概率统计补充案例解析

补充案例：概率部分：

案例1、“三人行必有我师焉”

案例2、抓阄问题

案例3、贝叶斯方法运用案例介绍

案例4、化验呈阳性者是否患病

案例5、敏感性问题的调查

案例6、泊松分布在企业评先进中的应用

案例7、碰运气能否通过英语四级考试

案例8、检验方案的确定问题

案例9、风险型决策模型

案例10、一种很迷惑游客的赌博游戏

案例11、标准分及其应用

案例12、正态分布在人才招聘中的应用

案例13、预测录取分数线和考生考试名

统计部分：

案例14、随机变量函数的均值和标准差的近似计算方法案例15、如何表示考试成绩比较合理

案例16、如何估计湖中黑、白鱼的比例

案例17、预测水稻总产量

案例18、工程师的建议是否应采纳

案例19、母亲嗜酒是否影响下—代的健康

案例20、银行经理的方案是否有效

案例21、一元线性回归分析的Excel实现

案例22、方差分析的Excel实现

案例23、预测高考分数

案例24、两次地震间的间隔时间服从指数分布

案例1、“三人行必有我师焉”

我们可以运用概率知识解释孔子的名言“三人行必有我师焉”. 首先我们要明确一个问题，即只要在某一方面领先就可以为师(韩愈说“术业有专攻”). 俗语说“三百六十行，行行出状元”，我们不妨把一个人的才能分成360个方面。孔子是个大圣人，我们假设他在一个方面超过某个人的概率为99％，那么孔子在这方面超过与他“同行”的两个人的概率为99％ ×99％ =98.0l ％，在360个方面孔子总比这两人强的概率为

(98.01％)360=0.07％ ，即这两个人在某一方面可以做孔子老师的概率为99.93％.从数学角度分析，孔子的话是很有道理的. 案例2、抓阄问题

一项耐力比赛胜出的10人中有1 人可以获得一次旅游的机会，组织者决定以抓阄的方式分配这一名额. 采取一组10人抓阄，10张阄中只有一张写“有”. 每个人都想争取到这次机会，你希望自己是第几个抓阄者呢? 有人说要先抓，否则写有“有”的阄被别人抓到，自己就没有机会了；有人说不急于先抓，如果前面的人没有抓到写有“有”的阄，这时再抓抓到“有”的机会会大一些. 为了统一认识，用概率的方法构造一个摸球模型来说明问题.

摸球模型：袋中装有1 个红球和9 个黄球除颜色不同外球的大小、形状、质量都相同. 现在10 人依次摸球(不放回)，求红球被第 k 个人摸到的概率( k = 1, 2, ⋯, 10).

解决问题 ：设 k A = “ {第 k 个人摸到红球

}， k = 1, 2, ⋯

, 10. 显然，红球被

第一个人摸到的概率为

101

)(1=

A P . 因为 12A A ⊆，于是红球被第二个人摸到的概率为 101

91109)()()()(121212=

⨯===A A P A P A A P A P .

同样，由 213A A A ⊆知红球被第三个人摸到的概率为

1018198109)()()()()(2131213213=

⨯⨯=

==A A A P A A P A P A A A P A P .

如此继续，类似可得 )(4A P = =

=ΛΛ)(5A P 101

)(10

=A P .

由此可见，其结果与k无关，表明10 个人无论摸球顺序如何，每个人摸到红球的机会相等. 这也说明10 个人抓阄，只要每个人在抓之前不知道他前边那些已经抓完的结果，无论先后, 抓到的机会是均等的.

在现实生活中单位分房、学生分班、短缺物品的分配等，人们常常乐于用抓阄的办法来解决，其合理性保证当然得归功于“概率”. 通过上面的摸球模型，我们总结出分配中的“抓阄”问题，无论先抓后抓，结果是一样的.学完概率之后再遇到抓阄问题时不必争先恐后，我们要发扬风格让他人先抓.

案例3、贝叶斯方法运用案例介绍

什么是贝叶斯过滤器？

垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。

正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法，主要有"关键词法"和"校验码法"等。前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。

2002年，Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。

另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮件，不断调整。收到的垃圾邮件越多，它的准确率就越高。

建立历史资料库

贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。

我们用这两组邮件，对过滤器进行"训练"。这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。Paul Graham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。

"训练"过程很简单。首先，解析所有邮件，提取每一个词。然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如，我们假定"sex"这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，Paul Graham 就假定，它在正常邮件的出现频率是1%，反之亦然。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。）

有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。

贝叶斯过滤器的使用过程

现在，我们收到了一封新邮件。在未经统计分析之前，我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中，80%是垃圾邮件。但是，这里仍然假定垃圾邮件的"先验概率"为50%。）

我们用S表示垃圾邮件（spam），H表示正常邮件（healthy）。因此，P(S)和P(H)的先验概率，都是50%。

然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了sex这个词，请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高？