2009年考研数学三真题及解析

全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1.
(B)2. (C)3.
(D)无穷多个.
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则
(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1
6
b =.
（3）使不等式1sin ln x t
dt x t
>⎰成立的x 的范围是
(A)(0,1).
(B)(1,
)2π
. (C)(,)2
π
π.
(D)(,)π+∞.
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
⎰的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*
,A B *
分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩
阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(B)**
23O
B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭.
(C)**32O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(D)**
23O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T
P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q AQ 为
(A)210110002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.
(B)110120002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭.
(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则
(A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ⋃=.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z
的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9
）cos 0x x →= .
（10）设()y x
z x e =+，则
(1,0)
z
x ∂=∂ .
（11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T
αβ相似于300000000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则k = .
(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则ET = .
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）
计算不定积分ln(1dx +
⎰
(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分
()D
x y dxdy -⎰⎰
，其中22
{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],
a b 上连续，在(),a b 上可导，则
(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,
,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +
→=，
则'
(0)f +存在，且'(0)f A +=.
（19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）
设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
.
（Ⅰ）求满足21A ξξ=，2
31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）
设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
11y y +，求a 的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0
x e y x
f x y -⎧<<=⎨
⎩其他
（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦；
（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3.
(D)无穷多个.
【答案】C. 【解析】
()3
sin x x f x x
π-=
则当x 取任何整数时，()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3
0x x -=的解
1,2,30,1x =±
320032113211131lim lim sin cos 132
lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==
--== 故可去间断点为3个，即0,1±
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则
(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1
6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1
6
b =.
【答案】A.
【解析】2
()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则
222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax
g x x bx x bx bx bx
→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax
a
→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外2
01cos lim
3x a ax
bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).
所以本题选(A).
（3）使不等式
1
sin ln x
t
dt x t
>⎰
成立的x 的范围是 (A)(0,1).
(B)(1,
)2π
. (C)(,)2
π
π. (D)(,)π+∞.
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
111sin sin 1()ln x
x x t
t f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t
--==>⎰⎰成立时x 的
取值范围，由1sin 0t
t
->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
⎰的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：
①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.
④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*
,A B *
分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩
阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(B)**
23O B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭.
(C)**32O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(D)**
23O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【答案】B.
【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
==
分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的行列式
22
1236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 1
1
11661O B B
O A O A O A O B B O B O B O A
O A O A **
---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
123
6132
O B O B A
O A O ***
*⎛
⎫ ⎪
⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
故答案为(B).
（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T
P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q AQ 为
(A)210110002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.
(B)110120002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭.
(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
【答案】A.
【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤
⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，即： 12121212122112(1)
[(1)][(1)](1)[](1)
100(1)01
0(1)0021101
001002100100101101100010
02001002T T T
T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则
(A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ⋃=.
【答案】D.
【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P A
B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.
(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.
(D)()()1()1P A
B P AB P AB ==-=，故(D)正确.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（ ） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
【答案】 B.
【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==
1
[(0)(1)]2
1
[(00)(1)]2
P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=
,X Y 独立
1
()[(0)()]2
Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤
（1）若0z <，则1
()()2Z F z z =Φ
（2）当0z ≥，则1
()(1())2
Z F z z =+Φ
0z ∴
=为间断点，故选(B).
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →=
.
【答案】
32
e . 【解析】cos cos 10x x x x -→→=02(1cos )lim 13
x e x x
→-=20212
lim 13x e x x →⋅=32e =. （10）设()y x
z x e =+，则(1,0)
z
x ∂=∂ .
【答案】2ln21+. 【解析】由(
)x
y z x e
=+，故()(),01x
z x x =+
()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣
⎦
代入1x =得，()
ln 21,01ln 22ln 212z e x
∂⎛
⎫=+=+ ⎪∂⎝
⎭.
（11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . 【答案】
1
e
. 【解析】由题意知，()
2
10n
n n e a n
--=> ()
()
()
()11
1
1
2212
2111()11111n n n n n n
n n n
n e e e
a n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅
=⋅→→∞⎡⎤
+--+⎛⎫--⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
所以，该幂级数的收敛半径为1e
（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.
【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P
Q
ξ'=
=-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T
αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则k = .
【答案】2.
【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T
αβ的特征值为
3，0，0.而T αβ为矩阵T
αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.
(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则ET = . 【答案】2
np
【解析】由222
()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2
(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故1
0,x y e
= =
. 221
2(2),2,4xx
yy xy
f y f x f xy y
''''''=+ =+ =. 则12(0,)1
2(2)xx
e
f e ''=+
，1(0,)0xy
e
f ''=，1
(0,)yy e
f e ''=.
