新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(十七) 幂函数

课时跟踪检测（十七） 幂函数
A 级——学考合格性考试达标练
1．在函数①y ＝1x
，②y ＝x 2，③y ＝2x 2
，④y ＝x -1
2中，是幂函数的是( )
A ．①②
B ．③④
C ．①②④
D ．①②③④
解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－1
2的情形，所以①②④都是幂函数；③中x 2的系数是2，所以不是
幂函数，所以只有①②④是幂函数．
2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.1
2 D ．1 C.32
D ．2
解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝ ⎝⎛⎭
⎫12α
＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝1
2
.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －
2 D ．y ＝x －
1 C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 13
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝x 1
3
不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．函数y ＝x 1
2
－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )
解析：选B y ＝x 12
的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y
＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12
的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 1
2
－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.
5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A ．n <m <0 D ．m <n <0 C ．n >m >0
D ．m >n >0
解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m ＞2n ，所以n ＜m ＜0.
6．若y ＝ax
a 2＋
12
是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y ＝ax a 2＋1
2
是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 32
，所以y ≥0，故该函数的值
域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知幂函数f (x )＝x α
的部分对应值如表：
x 1 12 f (x )
1
22
则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 1
2的单调递增区间是[0，
＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．设α∈⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α
为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值
是________．
解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2
＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则
⎩⎪⎨
⎪⎧m 2＋m －1＝1，
m 2＋2m ≠0，
∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧m 2＋m －1＝－1，
m 2
＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.
10．比较下列各组数的大小． (1)3－7
2和3.2－
7
2； (2)⎝⎛⎭⎫－23 2
3和⎝⎛⎭⎫－π
62
3； (3)4.12
5
和3.8
-43
.
解：(1)函数y ＝x －7
2在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－7
2＞3.2－
7
2. (2)⎝⎛⎭⎫－23 2
3＝⎝⎛⎭⎫232
3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π62
3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π62
3，函数y ＝x 2
3在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，
所以⎝⎛⎭⎫－2323＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π62
3. (3)
4.125
＞125
＝1，0＜3.8-43
＜1
-
43
＝1，
所以4.12
5
＞3.8
-43
.
B 级——面向全国卷高考高分练
1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2
－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 D ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2
D ．m ＝1
解析：选B 由幂函数的定义，可得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2.当m ＝1时，y ＝x －2，其图象不过原点；当m ＝2时，y ＝x 0，其图象不过原点．故m ＝1或2.
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2
3
D ．y ＝x
-
13
C ．y ＝x 32
D ．y ＝x
-
23
解析：选D A 中，函数y ＝x 23
是偶函数，因为2
3＞0，故函数y ＝x 2
3在(0，＋∞)上单
调递增，不符合题意，B 、C 中的函数不是偶函数，故选D.
3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1
2，1上的最小值是( )
A ．－1 D ．－2 C ．－3
D ．－4
解析：选C 由已知得2a
＝12，解得a ＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2
x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3.故选C.
4．对于幂函数f (x )＝x 45
，若0＜x 1＜x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）
2的大小关系是
( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）
2
B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）
2
C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）
2
D ．无法确定
解析：选A 幂函数f (x )＝x 4
5
在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0＜x 1＜x 2，则AC 的中点E 的坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |＞12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）
2
，故选A.
5．已知2.4α
＞2.5α
，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0. 答案：(－∞，0)
6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝
f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．
解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )
α，f (mn )＝(mn )α，所以
f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
答案：③
7．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1
(m ∈R )为偶函数．
(1)求f ⎝⎛⎭⎫
12的值；
(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3.
当m ＝2时，f (x )＝x －3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去； 当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f
⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭
⎫12－4
＝16.
(2)由f (x )＝x －4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |， 即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－1
3
.
C 级——拓展探索性题目应用练
已知幂函数f (x )＝x
2m 1
(－)3
(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的
解析式，并讨论g (x )＝a f （x ）－
b
xf （x ）
的奇偶性．
解：由f (x )＝x
2m 1
(－)3
(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，得1
3
(m －2)＜0，∴m ＜2.
∵m ∈N ，∴m ＝0，1.
∵f (x )是偶函数，∴只有当m ＝0时符合题意，故f (x )＝x -23
.
于是g (x )＝
a
|x 13
|－
b
x
13
，g (－x )＝
a
|x 13
|＋
b
x
13
，且g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
当a ≠0且b ≠0时，g (x )既不是奇函数也不是偶函数； 当a ＝0且b ≠0时，g (x )为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．。