拱桥内力计算
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式中：V0简支梁的影响线，上边符号适用于左半跨，下边符号适 用于右半跨
X3正方向
反力正方向
任意截面弯矩的影响线 如左图，可得任意截面i 的弯矩影响线 M i M 0 H1 y X 3 x X1
M 0 为简支梁弯矩 式中：
对于拱顶截面x=0，上式可写为： M d M 0 H1 y X1 任意截面轴力和剪力影响线 任意截面I 的轴力和弯矩影响线在截 面I处有突变，比较复杂。可先算出 该截面的水平力H1和拱脚的竖向反力 V，再按下列计算式计算轴向力N和 Q。
（1－2－45）
在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯 矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般比中、 小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。
2、弹性压缩引起的内力 在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变 性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切开， 假设拱桥圈可以自由变形，并假设弹性压缩会 使拱轴方向缩短l（右图所示）。由于在实际 结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形受到 约束，则在弹性中心处必有一水平拉力Hg Hg的计算
拱顶 轴向力 拱脚
N H1 N H1 cos j V sin j
H1 N 其它截面 cos
拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： Q H1 sin j V cos j
拱顶：数值较小，可不考虑
3、内力计算 主拱圈是偏心受压构件，最大正压力是由截面弯矩M还轴向力N共同决定 的，严格来说，应绘制核心弯矩弯矩影响线，求出最大和最小核心弯矩 值，但计算核心弯矩影响线十繁琐。
温度变化产生的附加内力 其它内力 混凝土收缩、徐变产生的附加内力 拱脚变位产生的附加内力 水浮力引起的内力计算 1、温度引起的内力计算 设温度变化引起拱轴在水 平方向的变位为 lt ,与弹 性压缩同样的道理，必须 在弹性中心产生一对水平 力Ht：
dx 1 0 EAcos 1 H g H g H g y 2 ds 1 1 s EI
l
dx s EAcos 1 y 2 ds s EI
百度文库
由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力
1 H g cos 1 M 1 H g ( ys y1 ) 1 Q 1 H g sin 1
Hg
M
f
j
半拱恒载对拱脚的弯矩
Vg P （半拱恒载重力）
N
Hg cos
偏离的影响可按式（1－2－29）～式（1－2－30）首先计算出X1 , X 2 然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。
N X 2 cos M X 1 X 2 ( y1 ys ) H g y Q X 2 sin
2、内力影响线
赘余力影响线 在求拱内力影响线时，常采用如右图所示 的基本结构，赘余力为 X 1 , X 2 , X 3 ，根 据弹性中心的性质，有：
X 1 11 1P 0 X 2 22 2 P 0 X 3 33 3 P 0
1P X1 11 2 P X2 22 3 P X3 33
2 2 2 2 M ds N ds y ds cos ds ' 22 2 2 s EI s EA s EA s EA y 2 ds (1 ) s EI
H g dx
其中
y ys y1
cos2 ds s EA y 2 ds s EI
则：
c 以荷载值（车辆轴重）乘以相应的影响线坐标，求得最大弯矩（最小 弯矩）及相应的水平推力和支座竖向反力 等代荷载（换算荷载）加载法 等代荷载是这样一均布荷载K，它所产生的某一量值，与所给移动 荷载产生的该量值的最大值 Smax 相等：
K Smax
是等代荷载K所对应影响线所包围的面积
a 下图是拱脚处的弯矩及水平推力和支座竖向影响线，将等代荷载布置
由变形相容方程有：
' H g 22 l 0
其中：
l H g ' 22
Nds l dx ds cos cos 0 s s EA
l
N
Hg cos
代入上式有：
dx l Hg 0 EA cos 0 EA cos
l l
在影响线的正弯矩区段。 b 根据设计荷载和正弯矩区影响线的长度， 可由拱桥手册查得最大正弯矩Mmax的等代 荷载KM及相应推力和竖向反力的等代荷 载KH和KV。 c 以 K M , K H , KV ，分别乘以正弯矩及相应 M, , H ,V 的 推力和竖向反力的面积 即可求得其内力
最大弯矩
拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即
Vg g x dx g xl1d
0 0
l1
1
代
y1 g x g d y1 g d 1 (m 1) f
Vg m2 1 2[ln(m m 1)]
2 ' gd l kg gd l
C （1－2－58） B 对于板箱拱，如取单个拱箱进行计算，则横向分布系数为：
式中：C车列数 B拱圈宽度 n 拱箱个数
肋拱桥荷载横向分布系数
C n
（1－2－59）
对双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。对于多 肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁式桥计算。
弯 矩： 剪 力：
1 H g cos cos 1 M 1 H g ( y s y1 ) 1 Q 1 H g sin 1
