分式与分式方程复习PPT课件
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北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程教学说课复习课件巩固
课程讲授
1 分式方程的解法
例
解方程
1 3. x2 x
解： 方程两边乘x(x-2),得 x=3（x-2）.
解得 x=3. 检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边
所以，x=3是原分式方程的根.
课程讲授
1 分式方程的解法
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式 方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公 分母.这也是解分式方程的一般方法.
x x2
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
课程讲授
2 分式方程的增根
问题1：根据分式方程的一般解法解下面的分式方程，
运用所学知识检验所得结果是否是原分式方程的根。
1 x5
10 x2 25
此分式方程无解
5-5=0
25-25=0
x=5是整式方程x+5=10的解
根据等式的性质，等式两边同时乘以最简公分母—— （x-5）（x+5）
x2 1 0 x 1
的解是（
D
）
A.1或-1
B.-1
C.0
D.1
2.分式方程
x 1 x 1
3
x 1x 2
的解为（
A
）
A.x=1
B.x=-1
C.无解
D.x=-2
随堂练习
3.关于x的方程
3x 2 x 1
m 2 x 1
有增根，则m的值是（
A
）
A.-5
B.5
C.-7
D.2
4.若关于x的方程 2 x m 2 的解为正数，则m的 x2 2x
3x-2x=6+2 x=8
课程讲授
1 分式方程的解法
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
x
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
八年级数学上册第二章分式与分式方程复习课件(30张PPT)
解这个方程得：x＝30
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
分式方程的复习课件
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步骤
1. 整理方程；2. 确定分母；3. 使用公式求解
换元法
简化复杂分式方程的有效手段
输入 标题
详细描述
换元法是通过引入新的变量来替换原方程中的复杂部 分，从而将复杂方程转化为简单方程。这种方法在解 复杂分式方程时非常有效。
总结词
适用范围
1. 确定需要替换的部分；2. 引入新变量；3. 替换并整 理方程；4. 解出新变量的值；5. 还原为原变量得到解
$x = frac{5}{4}$。
综合练习题
题目
解方程 $frac{x + 1}{2} - frac{4x - 3}{5} = frac{2x + 1}{3} + frac{1}{15}$
解析
首先将方程两边都乘以15（最小公倍数）来消去分母，得到 $15(x + 1) - (4x - 3) = (2x + 1) times 3 + 1$，然后去括号、移项、合并同类项，最后解得 $x = frac{49}{17}$。
对于有实际意义的分式方程，解必须符合实际情况，例如在 物理问题中，解需要符合物理定律和常识。
解的取值范围
确定解的取值范围
在解分式方程时，需要考虑解的取值范围，以确保解是有效的。
验证解的连续性和可导性
对于一些需要求导数或者需要验证连续性的问题，需要确保解在指定区间内是连续和可导的。
避免常见错误
避免解的扩大化
。
步骤
复杂或难以直接解出的分式方程
消去法
总结词
通过消除分式方程中的分母来 求解
详细描述
消去法是通过对方程两边同时 乘以公共分母，消除分母，将 分式方程转化为整式方程，然 后求解。
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
解分式方程一定要 验根 。
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
北师大版八年级数学下册课件：第五章《分式与分式方程》复习
——5.4 分式方程
学习目标（1分钟）
1.能正确解分式方程，会验根。