0xx
f ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e
=-.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分ln(1dx +
⎰
(0)x >.
t =得222
12,1(1)tdt
x dx t t -= =--
2221
ln(1ln(1)1ln(1)11111
dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰
而
22111112
()11411(1)111ln(1)ln(1)2441
dt dt
t t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰
所以
2ln(1)111
ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=+-⎰
（17）（本题满分10 分） 计算二重积分
()D
x y dxdy -⎰⎰
，其中22
{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22
(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，
32(sin cos )
4
()(cos sin )0
4
D
x y dxdy d r r rdr πθθθθθπ
+∴-=-⎰⎰⎰
⎰
332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰
3384(cos sin )(sin cos )34
d πθθθθθπ=-⋅+⎰
3
3444
38814(sin cos )(sin cos )(sin cos )334
4
d ππ
πθθθθθθπ=++=⨯+⎰83
=-.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则
(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,
,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +
→=，
则'
(0)f +存在，且'(0)f A +=.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()
()()()()f b f a x f x f a x a b a
ϕ-=--
--，易验证()x ϕ满足：
()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且
''()()
()()f b f a x f x b a
ϕ-=-
-.
根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'
()0ϕξ=，即
'()f ξ'()()
0,()()()()f b f a f b f a f b a b a
ξ--
=∴-=--
（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得
()
0'00()(0)
x f x f f x ξ-=
-……()*
又由于()'
lim x f x A +
→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：
()()
000000'''0
000()00lim lim ()lim ()0
x x x x x f x f f f f A x ξξξ+
+++→→→-====- 故'
(0)f +存在，且'(0)f A +=.
（19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的t π倍，求该曲线的方程.
【解析】旋转体的体积为2
2()()11
x x t t V f dx f dx ππ==⎰⎰
曲边梯形的面积为：()1x t
s f dx =
⎰，则由题可知
22()()()()1111
x x x x t t t t
V ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰
两边对t 求导可得2
2
()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =
+⇒-=⎰⎰
继续求导可得'
'
2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得
'
1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y -=⇒+=，解之得1
22
3
t c y y -=⋅+
在
式中令1t =，则2
(1)(1)0,
()0,(1)1f f f t f -=>∴=，代入1
2
2
3
t cy
y -
=+
得11,2)33c t y =∴=+.
所以该曲线方程为：230y x +=.
（20）（本题满分11 分）
设111A=11
1042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，2
31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=
()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =
故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中1k 为任意常数
解方程2
31A ξξ=
2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
()2
11110
22012,2201000044020000A ξ-⎛
⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭
故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由2
0A x =得11x = 令230,1x x ==-，由2
0A x =得10x =
求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
故 3231102100010k k ξ⎛⎫
-
⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，其中23,k k 为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
121
212121221111
2
11
12(21)()2()(21)22
221
k k k k k k k k k k k k k -+
--=+++-+-+-+102=≠
故123,,ξξξ 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
11y y +，求a 的值.
【解析】（Ⅰ） 0
101111a A a a ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
0110||01
()
1
111
1
1
1
a
a
a
E A a
a a a λλλλλλλλ-----=
-=---+---+
222()[()(1)1][0()]
()[()(1)2]()[22]
19
(){[(12)]}
24
()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--
123,2,1a a a λλλ∴==-=+.
（Ⅱ） 若规范形为22
12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则
1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合
3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0
x e y x
f x y -⎧<<=⎨
⎩其他
（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦ 【解析】
（Ⅰ）由0(,)0
x y x
e f x y -<<⎧= ⎨⎩其它得其边缘密度函数
()0x
x x x f x e dy xe x --=
= >⎰
故 |(,)1
(|)0()y x x f x y f y x y x f x x
=
= <<
即 |1
(|)0y x y x
f y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它
（Ⅱ）[1,1]
[1|1][1]
P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=
≤
而1
1
10
11
[1,1](,)12x
x
x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤=
===-⎰⎰⎰⎰
⎰
()|
,0x x y
Y y
f y e dx e e y y
+∞
---+∞==-= >⎰ 11101
[1]|110
y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰
11122
[1|1]11
e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦.
②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
12113324
(10)9
C P X Z C C ⨯∴====⋅.
（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故
()()()()()()()()()1111332311116666111
2231111
6666112211661122116611
0,0,1,046111
2,0,0,13631
1,1,2,10
91
0,29
1,20,2,20
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========
⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====
⋅======。