N Hg
（1－2－56）
不考虑弹性压缩恒载内力 考虑压力线与拱轴线偏离时（空腹式拱） 计入偏离影响 弹性压缩产生的内力 轴向力： N
相应推力
M max K M M H1 K H H V KV V
式中
相应剪力
横向分布系数
车道折减系数
d 相应轴力和剪力为： 拱顶 轴向力 拱脚
N H1 N H1 cos j V sin j
H1 N 其它截面 cos
拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： Q H1 sin j V cos j 拱顶：数值较小，可不考虑
将上述系数代入式（1－1－60）后，即可得P＝1作用在B点时的赘余力， X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等 分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
（1－2－57）
1 ( H g X 2 )( ys y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 剪 力： 1
在实际计算中，考虑到拱桥的抗弯性能远差于其抗压强度的特点， 一般可在弯矩影响线上按最不利情况加载，求得最大（或最小）弯 矩，然后求出与这种加载情况相应的H1和V的数值，以求得与最大 （或最小）弯矩相应的轴力。 直接加载法 影响线加载 等代荷载法
直接加载法
a首先画出计算截面的弯矩影响线、水平推力和支座竖向影响线； b根据弯矩影响线确定汽车荷载最不利加载位置（最大、最小）；
内力影响线 有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条 件和叠加原理求得。 拱中任意截面水平推力H1的影响线 由 X 0 知 H1 X 2 ，因此H 的影响线与赘余力X 的影响线相同： 1 2 拱脚竖向反力V的影响线 将赘余力X3移至两支点后，由
Y 0
得：
V V0 X 3
2 l g k 2 1 d (m 1) Hg f
（1－2－20）
恒载水平推力Hg ：利用上式有
l1 l / 2
gd l 2 m 1 gd l Hg kg 2 4k f f
2
（1－2－42）
其中：
kg
m 1 4k 2
（1－2－23）
k ch1m ln(m m2 1)
其中：
2 p 22
yy s EI s I ds H g M 22 ds y 2 ds s EI s I M 2 M p ds
X 2
M X1 X 2 y M p
（二）恒载内力计算
1、横向分布系数 石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数 假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈 宽度计算，则横向分布系数为：
N
桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响 f l 30m, 1/ 3 l f 1/ 4 l 20m, l f 1/ 5 l 10m, l 3、恒载作用下拱圈各截面的总内力 不考虑弹性压缩恒载内力 不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱） 弹性压缩产生的内力
轴向力：
相对较小，可近似忽略，则有：
N H1 cos
则：
l
1 Nds dx cos H1 s EA 0 EA cos
dx 0 EA cos 1 H H 1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋
到上式，并积分，有
（1－2－43）
其中
Vg
m2 1 2[ln(m m 2 1)]
拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有
N
Hg cos
（1－2－44）
2）空腹拱 在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分， 即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线 完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力， 二者叠加。 不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和 拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到
注意： 由于活载弹性压缩产生的内力 活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平力 H，其大小为：
Nds l s EA cos H ' '
22
22
取脱离体如下图，将各力投影到水平方向 有：
N
Q sin H1
H1 Q sin H1 Q (1 sin ) cos cos H1
l
dx H1 0 EA cos
H1
l
活载弹性压缩引起的内力为： 弯矩： M Hy 1 H y 1 1 轴力： N H cos 1 H1 cos 1 1 Q H sin H1 sin 剪力： 1
（三）、等截面悬链线拱其它内力计算
2kf l (m 1)
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M 3M P 3 P ds s EI
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 2 1 tg 1 2 sh 2 k ds
M 12 l l l 1 2 2 11 ds 1 sh k d s EI EI 0 EI 1 M 22 22 ds s EI l l f f 2 2 ( chk 1 ) chk 1 sh k d m 1 EI 0 m 1 lf 2 EI M 32 l3 l 2 l3 2 2 33 ds 1 sh k d s EI 0 EI EI
