数学建模—森林救火

森林救火

一、问题重述

森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目，且消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关。

二、问题分析

损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数量，队员越多灭火越快。救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为t=0,救火时刻t=t1,灭火时刻t=t2，时刻t森林烧毁面积为B（t）。

三、基本假设

1.损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数c1为烧毁单位面积的损失费；

2.从失火到开始救火这段时间（0~t1）内，火势蔓延程度dB/dt 与时间t成正比，比例系数β称火势蔓延速度；

3.每个消防员的救火能力λ与到达时的火势b成反比，即消防员到达时火势越大消防员救火能力越小，不妨设λ(b)=λ`/(b+1)，其中

λ`表示火势很小的时候一个消防队员正常的灭火能力，分母b+1是防止b→0时，λ→∞；

4.派出χ名消防队员，开始救火以后（t>t1)火势蔓延速度降为β-λ(b)*χ,显然要有β<λ(b)*χ；

5.每个消防队员单位时间的费用为c2,于是每个队员的救火费用是c2（t2-t1）；每个队员的一次性支出是c3;

四、模型建立

根据假设条件2，3，火势蔓延程度dB/dt在0≤t≤t1线性地增加，在t1≤t≤t2线性地减小。dB/dt ~ t 的图形如图1所示。

图一

记t=t1时dB/dt=b。烧毁面积B（t2）为dB/dt在0~t2上的积分，恰是图中三角形的面积，显然有B（t2）=1/2*b*t2,而t2满足

（1）

于是

（2）根据假设条件1，5，森林损失费为c1*B(t2),救援费为c2*χ*(t2—t1)+c3*χ，将（1），（2）代入，得到救火总费用为

（3）C(χ)即为这个优化模型的目标函数。

五、模型计算

为求χ使C(χ)达到最小，令dC/dχ=0，可以得到应派出的队员数为

（4）

六、结果分析

首先，应派出的队员数目由两部分组成，其中一部分（1+b）β/λ`是为了把货扑灭所必需的队员数。因为β是火势蔓延速度，而λ`是每个队员到达火场时根据火势而定的平均灭火速度，所以这个结果是明显的。从图一也可以看出，只有当χ>（1+b）β/λ`时,斜率(1+b)χ/λ`-β的直线才会与t轴有交点t2.

其次，派出队员的另一部分，即在最低限度之上的队员数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ`/（1+b）和救援费用系数c3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时刻t1及损失费用系数c1增加时，队员数增加。这些结果与常识是一致的。