第二章力系的等效与简化

轴的投影为
Fx = F sin α
x
Fy = 0
Fz = - F cos α
C D
E
Fx α
B
Fz
F
y
M x( F ) = yFz － zFy = ( l + a )(- Fcosα) - 0 = - F( l + a )cosα M y ( F ) = zFx － xFz = 0 - ( -l ) (- Fcosα) = - Flcosα M z ( F ) = xFy － yFx = 0 - ( l + a ) ( Fsinα) = -F( l + a )sinα
2. 力偶的性质
性质一 作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，
则此二力偶等效。——力偶等效定理
证：分两部分加以证明 （1）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚
体的效应。
（2）在同平面内的两力偶，若力偶矩相等， 两力偶对刚体的作用彼此等效。
证：设 M (F0 , F0) = M (F, F) = - F d
r=xi + yj +zk
F = Fx i + Fy j + Fz k
i jk MO (F) r F x y z
FX Fy Fz ( yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx )k M Oxi M Oy j M Ozk
其中，MOx、MOy、MOz分别是MO（F)在过O点的x、y、 z轴上的投影。
由
(rA rB ) F rBA F
∵ F = - F ’ 显见力偶矩的大小为 rBA F Fd
矢
所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。
b . 平面力偶系的力偶
若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一 平面内，则称为平面力偶系。
B
d
F’
C
F
A
将平面力偶系的力偶记作 M (F, F’)，简称 M 。力偶 矩为代数量
力作用点D的矢径为
rD li (l a) j
C D
E
Fx α
B
Fz
F
y
z
解法1
力 F 对A点之矩 为
A x
C D E
Fx α Fz B
F
y
i
j
k
MA(F) l
la
F sin
0
0
F cos
F cos (l a)i Fl cos j F sin (l a)k
证毕。
例 2-3 齿轮箱有三个轴，其中轴 A 水平，
轴 B 和轴 C 位于 xz 铅垂平面内，轴上力偶如图所 示。试求其合力偶。
解：根据各力偶的力偶矩及 其矢量的方向角，写出各力 偶的矢量表达式，即
应用力偶系矢量求和的方法，得到合力偶矩矢M的矢量表达式为：
§2 - 3 力系等效定理
主矢：一般力系中所有力的矢量和，称为力系 的主矢量，简称为主矢，即
力系的主矩与所选的矩心有关， 因为同一个力对不同的矩心之矩 各不相同，因此，主矩为定位矢。
§2 - 4 力系的简化
原理相矛盾 。
性质三 力偶没有合力。
证：
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到 一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的 力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛 盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效 而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡
3. 力偶系的合成
任意个力偶可以合成为一个 M1
n
FR
Fi
i1
—— 力系的主矢
其中：FR为力系主矢；Fi为力系中的各个 力。上式的分量表达式为：
FRx
n

Fix
i1

n

FRy
Fiy
i1

n

FRz
Fiz
i1

—— 力系主矢的分量式
主矩：力系中所有 力对于同一点之矩的矢量 和，称为力系对这一点的 主矩，即
（2） 力偶的作用面可以随意平行搬 移，不改变它对刚体的作用效应。
• 性质一实质的图解
不同平面力偶等效 平行搬移
性质二 力偶不能与一个力相平衡。
证：用反证法。即假设平衡力存在。
1、平衡力与力偶作用面平行。 由性质一知总可以转动力偶和平行搬 移力偶作用面使三力有两个交点，这
与平衡汇交定理相矛盾。
2、 平衡力与力偶作用面不平行。 仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬 移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓 的平衡力合成为一个大小及方位都与力 偶的另一个力不同的力,这与二力平衡
即： M = ±F d = ±2△ ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。
预备知识（两平行力的合力）
前面已经证明了力偶矩矢为自由矢，后面将再 从另一个角度说明力偶的性质，使同学们有一 个较直观的理解。 为此，先看看两平行力的合力。以一对大小相 等且同向的平行力为例。
两个方向相反的平行力有合力吗？
| MO(F)| = Fh = 2△OAB 式中△OAB为图中
阴影部分的面积。
n z
MO(F)
MO( F ) = r×F
O x
B F
rA
h
y
力对点的矩矢等于矩心到力的作 用点的矢径与该力的的矢量积。
力对点的矩矢为定位矢量
若以 O 点为原点,令 i、j、k 分别为坐标轴 x、y、
z 方向的单位矢量，设力在三坐标轴的投影为 Fx、 Fy、Fz，则有
即 Mz( F ) = M O( Fxy) = ± Fxy h
= ± 2△OAB
z
F
Fz
Fxy
O
B
h
A Fxy
力对轴的矩等于零的情形：
① 力与轴相交( h = 0 )
② 力与轴平行( Fxy = 0 ) 一句话: 只要力与轴在同一 平面内,力对轴的矩等于零。
力对轴的矩之解析表达式
z
FFzzz
F
设空间中有一个力 F
是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：
MO(F) [Mx(F)]2 [M y (F)]2 [Mz (F)]2
cos M x (F )
MO (F )
cos M y (F )
MO (F )
cos M z (F )
MO (F )
例 2-1 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用
一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若
CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F
对x、y和z三轴的矩。
z
A x
C D E
α
B
F
y
z
解法1
将力F沿坐标
轴分解为Fx 和Fz。
A
显然，
Fx = Fsinα
x
Fz = -Fcosα
则
F Fx Fy F sini F cosk
z
解法1
应用力矩关系 定理，可得力F 对x、y、z三轴 之矩为
A x
C D
E
Fx B
α FFzz
F
y
M x (F ) F cos (l a) M y (F) Fl cos M z (F ) F sin (l a)
解法2
z
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直接套用力对
轴之矩的解析表
达式：
A
力在 x、y、z
第二章 力系的等效与简化
回顾
1、力在直角坐标轴上的投影 Fx= Fcosα Fy = Fcosβ Fz = Fcosγ
Fx = Fsinγcosφ Fy = Fsinγsinφ Fz = Fcosγ
§2 - 1 力对点的矩与力对轴的矩
2.1.1 力对点的矩
力F 对点O的矩的矢量MO(F )， 大小为：
F0
b
F2
M(F1 ,F1 ) = M(F0 ,F0 ) = - F d
d
(F1 , F1 ) 的力偶臂也为 d
∴ F1 = F
等效
F
F0
• 性质一的实质
（1） 力偶在其作用面内只要力偶矩 不变（即力与力偶臂的积不变），它就可 以随意的转移，也可以增大力的同时减小 力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂）， 不改变它对刚体的作用效应。
力的作用线分别相交于 a、b 两点， 力 F0 F0 等效地移至 a、b 两点，
M(F0 ,F0 ) = -2△a c b 将 F0 和 F0 分别分解 M( F1 ,F1 ) = -2△a e b
∵两三角形同底等高 ∴ △a e b = △a c b 得：
F
F0
c F0 F1 e
F2
a
F1
例 2-2 支架受力 F 作用，如图所示，图中l1、
l2 、 l3与α角均为已知，求：MO(F)。
解：如果直接由力F对O点取矩，则确定力臂d的过程 比较麻烦。现利用合力矩定理
根据这个结果，还可计算出 力臂：
§2-2 力偶与力偶系
1. 力偶与力偶矩
n M
力偶 —— 由两个等值、反 向且不共线的平行力系组 成。记作（ F，F ’）
结论： 力对点的矩 矢在通过该
可得
[MO( F )] x = M x ( F ) [MO( F )] y = M y ( F ) [MO( F )] z = M z ( F )
点的某轴上 的投影，等 于力对该轴 的矩。
力对点的矩和力对轴的矩的关系（续）
如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩
n
n
MO
MO (Fi ) ri Fi
i1
i1
—— 力系的主矩
主矩的分量式：
M Ox
n
M Ox ( Fi )
i1