X3正方向
反力正方向
任意截面弯矩的影响线 如左图，可得任意截面i 的弯矩影响线 M i M 0 H1 y X 3 x X1
M 0 为简支梁弯矩 式中：
对于拱顶截面x=0，上式可写为： M d M 0 H1 y X1 任意截面轴力和剪力影响线 任意截面I 的轴力和弯矩影响线在截 面I处有突变，比较复杂。可先算出 该截面的水平力H1和拱脚的竖向反力 V，再按下列计算式计算轴向力N和 Q。
（1－2－45）
在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯 矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般比中、 小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。
2、弹性压缩引起的内力 在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变 性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切开， 假设拱桥圈可以自由变形，并假设弹性压缩会 使拱轴方向缩短l（右图所示）。由于在实际 结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形受到 约束，则在弹性中心处必有一水平拉力Hg Hg的计算
拱顶 轴向力 拱脚
N H1 N H1 cos j V sin j
H1 N 其它截面 cos
拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： Q H1 sin j V cos j
拱顶：数值较小，可不考虑
3、内力计算 主拱圈是偏心受压构件，最大正压力是由截面弯矩M还轴向力N共同决定 的，严格来说，应绘制核心弯矩弯矩影响线，求出最大和最小核心弯矩 值，但计算核心弯矩影响线十繁琐。
温度变化产生的附加内力 其它内力 混凝土收缩、徐变产生的附加内力 拱脚变位产生的附加内力 水浮力引起的内力计算 1、温度引起的内力计算 设温度变化引起拱轴在水 平方向的变位为 lt ,与弹 性压缩同样的道理，必须 在弹性中心产生一对水平 力Ht：
dx 1 0 EAcos 1 H g H g H g y 2 ds 1 1 s EI
l
dx s EAcos 1 y 2 ds s EI
百度文库
由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力
1 H g cos 1 M 1 H g ( ys y1 ) 1 Q 1 H g sin 1
Hg
M
f
j
半拱恒载对拱脚的弯矩
Vg P （半拱恒载重力）
N
Hg cos
偏离的影响可按式（1－2－29）～式（1－2－30）首先计算出X1 , X 2 然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。
N X 2 cos M X 1 X 2 ( y1 ys ) H g y Q X 2 sin
2、内力影响线
赘余力影响线 在求拱内力影响线时，常采用如右图所示 的基本结构，赘余力为 X 1 , X 2 , X 3 ，根 据弹性中心的性质，有：
X 1 11 1P 0 X 2 22 2 P 0 X 3 33 3 P 0
1P X1 11 2 P X2 22 3 P X3 33
2 2 2 2 M ds N ds y ds cos ds ' 22 2 2 s EI s EA s EA s EA y 2 ds (1 ) s EI
H g dx
其中
y ys y1
cos2 ds s EA y 2 ds s EI
则：
c 以荷载值（车辆轴重）乘以相应的影响线坐标，求得最大弯矩（最小 弯矩）及相应的水平推力和支座竖向反力 等代荷载（换算荷载）加载法 等代荷载是这样一均布荷载K，它所产生的某一量值，与所给移动 荷载产生的该量值的最大值 Smax 相等：
K Smax
是等代荷载K所对应影响线所包围的面积
a 下图是拱脚处的弯矩及水平推力和支座竖向影响线，将等代荷载布置
由变形相容方程有：
' H g 22 l 0
其中：
l H g ' 22
Nds l dx ds cos cos 0 s s EA
l
N
Hg cos
代入上式有：
dx l Hg 0 EA cos 0 EA cos
l l
在影响线的正弯矩区段。 b 根据设计荷载和正弯矩区影响线的长度， 可由拱桥手册查得最大正弯矩Mmax的等代 荷载KM及相应推力和竖向反力的等代荷 载KH和KV。 c 以 K M , K H , KV ，分别乘以正弯矩及相应 M, , H ,V 的 推力和竖向反力的面积 即可求得其内力
最大弯矩
拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即
Vg g x dx g xl1d
0 0
l1
1
代
y1 g x g d y1 g d 1 (m 1) f
Vg m2 1 2[ln(m m 1)]
2 ' gd l kg gd l
C （1－2－58） B 对于板箱拱，如取单个拱箱进行计算，则横向分布系数为：
式中：C车列数 B拱圈宽度 n 拱箱个数
肋拱桥荷载横向分布系数
C n
（1－2－59）
对双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。对于多 肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁式桥计算。
弯 矩： 剪 力：
1 H g cos cos 1 M 1 H g ( y s y1 ) 1 Q 1 H g sin 1
N Hg
（1－2－56）