2.理解分式方程增根的含义，能运用增 根解决分式方程中的相关问题。
3.能运用分式方程解应用题。
自学指点1（2分钟）
1.解 方 程 ：x 1
3
x 1 ( x 1)( x 2)
思路分析：解分式方程须第一通过去分母将其转化为 整式方程来解，去分母时不要漏乘不含分母的项，最 后要检验。
A. 48 48 9 x4 x4
B. 48 48 9 4 x 4 x
C. 48 4 9 x
D. 96 96 9 x4 x4
2.某 工 厂 接 到 加 工720件 衣 服 的 订 单， 预 计 每 天 做48件， 正 好 按
时 完 成， 后 因 客 户 要 求 提 前5天 交 货， 设 每 天 应 多 做x件， 则x应
自学检测3（5分钟）
1.A、B两 地 相 距48km,一 艘 轮 船 从A地 顺 流 行 至B地， 又 立 即 从
B地 逆 流 返 回A地， 共 用 去9h， 已 知 水 流 速 度 为4km / h， 若 设 该
轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为xkm / h， 则 可 列 方 程 为 A
x2 1
下 列 说 法 中，
不 正 确 的 是
D
A.方 程 两 边 分 式 的 最 简 公分 母 是( x 1)(x 1)
B.两 边 都 乘 以( x 1)(x 1)得2( x 1) 3( x 1) 6
C .解 这 个 方 程， 得 : x 1
D.原 方 程 的 解 为x 1
经检验，x=1是原方程的增根，故原分式方程无解
x1 A.1 B. 1 C. 1 D.0
2.若 方 程 (x
学习目标（1分钟）
1.能正确解分式方程，会验根。
2.理解分式方程增根的含义，能运用增 根解决分式方程中的相关问题。
3.能运用分式方程解应用题。
自学指点1（2分钟）
1.解 方 程 ：x 1
3
x 1 ( x 1)( x 2)
思路分析：解分式方程须第一通过去分母将其转化为 整式方程来解，去分母时不要漏乘不含分母的项，最 后要检验。
A. 48 48 9 x4 x4
B. 48 48 9 4 x 4 x
C. 48 4 9 x
D. 96 96 9 x4 x4
2.某 工 厂 接 到 加 工720件 衣 服 的 订 单， 预 计 每 天 做48件， 正 好 按
时 完 成， 后 因 客 户 要 求 提 前5天 交 货， 设 每 天 应 多 做x件， 则x应
自学检测3（5分钟）
1.A、B两 地 相 距48km,一 艘 轮 船 从A地 顺 流 行 至B地， 又 立 即 从
B地 逆 流 返 回A地， 共 用 去9h， 已 知 水 流 速 度 为4km / h， 若 设 该
轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为xkm / h， 则 可 列 方 程 为 A
x2 1
下 列 说 法 中，
不 正 确 的 是
D
A.方 程 两 边 分 式 的 最 简 公分 母 是( x 1)(x 1)
B.两 边 都 乘 以( x 1)(x 1)得2( x 1) 3( x 1) 6
C .解 这 个 方 程， 得 : x 1
D.原 方 程 的 解 为x 1
经检验，x=1是原方程的增根，故原分式方程无解
x1 A.1 B. 1 C. 1 D.0
2.若 方 程 (x
北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程说课教学课件复习
3
2
= ，分式无意义
0
三个条件
1.分式无意义的条件：
分母等于零
2.分式有意义的条件：
分母不等于零
3.分式的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零
+2
−
例3．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.
求a＋b的值．
解： ∵ 当x＝1时，分式无意义，
∴ 1－a＝0，a＝1.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母
为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
巩固练习
变式训练
下列判断错误的是 (
D )
2
A.当a≠0时,分式 a有意义
3a - 6
B.当a=2时,分式 2a + 1的值为0
a-2
C.当a>2时,分式
的值为正
0;
2a 1 2 ( 1) 1
当a=-1时
，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义. 1
a .
