北京四中2011-2012学年高一数学上学期期末试题

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北京市四中2011-2012学年上学期高一年级期末测验数学试卷
试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分
考试时间：120分钟
卷（I ）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. ︒210cos =
A.
2
1
B.
2
3 C. 2
1-
D. 2
3-
2. 设向量()⎪⎭
⎫
⎝⎛==21,
21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||b a = B. 2
2=
⋅ C. 与-垂直 D. ∥
3. 已知⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan
A.
4
3 B. 4
3-
C.
3
4 D. 3
4-
4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a
A. 0
B. 22
C. 4
D. 8
5. 若
2
4
π
θπ
<
<，则下列各式中正确的是
A. θθθtan cos sin <<
B. θθθsin tan cos <<
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C. θθθcos sin tan <<
D. θθθtan sin cos <<
6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则
A. 0=++PC PB PA
B. 0=+PC PA
C. 0=+PC PB
D. 0=+PB PA
7. 函数14cos 22-⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为π2的奇函数
D. 最小正周期为π2的偶函数
8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅AC d ，则=⋅BC d
A. 0
B. －4
C.4
D. 4或－4
9. 若函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛<
≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1
C. 2
D. －2
10. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
4π，
且18-=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，则实数m 的值等于
A. 1±
B. 3±
C. －3或1
D. －1或3
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二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。

12. 已知向量()()()2,1,,1
,1,2-=-=-=c m b a ，若()
c b a ∥+，则=m ________。

13. ⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
6tan πα21=，316tan -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πβ，则()=+βαtan _________。

14. 若函数()x x f 2sin =，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛12πf _________，
，单调增区间是_________。

15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ，则=⋅AD AC _________。

16. 定义运算b a *为：()()⎩
⎨⎧>≤=b a b b a a b a *。

例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。

三、解答题（本大题共3小题，共26分）
17. （本小题满分6分）
已知：如图，两个长度为1的平面向量OB OA 和，它们的夹角为
3
2π
，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。

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求：（1）OB OA ⋅的值；
（2）AC AB ⋅的值。

18. （本小题满分10分）
已知：函数()()02
3
cos 3cos sin 2>++
-⋅=a b a x a x x a x f （1）若R x ∈，求函数()x f 的最小正周期及图像的对称轴方程；
（2）设⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈2,
0πx ，()x f 的最小值是－2，最大值是3，求：实数b a ,的值。

19. （本小题满分10分）
已知：向量()()()ββββααsin 4,cos ,cos 4,sin ,sin ,cos 4-===c b a （1）若16tan tan =βα，求证：b a ∥； （2）若c b a 2-与垂直，求()βα+tan 的值；
（3）求||c b +的最大值。

卷（II ）
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一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1. 要得到⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=32πx f y 的图象，只需把()x f y 2=的图象 A. 向右平移
3
π
个单位 B. 向左平移
3
π个单位
C. 向右平移
6
π
个单位 D. 向左平移
6
π个单位
2. 设函数()x f 是以2为周期的奇函数，若()1,0∈x 时，()x x f 2=，则()x f 在区间（1，
2）上是
A. 增函数且()0>x f
B. 减函数且()0<x f
C. 增函数且()0<x f
D. 减函数且()0>x f
3. 设250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 212︒
-=︒
+︒=︒-︒=
c b a ，则有 A. c b a >>
B. c b a <<
C. b c a <<
D. a c b <<
4. 函数()23log 2
1-=x y 的定义域是_________
5. 设πθ20<≤时，已知两个向量()()θθθθcos 2,sin 2,sin ,cos OP 21-+==OP ，
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而||21P P 的最大值为_________，此时=θ_________。

6. 已知函数()x f 是定义在]1,(-∞上的减函数，且对一切实数x ，不等式
()()
x k f x k f 22sin sin -≥-恒成立，则实数=k _________。

二、解答题（本大题共2小题，共20分）
7. （本小题满分10分）
已知：向量()()m b a ,2,3,1-=-=，且()
b a a -⊥。

（1）求实数m 的值；
（2）当b a k +与b a -平行时，求实数k 的值。

8. （本小题满分10分）
对于在区间[]q p ,上有意义的两个函数()x f 和()x g ，如果对于任意的[]q p x ,∈，都有()()1||≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在区间[]q p ,上是“接近”的两个函数，否则称它们在[]q p ,上是“非接近”的两个函数。

