，则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ，
那么∠
PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△
PQA 中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ，显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。

2.已知：如图，在四边形
ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交
MN 于E 、F ．求证：∠DEN
＝∠F ．
证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.
又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△
ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形
ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：
点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
证明：分别过
E 、C 、
F 作直线AB 的垂线，垂足分别为
M 、O 、N ，
在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底所以PQ 为梯形MEFN 中位线，所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2 又因为，角
0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO
所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF
所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理）所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P 是平行四边形
ABCD 内部的一点，且∠
PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．
过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点
E ；连接BE
因为DP//AE ，AD//PE 所以，四边形
AEPD 为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A 、E 、B 、P 四点共圆所以，∠PAB=∠PEB 因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD ，且PE=AD 而，四边形
ABCD 为平行四边形，所以：
AD//BC ，且AD=BC
A
N F
E
C
D M
B
P
A
D
C
B
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所以，PE//BC ，且PE=BC 即，四边形
EBCP 也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a 正方形的边长．
?解：将△BAP 绕B 点旋转90°使BA 与BC 重合，P 点旋转后到Q 点，连接PQ
因为△BAP ≌△BCQ
所以AP ＝CQ ，BP ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ，∠BPA ＝∠BQC 因为四边形
DCBA 是正方形
所以∠CBA ＝90°，所以∠ABP ＋∠CBP ＝90°，所以∠CBQ ＋∠CBP ＝90°即∠PBQ ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形所以PQ ＝√2*BP ，∠BQP ＝45 因为PA=a ，PB=2a ，PC=3a
所以PQ ＝2√2a ，CQ ＝a ，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90°
所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA ＝∠BQC ＝135°
作BM ⊥PQ
则△BPM 是等腰直角三角形
所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a ＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2
所以AB ＝[√(5＋2√2)]a 6.一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口
径为小水管２倍的大水管注水。

向容器中注满水的全过程共用时间
t 分。

求两根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为
x ，则大水管进水速度为
4x 。

由题意得：t
x
v
x v 82解之得：
t v x
85经检验得：
t
v x
85是原方程解。

∴小口径水管速度为
t
v 85，大口径水管速度为
t
v 25。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M
（－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，
Q
为坐标平面上一动点，
PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是
A 、
B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出
点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ
周长的最小值．A
C
B
P
D
...
...
解：（1）设正比例函数解析式为
y
kx ，将点M
（2，1）坐标代入得12
k =，所以正比例函数解析式为
12
y x
=
同样可得，反比例函数解析式为
2y x
=
（2）当点Q 在直线DO 上运动时，
设点Q 的坐标为1
()2
Q m m ，，
于是211112224OBQ S OB BQ m m m △=?创=，而1
(1)(2)12OAP S △=-?=，
所以有，2
114
m =，解得2
m 所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)
Q ，--（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以
OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，
而点P （1，2）是定点，所以
OP 的长也是定长，所以要求平行四边形
OPCQ 周长的最小值就只需求
OQ 的最小
值．
因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点
Q 的坐标为
2
()Q n n
，，
由勾股定理可得2
2
2
24
2()4OQ n n n n
=+=-+，
所以当22()0n n -=即20n n
-=时，2
OQ 有最小值
4，
又因为OQ 为正值，所以OQ 与2
OQ 同时取得最小值，
所以OQ 有最小值2．由勾股定理得
OP ＝
5，所以平行四边形
OPCQ 周长的最小值是
8.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB
. （1）求证：①PE=PD ；②PE ⊥PD ；（2）设AP =x ,△PBE 的面积为y . ①求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
②当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值
.
解：（1）证法一：
①∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，
∴BC=DC ,∠BCP =∠DCP=45°.
∵PC =PC ，
∴△PBC ≌△PDC （SAS ）. ∴PB =PD ，∠PBC =∠PDC . 又∵PB =PE ，∴PE =PD .
②（i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时，∵PB =PE ，
图x
y
B
A
O
M
Q
P 图
x y
B
C
A
O
M
P
Q
A
B
C D
P
E
1
2
H
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∴∠PBE =∠PEB ，∴∠PEB =∠PDC ，
∴∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，∴∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°，∴PE ⊥PD .）
（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD .
（iii
）当点E 在BC 的延长线上时，如图
.
∵∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2，∴∠DPE =∠DCE =90°，∴PE ⊥PD .
综合（i ）（ii ）（iii
）,PE ⊥PD .
（2）①过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE . ∵AP =x ，AC =2，
∴PC =
2-x ，PF =FC =
x x 221
)
2
(22.
BF =FE =1-FC =1-(x 2
21)=
x 2
2.
∴S
△PBE
=BF ·PF =x 22(x 221
)x x 2
2212
. 即x x y 2
2212(0＜x ＜2).
②4
1)22(2
1222122x x x y . ∵2
1a ＜0，∴当2
2x
时，y 最大值
4
1. （1）证法二：①过点
P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F .如图所示.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.
∴GD=FC =FP ，GP=AG =BF ，∠PGD =∠PFE =90°.
又∵PB =PE ，∴BF =FE ，∴GP =FE ，
∴△EFP ≌△PGD （SAS ）. ∴PE =PD . ②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴∠DPE =90°. ∴PE ⊥PD . （2）①∵AP =x ，∴BF =PG =
x 22，PF =1-x 2
2.
∴S △PBE =BF ·PF =x 2
2(
x 221)
x x 2
2212
. A
B
C
P
D
E
F A
B
C
P
D
E
F
G
1
2
3
...
...
即x x
y 2
22
12
(0＜x ＜
2).
②4
1)22(2
1222122
x x x y . ∵2
1a ＜0，∴当2
2x
时，y 最大值
4
1. 9、如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数
y=k2x 的图象交于
A （1，6），
B （a ，3）两点．
（1）求k 1、k 2的值．
（2）直接写出k1x+b-k2x ＞0时x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形
OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点
C 作CE ⊥O
D 于点
E ，CE 和反比例函数的图象交
于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断
PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线
12
y
x 与双曲线(0)k y
k
x
交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求
k 的值；
（2）若双曲线
(0)k y
k
x 上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；
（3）过原点
O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y
k
x 于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q
，，，为顶点组成的四边形面积为
24，求点P 的坐标．
图12。