二叉树期权定价模型

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一份看涨期权
一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格 为$ 21. Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock price = $20 Option Price=? Stock Price = $18 Option Price = $0
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S ƒ
Su ƒu Sd ƒd
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最初例子的修正
Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0
• 由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 • 或者，我们可以利用公式
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构造无风险资产组合
• 考虑一个资产组合: 持有 ∆ 份股票 成为一份看涨期权的空头
22∆ – 1
18∆
• 当 22∆ – 1 = 18∆ or ∆ = 0.25，资产 组合是无风险的
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资产组合的估值
( 无风险利率为 12% )
• 无风险组合为: 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 • 三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 • 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
ƒu − fd ∆ = Su − Sd
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推广到一般情形
(continued)
• 组合在时刻 T的价值为 Su ∆ – ƒu • 组合在时刻0的价值为 (Su ∆ – ƒu )e–rT • 组合在时刻0 的价值又可以表达 为S∆–f • 从而 ƒ = S ∆ – (Su ∆ – ƒu )e–rT
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两步二叉树模型
24.2 22 20 18 16.2 • 每步长为3个月
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19.8
欧式看涨期权的估值
D
22 20 1.2823
A
B
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
2.0257 18 0.0
C
E
• 在节点 B的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 • 在节点 A的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823
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1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
二叉树模型可分为以下几种方法： 二叉树模型可分为以下几种方法： （一）单步二叉树模型 1.无套利定价法 1.无套利定价法 2.风险中性定价法 2.风险中性定价法 3.风险中性定价法 3.风险中性定价法 （二）证券价格的树型结构 （三）倒推定价法 6.一般定价过程 6.一般定价过程 4.证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构 5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例 二叉树方法的一般定价过程－
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1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
无套利定价法： 无套利定价法：
构造投资组合包括 ∆ 当 Su ∆ − u = Sd ∆ − fd
此时 ∆ =
fu − fd Su − Sd
参数
e r∆t = pu + (1 − p )d
假设证券价格遵循几何布朗运动， 假设证券价格遵循几何布朗运动，则：S 2σ 2 ∆t = pS 2u 2 + (1 − p) S 2 d 2 − S 2 [ pu + (1 − p)d ]2 σ 2 ∆t = pu 2 + (1 − p ) d 2 − [ pu + (1 − p ) d ]2 再设定： 第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox Ross和 Cox、 再设定： u = 1/ d （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 Rubinstein所用的条件 所用的条件） Rubinstein所用的条件）
推广到一般情形
• 一个依赖于股票的衍生证券，到期时间 为T Su ƒu Sd ƒd
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S ƒ
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推广到一般情形
(continued) • 考虑一个组合：持有∆份股票，成为一份衍生证券的空头
Su∆ – ƒu Sd∆ – ƒd • 当 ∆满足下面的条件时，组合为无风险： Su∆ – ƒu = Sd ∆ – ƒd or
1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
一般而言， 时刻， 一般而言，在 i∆t 时刻，证券价格有i + 1 其中
j = 0,1,⋯⋯ , i
种可能，它们可用符号表示为： 种可能，它们可用符号表示为： Su j d i − j
注意： 注意：由于 u =
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1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 使得许多结点是重合的
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推广到一般情形
(continued)
• 于是，我们得到
ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT
其中
p =
e
− d u − d
rT
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RiskRisk-Neutral Valuation
• ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT • 变量 p和 (1 – p ) 可以解释为股票价格上升和下降的 风险中性概率 • 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值
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1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
假设把一期权有效期划分成N个长度为 ∆t 的小区间，同时用 Su j d i − j 的小区间， 假设把一期权有效期划分成N 处的证券价格可得： 表示结点 (i, j ) 处的证券价格可得： f N，j = max( X − Su j d N − j , 0) 其中 j = 0,1,⋯⋯ , N 假定期权不被提前执行， 假定期权不被提前执行，∆t 后，则： fij = e− r∆t [ pfi +1, j +1 + (1 − p) fi +1, j ]
1.二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ∆t 并假设在每一个时间间隔 内证券 ∆t 价格只有两种运动的可能： 价格只有两种运动的可能：
，
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 。 如图5.1所示。 5.1所示 其中 u > 1 d < 1.如图5.1所示。价格上升的概率假设为 1− p 。
f ij (0 ≤ i ≤ N ,0 ≤ j ≤ i )
时第j个结点处的欧式看跌期权的价值） （表示在时间 i∆t 时第j个结点处的欧式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性， 若有提前执行的可能性，则：ij = max{ X − Su j d i − j , e− r∆t [ pfi +1, j +1 + (1 − p) fi +1, j ]} f
；
p ，下降的概率假设为
相应地，期权价值也会有所不同， 相应地，期权价值也会有所不同，分 别为 fu 和 fd 。
图5.1
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∆t 时间内资产价格的变动
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1.二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型
二叉树模型实际上是 在用大量离散的小幅 度二值运动来模拟连 续的资产价格运动
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1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
在风险中性世界里： 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 值满足条件： 值满足条件： Se r∆t = pSu + (1 − p ) Sd
由以上三式可得， 由以上三式可得，当
∆t
e r∆t − d 很小时： 很小时： p = u−d
− r ∆t
u = eσ
∆t
d = e −σ
∆t
从而 f = e
pf u + (1 − p ) f d
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。 2012-1-4 陕西科技大学理学院 23
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Baidu Nhomakorabea
F
一个看跌期权的例子： 一个看跌期权的例子：X＝52
D
60 50 4.1923
A
72 0 48 4 32 20
B E
1.4147 40
C
9.4636
F
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美式期权该如何估值？ 美式期权该如何估值？
D
60 50 5.0894
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期权的估值
• 资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 • 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) • 从而，期权的价格为 • 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
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e rT − d e 0.12 × 0.25 − 0 . 9 p= = = 0 . 6523 1. 1 − 0 . 9 u −d
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期权的估值
Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0
期权的价值为 e–0.12×0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] = 0.633
A
72 0 48 4 32 20
B E
1.4147 40
C
12.0
F
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5.6 二叉树定价模型
1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2.1 2.2 2.3 2.4 3 3.1 3.2 3.3 3.4 2012-1-4
二叉树期权定价模型 二叉树模型的基本方法 基本二叉树方法的扩展 构造树图的其他方法和思路 二叉树定价模型的深入理解 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟的基本过程 蒙特卡罗模拟的技术实现 减少方差的技巧 蒙特卡罗模拟的理解和应用 有限差分方法 隐性有限差分法 显性有限差分法 有限差分方法的比较分析和改进 有限差分方法的应用 陕西科技大学理学院 熟悉 熟悉 了解 了解 18 熟悉 熟悉 了解 了解 熟悉 熟悉 了解 熟悉
份股票多头和1 份股票多头和1份看涨期权空头 则组合为无风险组合
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现， 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S ∆ − f = ( Su∆ − fu ) e− r∆t
将 ∆=
fu − f d Su − Sd
代入上式就可得到： 代入上式就可得到：
f = e − r∆t pf u + (1 − p ) f d e r∆t − d 其中 p = u − d
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1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型的基本方法
得到每个结点的资产价格之后， 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推 定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权， 如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 ∆t 时 贴现求出每一结点上的期权价值； 间长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上， 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻 时间，到下一个时刻再执行期权， 提前执行期权和继续再持有 ∆t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其 中较大者作为本结点的期权价值。 中较大者作为本结点的期权价值。
第五章 5.6二叉树定价模型介绍
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一个简单的二叉树模型
• 股票的现价为 $20 • 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18
Stock Price = $22 Stock price = $20 Stock Price = $18
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