现有两个函数()()()()1,01
log ,3log ≠>-=-=a a a
x x g a x x f a
a 且，给定一个区间[]3,2++a a 。

（1）若()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 都有意义，求实数a 的取值范围；
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（2）讨论()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 上是否是“接近”的两个函数。

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【试题答案】
1-5 DCDBD 6-10 BACAC
11.
10
3 12. －1 13.
7
1 14.
432-，()Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+2,πππ 15.
3
16. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-22,
1 17. 解：（1）∵向量OB OA 和长度为1，夹角为
3
2π
∴||||OB OA OB OA =⋅2
1
32cos
-=π。

（2分） ∵点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=
3π，∴OC OB OC OA ⋅=⋅2
1=。

（3分） ∴OA OA OC OA OA OB OC OB OA OC OA OB AC AB ⋅+--⋅-⋅=-⋅-=⋅)()(
2
3
1212121=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。

（6分） 18. 解：（1）()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
-⋅=23cos 3cos sin 2x x x a x f b + b x a b x x a +⎪⎭⎫
⎝⎛-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯-=32sin 2322cos 132sin 21π（3分）
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函数()x f 的最小正周期ππ
==
2
2T 。

（4分） 当132sin ±=⎪⎭⎫
⎝
⎛-
πx 时，得到对称轴方程，即2
32π
ππ+=-k x ， ∴函数()x f 的图像的对称轴方程：()Z k k x ∈+
=
12
52π
π；（6分） （2）()b x a x f +⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=32sin π， ∵⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈2,
0πx ，∴[]π,02∈x ，∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-
32,332πππ
x ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
-1,2332sin πx 。

（7分）
∵0>a ，
∴函数()x f 的最小值是22
3
-=+-
b a ，最大值3=+b a 。

（9分） 解得-==3,2b a 2。

（10分）
19. 解：（1）∵16tan tan =βα，∴βαβαcos cos 16sin sin = ∵()()ββααcos 4,sin ,sin ,cos 4==b a
∴
β
α
βαcos 4sin sin cos 4=，∴∥。

（2分）
（2）∵c b a 2-与垂直，∴()
022=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，
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即：()0sin sin 4cos cos 42cos sin 4sin cos 4=--+βαβαβαβα，（4分） ∴()()0cos 8sin 4=+-+βαβα，∴()2tan =+βα；（6分） （3）∵()ββββsin 4cos 4,cos sin -+=+c b ∴||c b +()()2
2
2sin 4cos 4cos sin ββββ-++=
βββ2sin 1517cos sin 3017-=-=（9分）
∴当12sin -=β时，241517||max =+=+；（10分）
卷（II ）
1-3 DCC 4. ]1,3
2
(
5. 14，π
6. －1
7. 解：（I ）()m b a --=-3,3，由()b a a -⊥得()
=-⋅b a a 0 即()0333=---m ，故4-=m ；
（II ）由b a k +()43,2---=k k ，()1,3=-b a
当b a b a k -+与平行时，()()04332=----k k ，从而1-=k 。

8. 解：（1）要使()x f 1与()x f 2有意义，则有a x a a a x a x 3100
3>⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≠>>->-且 要使()x f 1与()x f 2在[]3,2++a a 上有意义，等价于真数的最小值大于0
实用文档 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+10100320
31a a a a a a a 且
（2）()()()()[]a x a x x f x f a --=-3log |||21|， 令()()1||21≤-x f x f ，
得()()[]13log 1≤--≤-a x a x a 。

（*）
因为10<<a ，所以[]3,2++a a 在直线a x 2=的右侧。

所以()()()[]a x a x x g a --=3log 在[]3,2++a a 上为减函数。

所以()()()()()()a a g x g a a g x g a a 44log 2,69log 3max min -=+=-=+=。

于是()()⎪⎩
⎪⎨⎧<<-≥-≤-10169log 144log a a a a a ，∴125790-≤<a 。

所以当⎥⎦⎤ ⎝⎛
-∈12579,
0a 时，()x f 1与()x f 2是接近的； 当()∞+⋃⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈,11,
1257
9a 上是非接近的。