不考虑弹性压缩恒载内力 考虑压力线与拱轴线偏离时（空腹式拱） 计入偏离影响 弹性压缩产生的内力 轴向力： N
相应推力
M max K M M H1 K H H V KV V
式中
相应剪力
横向分布系数
车道折减系数
d 相应轴力和剪力为： 拱顶 轴向力 拱脚
N H1 N H1 cos j V sin j
H1 N 其它截面 cos
拱顶：数值很小，可不考虑 剪力 拱脚： Q H1 sin j V cos j 拱顶：数值较小，可不考虑
将上述系数代入式（1－1－60）后，即可得P＝1作用在B点时的赘余力， X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等 分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
（1－2－57）
1 ( H g X 2 )( ys y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 剪 力： 1
在实际计算中，考虑到拱桥的抗弯性能远差于其抗压强度的特点， 一般可在弯矩影响线上按最不利情况加载，求得最大（或最小）弯 矩，然后求出与这种加载情况相应的H1和V的数值，以求得与最大 （或最小）弯矩相应的轴力。 直接加载法 影响线加载 等代荷载法
直接加载法
a首先画出计算截面的弯矩影响线、水平推力和支座竖向影响线； b根据弯矩影响线确定汽车荷载最不利加载位置（最大、最小）；
内力影响线 有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条 件和叠加原理求得。 拱中任意截面水平推力H1的影响线 由 X 0 知 H1 X 2 ，因此H 的影响线与赘余力X 的影响线相同： 1 2 拱脚竖向反力V的影响线 将赘余力X3移至两支点后，由
Y 0
得：
V V0 X 3
2 l g k 2 1 d (m 1) Hg f
（1－2－20）
恒载水平推力Hg ：利用上式有
l1 l / 2
gd l 2 m 1 gd l Hg kg 2 4k f f
2
（1－2－42）
其中：
kg
m 1 4k 2
（1－2－23）
k ch1m ln(m m2 1)
其中：
2 p 22
yy s EI s I ds H g M 22 ds y 2 ds s EI s I M 2 M p ds
X 2
M X1 X 2 y M p
（二）恒载内力计算
1、横向分布系数 石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数 假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈 宽度计算，则横向分布系数为：
N
桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响 f l 30m, 1/ 3 l f 1/ 4 l 20m, l f 1/ 5 l 10m, l 3、恒载作用下拱圈各截面的总内力 不考虑弹性压缩恒载内力 不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱） 弹性压缩产生的内力
轴向力：
相对较小，可近似忽略，则有：
N H1 cos
则：
l
1 Nds dx cos H1 s EA 0 EA cos
dx 0 EA cos 1 H H 1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋
到上式，并积分，有
（1－2－43）
其中
Vg
m2 1 2[ln(m m 2 1)]
拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有
N
Hg cos
（1－2－44）
2）空腹拱 在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分， 即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线 完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力， 二者叠加。 不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和 拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到
注意： 由于活载弹性压缩产生的内力 活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平力 H，其大小为：
Nds l s EA cos H ' '
22
22
取脱离体如下图，将各力投影到水平方向 有：
N
Q sin H1
H1 Q sin H1 Q (1 sin ) cos cos H1
l
dx H1 0 EA cos
H1
l
活载弹性压缩引起的内力为： 弯矩： M Hy 1 H y 1 1 轴力： N H cos 1 H1 cos 1 1 Q H sin H1 sin 剪力： 1
（三）、等截面悬链线拱其它内力计算
2kf l (m 1)
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M 3M P 3 P ds s EI
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 2 1 tg 1 2 sh 2 k ds
M 12 l l l 1 2 2 11 ds 1 sh k d s EI EI 0 EI 1 M 22 22 ds s EI l l f f 2 2 ( chk 1 ) chk 1 sh k d m 1 EI 0 m 1 lf 2 EI M 32 l3 l 2 l3 2 2 33 ds 1 sh k d s EI 0 EI EI