由分母2a-1=0，得
2
所以，当
1
a 1
a
2 时，分式 2a 1 有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
x 1
有意义，则x应满足的
( x 1)( x 2)
（2）当x = －0.4时，
课堂检测
基础巩固题
3.下列分式中,无论x取何值,分式总有意义的是 (
1
A. 2
5x
1
B. 2
x +1
1
C. 3
分式方程分式PPT课件
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
练习：
1 分式方程 x112x的1最简公分母是 X1
2 如果 x 1231 2 x有x增根;那么增根为 X=2 3 关于x的方程 axx=14 的解是x= 12;则a= 2
4 若分式方程 a 4 有0增根x=2;则 a= 1 x2 x24
分析:
原分式方程去分母;两边同乘以x2 4;得 ax+2+4=0 ① 把x=2代入整式方程①; 得 +4=0; a=1
解分式方程容易犯的错误主要有：
• 1去分母时;原方程的整式部分漏 乘
• 2约去分母后;分子是多项式时; 要注意添括号
• 3增根不舍掉 • 4……
解方程
随 堂
练
(1)
3 x-1
=ห้องสมุดไป่ตู้
4 x
习
(2)
x 2x-3
+
5 3-2x
=4
思考题:
解关于x的方程
x-3 x-1
=
m x-1
产生增根,则常数m的值等于(
)
情景问题:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时;它沿江 最大航速顺流航行100千米所用时间;与以最大航速逆流 航行60千米所用时间相等;江水的水流速度为多少
分析：设 轮江 船水 顺的 流水 航流行速的度速为度为v千_2_米0_+/_v时_千; 米/时;
逆 顺流 流航 航行 行的10速0千度米为所_2_用0_v时__间千为米_/2时_010_0;_v__小时;
逆流航行60千米所用时间为___60___小时
列得方程:
100 60 20 v 20v 20v
分式方程:分母含有未知数的方程
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程教学说课复习课件
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400
9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400
9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程研讨说课复习课件巩固
90 60 30+x 30 x
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x). 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
检验：将x=6代入原分式方程中，左边=
5 2
=右边，
因此x=6是原分式方程的解.
探究新知
结论 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即
北师大版 八年级 数学 下册
5.4 分式方程 第2课时课件Fra bibliotek导入新知
1.还记得什么是方程的解吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.二元一次方程组呢？ 加减消元法、代入消元法
转化
二元一次方程组
一元一次方程
连接中考
（2020·海南）分式方程
x
3
2
1
的解是
(
C
)
A. x=-1 C. x=5
B. x=1 D. x=2
课堂检测
基础巩固题
1.关于x的方程
2ax 3 ax
3 4
的解为x=1,则a=(
D
)
A. 1
B. 3
C. -1
D. -3
2.关于x的分式方程
7x x 1
+5=
2m 1 x 1
有增根,则m的值为
x+5=10
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第1课时认识分式pptx课件鲁教版五四制
求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式时，容
易出现考虑不周的错误．
2
例2 分式 x 1 有意义，则x的取值范围是 ( A )
A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解.
根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
归纳
求分式有意义时字母的取值
范围，一般是根据分母不等于0
构造不等式，求使分式的分母不
等于0的字母的取值范围．
例3 当x取何值时，下列分式无意义？
2 x－1
(1) 3 x ；
5 x＋1
(2) 3 x 2－27 .
导引：由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程求解．
2 x－1
解：(1)当3x＝0，即x＝0时，分式
无意义；
3x
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
b
和
,
a x 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点
都具有分数的形式
不同点 （观察分母）分母中有字母
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中
定义
A
A
含有字母，那么式子 B 叫做分式. 分式
B
中，A叫做分子，B叫做分母.
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被
除式，分母是除式，分数线相当于除号，分
数线还具有括号作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进
行变形后再判断，而必须按照本来“面目”
2
3a
进行判断. 如： 是分式.
