飞行器运动方程

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假定飞机有一个对称面xoz(机体坐标系),且飞 行器不仅几何外形对称,而且内部质量分布亦对 称,惯性积
I xy I zy O
;

忽略地面曲率,视地面为平面;
二、 六自由度飞机运动方程
1、飞机运动的自由度:(six-degrees-of freedom)
飞机在空间的运动有六个自由度,即质心沿地 面坐标系的三个移动自由度和绕机体坐标轴系 的三个转动自由度 。
L dL r ( r )dm iLx jLy kLz

r
向径
r ix iy kz
ip jq kr

角速度
3、角运动方程式
L i ( y z ) p xyq xzr dm
2 2 2 2 j ( z x )q yzr xyp dm
2、线运动学方程式

地轴系与体轴系间线速度关系 :飞机质心速度分 量由机体座标系转换到地面座标系
dx g dt v x u dy v x g g v C C C v C C C v y dt yg v v w dz g z z g dt
2、线运动学方程式
xg V cos cos yg V cos sin h V sin
飞机六自由度方程组(1)

状态向量:
u v w p q r xg yg h

轴转 得到 x1 y1 z g oz
x1 cos y1 sin zg 0
2、线运动学方程式

得到 再绕轴 oy 1 转
xy1 z 2
x cos y 0 1 z2 sin
x1 0 sin x1 1 0 y1 C y 1 z g 0 cos z g 得到 xyz 最后绕 ox 轴转
0 0 x x 1 x y 0 cos sin y C y 1 z z 0 sin cos z2

考虑到飞机有对称面(oy轴),而有 :
I xy I zy 0
由此可得(相对动坐标系的动量矩):
Lx pI x rI z L qI y y Lz rI z pI xz
3、角运动方程式
用机体系表示绝对参数变化时:

力平衡方程式:
wq vr)m Fx X (u dv ur wp)m F m F y Y (v dt vp up)m Fz Z ( w
二、运动学方程式
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系, 找出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。包括两种方程:
0 求 与 p,q,r 的关系。再将 加上可得: ,
0 0 cos 0 sin 0 p 1 q 0 cos sin 0 1 0 0 0 r 0 sin cos sin 0 cos
一个角运动 : 俯仰q 航程L 纵向 两个线运动:高度H 滚转p 侧向 两个角运动:偏航r 一个线运动 : 侧偏Y
坐标系选择

坐标系选择:选坐标系—机体系
飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动(飞 机姿态变化),及飞机三个线位置的变化,在建 立六自由度方程时,选机体坐标系。
dL dL IL L dt dt
dLy dLx dLz dL 其中 : I L i j k dt dt dt dt
L 表示随动坐标系的牵连运动。
3、角运动方程式
假定飞机为质量不变的刚体,惯性矩和 惯性积均为时不变的常量,则
dLx pI x rI xz dt dLy qI y dt dLz rI z pI xz dt
一、动力学方程
Fx u vr wq g sin m v ur wp g cos sin Fy m Fz w uq vp g cos cos m
3、角运动方程式

飞机动量矩的推导:
r

dm
dL r ( r )dm
飞行控制系统
第二章 飞行器运动方程 (一)
第二章 飞行器运动方程

刚体飞行器运动方程组 飞机的纵向运动 飞机的横侧向运动
2.1、飞行器运动方程组
一、建立飞机运动方程的基本假定 二、六自由度飞机运动方程 三、飞机运动方程的分组与线性化
一、建立飞机运动方程的基本假定:

认为飞机不仅是刚体,而且质量不变; 假定地球固定于空间,即略去地球自转、公转的 影响;
相垂直,向右为正。

:沿ox轴向量,向前为正。
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 0, 0时,没有一个角速度分量是水 平或垂直的。
1、角运动学方程式

