等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
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数列——等差数列
【考纲解读】
理解等差数列的概念。
掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。
能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。
【知识储备】
—
知识点1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
知识点2、等差数列的通项公式
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112， 叠加得到等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。 例1：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。
@
3a
5a
d
-5 ；
9
2 -6.5
)
1a n
a
知识点3、等差中项
^
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2
b
a A +=
或b a A +=2
例2：已知{}n a 是等差数列。
（1）有3122a a a +=，那么7352a a a +=是否成立？ 9152a a a +=呢？为什么？ （2）)1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立？ （3）
（4）
)0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立？据此你能得出什么结论？
）
知识点4、等差数列的前n 项和
2
)(1n n a a n S +=
将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2)
1(1-+
=
该公式整理后是关于n 的二次函数。
例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。
【
（1）；，，8n 18481=-=-=a a
（2）7.0185.141=-==d a a n ，，。
知识点5、等差数列的判定方法
❖
❖
定 义 法：若d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，则数列{}n a 是等差数列。
❖
:
❖
等 差 中项：若212+++=n n n a a a 或)1(2k k n >>+=+-k n a a a n n ，则数列{}n a 是等差数列。
❖ 通项公式法：若通项公式B An a n +=为一次函数，则数列{}n a 是等差数列， 且公差A d =，首项B A a +=1。
❖ 前n 项和法：若前n 项和Bn An S +=2
n ，则数列{}n a 是等差数列，
且公差A d 2=，首项B A a +=1。 例4：已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 3
2
412+=，求这个数列的通项公式。
\
知识点6、等差数列的性质
① 等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d
m n a a m n )(-+=
——该公式为等差数列的递推公式。 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a
、
例5：已知{}n a 是等差数列。有，，722283==+a a a 则=9a 。
{}n a 是等
② 若数列差数列，n S 是其前
n 项的和，
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示：
③ 等差数列的前n 项和的性质：
@
若项数为()*
2n n ∈N ， 则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，
1
n
n S a S a +=奇偶．
若项数为()
*
21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =
-奇偶
（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）。
例6：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a = 。
【题型划归】
题型一、利用递推公式d a a n n +=+1或d m n a a m n )(-+=求值。
例1、设数列{}n a 的首项)N ( 2,711∈+=-=+n a a a n n 且满足，则=17a 。
《
万能解题模板：
【现炒现卖】
在数{}n a 中，23=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52