a
x＋2 2 x a＋2b
2x
3，
例1 下列各式：－3a ， 2 ，x ，π＋2 ，
12.4 分式方程课件(共19张PPT)
12.4 分式方程
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
分式和分式方程(复习)课件
2 2 2
最简公分母的确定
如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最 小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所 有字母的最高次幂。 如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确 定最简公分母。 1 3 2 例： )通分： 与 (1 、 3 2 ax 2b x 3cx x2 x 1 ( 2)通分：2 与 2 x 2x x 4x 4
解：方程两边都乘以 4得： x
2
（x 2) a ( x 2)
2
2
若方程有增根，只能是 2或x 2 x 将x 2和x 2分别代入整式方程可得 ： a 16或a 16
m 1 1、关于x的方程 1 x 1 x 2 1 有增根-1，求m
2、若方程
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 ······ 程的根. ··· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, 而不是分式方程的根.···· ····
x2 a x2 例：若关于x的方程 2 x2 x 4 x2 有增根，求a的值。
ab 1 1 解：由已知可得 3, 即 3(1), ab a b 1 1 1 1 同理得： 4(2), 5 b c c a 1 1 1 6 a b c 1 1 原式 ab bc ac 6 abc
分式 方程
概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做 分式方程。 解分式方程的步骤： 将分式方程转化为整式方程（方程两边同时乘 以最简公分母） 解整式方程 检验（验根） 写出方程的解
解分式方程易错点分析
一、去分母时常数漏乘 最简公分母 2 x 1 例1、解方程： 2 x 3 3 x 二、去分母时，分子是 多项式不加括号 5 3 x 例2、解方程： 2 0 x 1 x 1 三、方程两边同时除以 可能为零的整式 3x 2 3x 2 例3、解方程： x4 x3
最简公分母的确定
如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最 小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所 有字母的最高次幂。 如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确 定最简公分母。 1 3 2 例： )通分： 与 (1 、 3 2 ax 2b x 3cx x2 x 1 ( 2)通分：2 与 2 x 2x x 4x 4
解：方程两边都乘以 4得： x
2
（x 2) a ( x 2)
2
2
若方程有增根，只能是 2或x 2 x 将x 2和x 2分别代入整式方程可得 ： a 16或a 16
m 1 1、关于x的方程 1 x 1 x 2 1 有增根-1，求m
2、若方程
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 ······ 程的根. ··· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, 而不是分式方程的根.···· ····
x2 a x2 例：若关于x的方程 2 x2 x 4 x2 有增根，求a的值。
ab 1 1 解：由已知可得 3, 即 3(1), ab a b 1 1 1 1 同理得： 4(2), 5 b c c a 1 1 1 6 a b c 1 1 原式 ab bc ac 6 abc
分式 方程
概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做 分式方程。 解分式方程的步骤： 将分式方程转化为整式方程（方程两边同时乘 以最简公分母） 解整式方程 检验（验根） 写出方程的解
解分式方程易错点分析
一、去分母时常数漏乘 最简公分母 2 x 1 例1、解方程： 2 x 3 3 x 二、去分母时，分子是 多项式不加括号 5 3 x 例2、解方程： 2 0 x 1 x 1 三、方程两边同时除以 可能为零的整式 3x 2 3x 2 例3、解方程： x4 x3
第1章分式章末复习PPT课件
针对训练
6.某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工 程。已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队 铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同。 问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设x米； 则甲工程队每天能铺设（x+20）米， 依题意，得 350 250 ， 解得x=50， x 20 x 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意。
解： 由①+ ② +③，得
1 x
1 y
1 z
16
④，
由④- ①，④- ②，④- ③分别得：
1 7, 1 5, 1 4, zxy
x
1 5
,
所以
y
1 4
,
z
1 7
.
归纳拓展
分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根据每个 问题的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，二慢， 三通过”的好习惯。
答：甲工程队每天能铺设70米，乙工程队每天能铺设50米。
考点六 本章数学思想和解题方法
主元法 2a b 例6：已知：a 2b
3 14
，求 a2 b2 的值。
a2 b2
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的情势，得 a 4 b ， 5
代入约分即可求值。
解： ∵ 2a b 3 a 2b 14
方法总结
分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是 分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则a的值为 x3
-3 。
2.如果分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 。 a2
考点二 分式的有关计算
《分式方程》分式与分式方程PPT课件(第1课时)
解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5） 是整式方程，（6）不是方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母 中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.
2.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的 笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个
笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量 与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的 价格为x元，则可列方程__2_0x_0___x3_5_03_.