把 向机体三轴投影的话,只有 p 包含 的 ,,
先令
的投影分量。为简单起见, 全部,p,q,r都包含 ,
1、角运动学方程式

角位置运动学方程式
q cos r sin p (r cos q sin )tg 1 (r cos q sin ) cos , 三者不一定正交。 , p、q、r一定正交,但

dv I v iu jv kw dt i j k v p q r i(wq vr) j (ur wp) k (vp uq) u v w
一、动力学方程
力平衡方程式:
F iX jY kZ
X (u wq vr )m dv F m Y (v ur wp)m dt Z ( w vp up)m
i L p Lx j q Ly k r i qLz rLy j rLx pLz k pLy qLx
Lz
3、角运动方程式

将合力矩沿机体坐标系分解
M iL jM kN
I x r I xz qr ( I z I r ) pqI xz L p 2 2 M q I pr ( I I ) ( p r ) I xz r x z N r I z p I xz pq( I r I x ) prI xz p (c1r c2 p)q c3 L c4 N

选体轴系下列好处:

假定3利用飞机对称平面,使 ; 飞机质量不变,因此转动惯量和惯性积为常值;

I xy I zy 0
机体轴的姿态角和角速度就是飞机的姿态角和 角速度。
一、动力学方程 动力学方程——以动力学为基础, 描述力与力矩平衡关系的方程,亦即 为考虑在体轴系下运动参数与力、力 矩的方程。(由于体轴系为动坐标系, 所以建方程时既要考虑相对运动,又 要考虑绝对运动。
q c5 pr c6 ( p 2 r 2 ) c7 M r (c8 p c2 r )q c4 L c9 N
3、动力学方程式

取机体座标系作为动座标系 力矩的平衡方程式:
I x r I xz qr ( I z I r ) pqI xz L p 2 2 M q I pr ( I I ) ( p r ) I xz r x z N r I z p I xz pq( I r I x ) prI xz

角位置运动学方程式
、 给出p、q、r与 、 的关系

线位置运动学方程
给出地轴系与体轴系间线速度关系 。
1、角运动运动学方程式
X
Yg

Xg

p O q r





Y

Z Zg
姿态角变化率的方位图
由图可知:

:为沿oz g 轴的向量,向下为正。
:在水平面内与ox轴在水平面上的投影
2、线运动学方程式

线位置运动学方程 :地轴系与体轴系间线
速度关系:
让地轴系依次按

转动即可:
sin cos 0 0 x g 0 y g C 1 z g xg yg zg
dV dV 1V V dt dt
dL dL 1H L dt dt
1、牵连运动
1V :沿 V 的单位向量;
:动坐标系对惯性系的总角速度向量;
1L :沿动量矩 L的单位向量; :表示叉乘 v 是牵连加速度。

dV dt
dV dt

dH dt
dH dt
:表示在动坐标系内的相对导数。
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程,显然包括两组方程:

力平衡方程式:理论依据―牛顿第二定律:


dv F ma m dt
力矩的平衡方程式: 理论依据―动量矩定理 :
dL M dt
一、动力学方程式
1、牵连运动 选定地面坐标系为惯性坐标系,因此, 基于机体坐标系建立的飞机运动方程要考 虑牵连运动。
k ( x y )r xzp yzq dm
2 2
i ( I x p I xy q I xz r )dm j ( I y q I yz r I xy p )dm k I z r I xz p I yz q dm
3、Fra Baidu bibliotek运动方程式
2、线运动学方程式

线位置运动学方程式
dxg dt dy g dt u cos cos v(cos sin sin sin cos ) w(cos sin cos sin sin ) u sin cos v(sin sin sin cos cos ) w( sin cos cos sin sin ) dH u sin v cos sin w cos cos dt

:表示在惯性坐标系内的绝对导数。
3、飞机运动方程
方程应包括动力学方程及运动学方程:
运动学方程——通过体轴系与地轴系的关系,找 出体轴系下角速度、位移量与地面轴系下角速 度、位移量的关系。
2、线运动方程
用机体系表示绝对参数变化时: ~ dv dv Iv v dt dt ~ dv 1v V dt 为速度向量 V 相对于动坐标系的变化率, 为由于动坐标系转动而引起的向量变化率,是牵连 加速度。
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