含有参数的函数问题的解法

含有参数的函数问题的解法

含有参数的函数问题是中考数学考查的重点内容之一。现以中考试题为例说明这类问题的解法，供读者参考。

一. 含有参数的正比例函数

例1. （昆明市）若1n n 2x )2n (y ---=是正比例函数，那么n 的值为__________。 解析：由正比例函数的定义，得

11n n 2=--，且02n ≠-，

解得1n -=

评注：若忽视02n ≠-这一隐含条件，则会导致产生增值（n=2）的错误。

例2. （四川省）已知：3m

2x )1m 2(y --=是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，

那么这个函数的解析式为（ ）

A. x 5y -=

B. x 5y =

C. x 3y =

D. x 3y -= 解：由题设条件易知，此正比例函数是减函数。

所以01m 2<-， 所以2

1m < 由正比例函数的定义，得：

13m 2=-，

所以2m =或2-

综上可知，2m -=

所以所求函数的解析式为x 5y -=。

故应选A 。

二. 含有参数的一次函数

例3. （内蒙古自治区）已知：一次函数b kx y +=的图象经过点（-2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线3x 2

1y +-=与y 轴交于点Q ，点Q 与点P 关于x 轴对称。 求：一次函数的解析式。

解析：要求一次函数b kx y +=的解析式应求出k 、b 的值，为此须先求点P 的坐标。

因为点P 与Q 关于x 轴对称，而Q 是直线3x 2

1y +-

=与y 轴的交点，它的坐标为（0，3），所以点P 的坐标为（0，-3）。再根据待定系数法可求出k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式为： 3x 4y --=

例4. （宁夏回族自治区）如果0bc ,0ab >>，那么函数)c ax (b 1y -=

的图象不经过第________象限。 解析：由)c ax (b

1y -=，得 b

c x b a y -= 因为0bc ,0ab >>， 所以0b

c ,0b a >> 所以函数的图象不经过第二象限

例5. （黑龙江省）一次函数3kx y +=的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为_______。

解析：函数3kx y +=与坐标轴相交，与x 轴交点)0,k 3(-

与y 轴交点（0，3）。图象与坐标轴围成直角三角形。 所以22253)k

3

(=+， 4

3k ±=。 即4

343k -=或。 三. 含有参数的反比例函数 例6. （陕西省）已知反比例函数7m 5m

2x )1m (y ----=的图象在一、三象限内，那么m 的值为（ ）

A. 1-

B. 6

C. 1-或6

D. 6-或1 解析：由题意，得：

⎩

⎨⎧-=-->--17m 5m 0)1m (2 解得：1m -=。故应选A 。

例7. （吉林省）如图1，已知点A （1，3）在函数)0x (x k y >=

图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点。函数)0x (x

k y >=

的图象又经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m 。解答下列问题。

（1）求k 的值；

（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；

（3）当︒=∠45ABD 时，求m 的值。

图1

解析：（1）把A （1，3）的坐标代入x

k y =，得3k =。 （2）过E 点作x E F ⊥轴，垂足为F ，因为矩形的对角线中点E 的横坐标为)0m (m >，所以，

BF 2BC ,m OF ==。

由已知，得OB=1。

所以1m OB OF BF -=-=，

故2m 2)1m (2BC -=-=，

1m 2OB BC OC -=+=

即点C 的横坐标为1m 2-

（3）在BAD Rt ∆中

︒=∠︒=∠45ADB ,90BAD ，

所以2m 2AB ,BC AD AB -===

因为点A 的纵坐标为3，

所以2

5m ,32m 2==- 评注：本题运用到点的坐标的几何意义，即点的横、纵坐标与它到y 轴、x 轴的距离的关系，数形结合是解决本题的关键。

四. 含有参数的二次函数

例8. （南通市）已知抛物线22m 4mx 5x y +-=（m 为常数）。

（1）求证：此抛物线与x 轴一定有交点。

（2）是否存在正数m ，使已知抛物线与x 轴有两个交点的距离等于

1

m 6-？若存在。求出m 的值，若不存在说明理由。

解析：（1）欲证抛物线与x 轴有交点，即需证0≥∆。

因为222m 9m 16m 25=-=∆，

所以0≥∆

即抛物线与x 轴一定有交点。

（2）由0m 4mx 5x 22=+-，可求得抛物线与x 轴的交点坐标分别为A （0,m 4），B （0,m ）。所以两点间的距离为)0m (m 3>， 即1

m 6m 3-=， 解得1m 2m -==或。

所以存在正数2m =。

评注：抛物线与x 轴两交点间的距离也可用公式21221221x x 4)x x (|x x |-+=-来求。 例9. （浙江省）把抛物线2)1x (3y --=向上平移k 个单位所得抛物线与x 轴交于点A （0,x 1）和B （2x ，0）。如果9

26x x 2221=

+，那么k=_______。 解析：由题意得： k 3x 6x 3k )1x (3y 22+-+-=+--=

从而有0k 3x 6x 32=+-+-

由根与系数的关系，得：

2x x ,3

k 3x x 2121=+-= 于是有4)x x (221=+，

所以212221x x 24x x -=+ 因为926x x 2221=

+， 所以3

)k 3(24926--= 解得：34k =

五. 含有参数的复合函数

例10. （山东省）如果直线)0ab (b ax y ≠+=不经过第三象限，那么抛物线bx ax y 2+=的顶点必在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 解析：因为直线)0ab (b ax y ≠+=不经过第三象限，即该直线经过一、二、四象限，所以0b ,0a ><。