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h， 那么 x 满足怎样的方程？
1400 1400 9
x
2.8x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h， 那么 y 满足怎样的方程？
4 分式方程
第1课时
面对日益严重的土地沙化问题， 某县决定分期分批固沙造林，一期工 程计划在一定期限内固沙造林2400公 顷，实际每月固沙造林的面积比原计 划多30公顷，结果提前4个月完成计 划任务。原计划每月固沙造林多少公 顷？
1、这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面 积比原计划多30公顷；提前4个月完成原任务 未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
1400 2.8 1400
y
y9
为了帮助遭受自然灾害地 区重建家园，某学校号召同学 自愿捐款．已知七年级同学捐 款总额为4800 元，八年级同 学捐款总额为5000元，八年级 捐款人数比七年级多 20人， 而且两个年级人均捐款额恰好 相等．如果设七年级捐款人数 为 x 人，那么 x 满足怎样的 方程？
《分式与分式方程》课件
详细描述
分式的定义中，分母是除数，可以是整数 、多项式或分式。
分式的值随着分子和分母的取值变化而变 化，当分子和分母同号时，分式的值为正 ；当分子和分母异号时，分式的值为负。
分式的性质
总结词
分式的性质
详细描述
分式具有一些重要的性质，如分式的加减法、乘除法、约分和通分等 。
详细描述
分式的加减法性质指出，当分母相同时，可以直接对分子进行加减运 算；当分母不同时，需要先进行通分，再进行加减运算。
详细描述
分式的乘除法性质指出，分式与整数相乘或相除时，可以直接对分子 和分母分别进行乘除运算。
分式的约分与通分
总结词
分式的约分与通分
详细描述
约分是指将一个分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母的公因式来 实现。通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的过程，以便进行加减运 算。
02
分式方程的解法
总结词
理解同分母分式的加减法规则
详细描述
同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变， 分子进行相应的加减运算。
总结词
掌握异分母分式的加减法规则
详细描述
异分母的分式在加减时，需要先通分，然后按照同分母 分式的加减法规则进行运算。
分式的乘除法
总结词
理解分数乘法的规则
01
详细描述
02 分数乘法时，分子乘分子作为
THANKS
新的分子，分母乘分母作为新 的分母，然后再化简。
总结词
理解分数除法的规则
03
详细描述
04 分数除法时，可以转化为乘法
运算，即被除数乘以除数的倒 数，然后再化简。
总结词
掌分式的一种方法，
通过分子和分母的最大公约数 来约简分式。
分式的定义中，分母是除数，可以是整数 、多项式或分式。
分式的值随着分子和分母的取值变化而变 化，当分子和分母同号时，分式的值为正 ；当分子和分母异号时，分式的值为负。
分式的性质
总结词
分式的性质
详细描述
分式具有一些重要的性质，如分式的加减法、乘除法、约分和通分等 。
详细描述
分式的加减法性质指出，当分母相同时，可以直接对分子进行加减运 算；当分母不同时，需要先进行通分，再进行加减运算。
详细描述
分式的乘除法性质指出，分式与整数相乘或相除时，可以直接对分子 和分母分别进行乘除运算。
分式的约分与通分
总结词
分式的约分与通分
详细描述
约分是指将一个分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母的公因式来 实现。通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的过程，以便进行加减运 算。
02
分式方程的解法
总结词
理解同分母分式的加减法规则
详细描述
同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变， 分子进行相应的加减运算。
总结词
掌握异分母分式的加减法规则
详细描述
异分母的分式在加减时，需要先通分，然后按照同分母 分式的加减法规则进行运算。
分式的乘除法
总结词
理解分数乘法的规则
01
详细描述
02 分数乘法时，分子乘分子作为
THANKS
新的分子，分母乘分母作为新 的分母，然后再化简。
总结词
理解分数除法的规则
03
详细描述
04 分数除法时，可以转化为乘法
运算，即被除数乘以除数的倒 数，然后再化简。
总结词
掌分式的一种方法，
通过分子和分母的最大公约数 来约简分式。
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x 2 y 2 ,其中x 2xy y 2
2,y
6
8．请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题： 解：
=
（A）
=
（B）
=x﹣3﹣3（x+1）（C） =﹣2x﹣6（D） （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误： ； （2）从 B 到 C 是否正确，若不正确，错误的原因是 ； （3）请你正确解答．
A. 1
B. 0
C. −1
D. ±1
3．如果把分式
中的 x，y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大 3 倍 B．不变 C．缩小 3 倍 D．扩大 2 倍