n

M Oy
M Oy ( Fi )
i1

n

M Oz
M Oz (Fi )
i1

结论
力系的主矢不涉及作用点，为自 由矢；
B
d
F’ F
A
• 两个力组成的平面称
力偶作用面
• 两个力间的垂距 d 称为
力偶臂
• 空间力系因力偶作用面 的方位可能各不相同， 故把力偶用矢量表示。
这一矢量称作 力偶矩矢
1） 其长度表示力偶矩大小；
2）方位与作用面法方向方位 n 同。
3）指向与力偶转向的关系服从 右手螺旋法则。
a. 力偶矩矢是自由矢
力对点的矩和力对轴的矩的关系
力对点的矩矢量可以写成：
MO( F ) = [MO( F )]x i + [MO( F )]y j + [MO( F )]z k
= (yFz － zFy) i + (zFx － xFz) j + (xFy － yFx) k
而
M x ( F ) = yFz － zFy M y ( F ) = zFx － xFz M z ( F ) = xFy － yFx
2.1.3 合力矩定理
空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分
力对同一点的矩的矢量和。即
其中
MO( F ) = ∑M O( Fi )
F = ∑ Fi 对于力对轴之矩，合力矩定理则为：合力对某一
轴之矩，等于力系中所有力对同一轴之矩的代数
和，即
MOx ( F ) = ∑M Ox( Fi )
MOy ( F ) = ∑M Oy( Fi ) MOz ( F ) = ∑M Oz( Fi )
合力偶，这个合力偶矩矢等于各 FR'
M2 M n
分力偶矩矢的矢量和。
Fn
M = M1+M2+ … +Mn = ∑M i
F2
B
F1
RBA
F1
证： 设有 n 个力偶，由性质一,总可
得到两个汇交力系，汇交点分别为 A 和 B。
A
F2
Fn
FR
M1 + M2 + … + M n = rBA×F1 + rBA×F2 + … + rBA×Fn = rBA×( F1 + F2 + … + Fn ) = rBA×FR = M
n M
力偶对刚体的作用效应，只取决于力偶
矩矢量，力偶矩矢量只有大小和方向，与力 矩中心O点无关，故为自由矢。可以证明：
B
d
F’
力偶对空间任一点的矩都 相等，即等于力偶矩矢。
rB rBA
F A
证：如图求力偶（F，F ’）对任意
O rA
M
点，如 O 点的矩。
为
画出 O 点到二力作用点 A、B 的矢径
自
MO ( F, F ) MO ( F ) MO ( F ) rA F rB F
力作用点 A的坐标为 x，y，z ;
力 F 在三坐标轴的投影分别为 Fx，Fy，Fz ;
A(x, y, z) Fy Fx
O
y
根据图中的关系，得
MOz( F ) = M Oz( Fxy) = xFy － yFx
x
xy Fx
Fy Fxy
将上式与按同类方法求得 的其他两式合并写成：
M x ( F ) = y Fz －z Fy M y ( F ) = z Fx－x Fz M z ( F ) = x Fy －y Fx
z
2.1.2 力对轴的矩
为了度量力对绕定轴转 动的物体作用效果，必 须了解力对轴的矩。 以一个门为例：
门上作用一个力 F 假定门绕 z 轴旋转
将力 F 向 z 轴和 xy 面 分解成两个分力 Fz 和 Fxy， 显然力 Fxy 使门绕 z 轴 旋转。
F Fz
Fxy
y x
力对轴的矩之定义
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是一 个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的 投影对于此平面与该轴的交 点的矩的大小。顶着坐标轴 看力使物体绕轴逆时针旋转 为正。