空间向量立体几何(绝对经典)PPT课件
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由面面平行判定定理的推论得：
A
B
H
G
面EG // 面AC
E
F
12
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
叫做共面向量.
定理
a//
b(a
0)
a
b
ab
共面
p
p x yb
推论 OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
OP OA xAB y AC
条件是存在实数对x, y使 p xa yb
r b
B
r
M aA
ur p
P
A
O
3
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
uuuur uuuur uuuur
MP x MA y MB
或对空间任一点O,有OuuPur
uuuur OM
uuuur x MA
uuuur y MB
注意：
r agb | a |g| b | a,b反方向 设a (x, y, z)
r | a |
r2 a
x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
8
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
uuur uuur AP t AB
uuur uuur uuur OP xOA yOB(x y 1)
OP xOA yOB zOC 0
(x y z 1)
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或直线
直线平行
平行于平面
13
3）射影
已知向量AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作点A在 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的 或在e方向上的正射影，简称射影。
10
例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
l
lm
g m
gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向 量m、n不平行，由共面向量定理
可知，存在唯一的有序实数对（x，y）， 使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
推论:如果l 为经过已知点A且平行已
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P
在直线l 上的充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+ta其中向量叫做直线的方向
向量.
P
a
若P为A,B中点, 则
B
uuur
OP
1
uuur uuur OA OB
A
2
O
2
2.共面向量定ur 理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a共u,rb面的充r 要 r
（﹡）代入
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OE
E
F
EF EH
所以 E、F、G、H共面。
11
证明：②EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
D
C
EG // AC EF // AB
空间存四在点唯P一、实M数、对A（、xB,共y）面, 使得uMuuPur
uuuur x MA
wk.baidu.com
uuuur y MB
uuur uuuur uuur uuur OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
4
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交 点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥。
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1)AB AD AA1
D1 A1
G D
C1 B1
M C
A
B
解(1)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向1 量
这就证明了直线l垂直于平面内的任 一条直线，所以l⊥
5
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA
在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
OA a
又OA a,OA a 0 又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0 a PA,即a PA.
6
复习:
r
r
1.空间向量的数量积: 设a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
rr r r
rr
agb | a |g| b |gcos
2. 向量的夹角:
a, b
x1x2 y1 y2 z1rz2 ra
向量
rr a与b
的夹角记作:
rr a，b
rr
0 a，b
b
B
r b
r a
rr cos a，b
rr ragbr
| a |g| b |
O
A
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22 7
4.有关性质: r
A1B1 AB cosa, e a e
B
e
A1
A
uuur 注意：AB在轴l上的u正uur射影A1B1是一个可正可负的实数，
它的符号代表向量AB 与l的方向的相对关系，大小代表
在l上射影的长度。
B1
l
14
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
r
(1)两非零向量 r r rr
a
(
x1,
y1,
z1
),
b
(
x2
,
y2
,
z2
)
a b agb 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
rr r r rr r r rr
(2) | agb || a |g| b | agb | a |g| b | a,b同方向
rr r r rr
5.向量的模长:
B P A
O
9
反果过p来 ，x对空y，间b 任那意么两向个量不共与p 线向的量向a量,
a
，b，如
有b 什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
A
B
H
G
面EG // 面AC
E
F
12
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
叫做共面向量.
定理
a//
b(a
0)
a
b
ab
共面
p
p x yb
推论 OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
OP OA xAB y AC
条件是存在实数对x, y使 p xa yb
r b
B
r
M aA
ur p
P
A
O
3
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
uuuur uuuur uuuur
MP x MA y MB
或对空间任一点O,有OuuPur
uuuur OM
uuuur x MA
uuuur y MB
注意：
r agb | a |g| b | a,b反方向 设a (x, y, z)
r | a |
r2 a
x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
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3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
uuur uuur AP t AB
uuur uuur uuur OP xOA yOB(x y 1)
OP xOA yOB zOC 0
(x y z 1)
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或直线
直线平行
平行于平面
13
3）射影
已知向量AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作点A在 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的 或在e方向上的正射影，简称射影。
10
例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
l
lm
g m
gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向 量m、n不平行，由共面向量定理
可知，存在唯一的有序实数对（x，y）， 使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
推论:如果l 为经过已知点A且平行已
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P
在直线l 上的充要条件是存在实数t,满足等
式OP=OA+ta其中向量叫做直线的方向
向量.
P
a
若P为A,B中点, 则
B
uuur
OP
1
uuur uuur OA OB
A
2
O
2
2.共面向量定ur 理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a共u,rb面的充r 要 r
（﹡）代入
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OE
E
F
EF EH
所以 E、F、G、H共面。
11
证明：②EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
D
C
EG // AC EF // AB
空间存四在点唯P一、实M数、对A（、xB,共y）面, 使得uMuuPur
uuuur x MA
wk.baidu.com
uuuur y MB
uuur uuuur uuur uuur OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
4
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交 点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥。
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1)AB AD AA1
D1 A1
G D
C1 B1
M C
A
B
解(1)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向1 量
这就证明了直线l垂直于平面内的任 一条直线，所以l⊥
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巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA
在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
OA a
又OA a,OA a 0 又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0 a PA,即a PA.
6
复习:
r
r
1.空间向量的数量积: 设a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
rr r r
rr
agb | a |g| b |gcos
2. 向量的夹角:
a, b
x1x2 y1 y2 z1rz2 ra
向量
rr a与b
的夹角记作:
rr a，b
rr
0 a，b
b
B
r b
r a
rr cos a，b
rr ragbr
| a |g| b |
O
A
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22 7
4.有关性质: r
A1B1 AB cosa, e a e
B
e
A1
A
uuur 注意：AB在轴l上的u正uur射影A1B1是一个可正可负的实数，
它的符号代表向量AB 与l的方向的相对关系，大小代表
在l上射影的长度。
B1
l
14
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
r
(1)两非零向量 r r rr
a
(
x1,
y1,
z1
),
b
(
x2
,
y2
,
z2
)
a b agb 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
rr r r rr r r rr
(2) | agb || a |g| b | agb | a |g| b | a,b同方向
rr r r rr
5.向量的模长:
B P A
O
9
反果过p来 ，x对空y，间b 任那意么两向个量不共与p 线向的量向a量,
a
，b，如
有b 什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面