4．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 v1 千米， 下坡时的速度为每小时 v2 千米，则他在这段路上、下坡的平均速 度是每小时（ ）
9
2
C. m>− 4
9
D. m>− 4 且 m≠− 3
9
4
4．已知关于 x 的分式方程x－m 1＋1－3 x＝1 的解是非负数，
则 m 的取值范围是( )
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2 且 m≠3 D．m＞2 且 m≠3
分式方程的应用
某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚， 爱鸟护鸟”为主题的远足活动。已知学校与君 山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车， 学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是 学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生 同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员 所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行 的平均速度是多少千米/小时。
9．在数学课上，教师对同学们说：“你们任意说出一个
1
x－1
x 的值(x≠0，1，2)，我立刻就知道式子(1＋x－2)÷x2－2x
的计算结果．”请你说出其中的道理．
分式方程的解法
解方程： x
1 2
4
x2 4
1
.解方程： x
1
2
3
x
2
1
x
若关于
x
的分式方程
x
2
3
x m 3x
2 有增根,则 m 的值是(
某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种
款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种 款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件 的进价比乙种款型每件的进价少30元。
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件?
(2)商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后， 甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙 款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售
ab ab
b 2 等于( a2
)
A. b a
B. a bΒιβλιοθήκη C.b aD.
a b
2.化简： a2
a2
4
2a
1
a2 (a
4a
1)2
4
a
2
的结果为( 2
)
A.
a 2 a 2
B.
a 4 a 2
C.
a a 2
D. a
3.化简：（a
3a - 4 ）(1 a-3
a
1
)的结果等于() 2
A. a-2 B.a+2
完这批T恤衫商店共获利多少元?
A．
千米 B．
千米
C．
千米 D．无法确定
5．若
的值是 ．
6．观察下列各等式：
，
，
，
…根据你发现的规律，计算： = （n 为正整数）．
7.若
1
a b ，对任意自然数 n 都成立，
(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
则 a= ，b=
．
8．若
，求 A、B 的值．
分式的化简及求值
1.化简 a2 b 2 ab
概念
分式 分式有意义 分式的值为零 分式约分 分式通分 分式方程 增根
分式及其性质
1.下列分式中,最简分式是( )
A. x2 1 B. x 1 C. x2 2xy y 2 D. x 2 36
x2 1
x 21
x 2 xy
2x 12
2.如果分式 x2 1 的值为 0，则 x 的值是（ ） 2x 2
A. m=−1 B. m=0 C. m=3 D. m=0 或 m=3
2.关于
x
的方程
3x
x
2 1
2
x
m
无解,则 1
m 的值为(
)
A. −5 B. −8
C. −2
D. 5
3.若关于 x 的方程 x m x 3
3m 3x
3的解为正数,则 m
的取值范围是(
)
A. m< 2
9
B. m< 2 且 m≠ 3
某机加工车间共有26名工人,现要加工2100个A 零件,1200个B零件,已知每人每天加工A零件30 个或B零件20个,问怎样分工才能确保同时完成 两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?
某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现， 购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费 600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相 等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利 院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那 么最多可购买多少个甲礼品？
C.
a
a
2 3
D.
a 3 a 2
4.若
y
x
3则x
4
x
y 的值为()
A. 1
B. 4 7
C. 5 4
D. 7 4
5.化简：( x 8
x2 4
x
2
) 2
x2
x
4
4x
4
6.先化简再求值：
(1
x
3
) 1
x 2 4x 4 ,其中x x2 1
3
7.先化简再求值：
(x2 y x
x
1) x 2