(整理)9广义积分习题课.

第九章 广义积分习题课
一、主要内容 1、基本概念
无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。

2、敛散性判别法
Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。

3、广义积分的计算
4、广义积分与数项级数的关系
5、广义积分敛散性的判别原则和程序
包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。

2、Cauchy 法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：
1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子
下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。

注意判别法使用的顺序。

例1 判断广义积分⎰+∞+=0q
p x x dx
I 的敛散性。

分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。

解、记⎰+=101q
p x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dx
I
对1I ，先讨论简单情形。

q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=1
1)
1(p
q p x x dx
I ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。

0>p 时，由于 1)
1(1
lim 0
=+-→+p q p p
x x x x
因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1<p 时收敛，1≥p 时发散。

因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。

上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}1³
时发散。

对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则⎰+∞
-+=1
2)
1(q
p q x x dx
I ，由于 1)
1(1
lim =+-+∞
→q p q q
x x x x
因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。

此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。

上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1£
时发散。

综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。

或者为：min{p,q}<1<max{p,q}时收敛，其余时发散。

例2 讨论21
sin()m
x x I dx x +∞
+=⎰的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。

分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。

注意验证积分片段有界性时的配因子方法。

解：先分析绝对收敛性，由于
1s i n ()
1|
|m m
x x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。

当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性，
2222A 2221111|sin()||(1)sin()|11
1 |sin()()|A A A x dx x dx x x x x
x d x dx M
x x
x +=-++≤+++≤⎰⎰⎰⎰
由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。

由于
2111s i n ()2s i n ()1c o s 2()
2||m m m
x x x x x x x x x ++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+⎰收敛，21m dx x +∞⎰发散，因而，21
|sin()|m x x dx x
+∞
+⎰发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。

注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。

注、不能将积分分成如下两部分
21
s i n ()m
x x I d x x +∞+=⎰＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+⎰⎰， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。

例3 讨论dx x
x I m ⎰+∞+=0)
1ln(的敛散性。

分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +→和x →+∞时的性质，进行阶的比较。

解、记dx x x I m ⎰+=101)1ln(，dx x x I m
⎰+∞+=12)
1ln(。

对1I ， 由于
1)
1ln(lim 1
=+-→+m
m x x x x ， 故，当11m -
<，即2m <时，1I 收敛；当2≥m 时，1I 发散。

对2I ， 利用已知的结论：0)
1ln(lim
, 0=+>∀+∞→εεx
x x ，则 ⎩
⎨
⎧≥∞+<==++∞→m p m p l x x x m p
x , , 0)
1ln(lim ， 当1>m 时，取p 使得m p <<1，则 0)
1l n (lim =++∞
→m
p
x x
x x 故2I 收敛。

当1≤m 时，取1=p ，则
+∞=++∞
→m
x x
x x
)
1ln(lim 故2I 发散。

因而，当21<<m 时，I 收敛；21≥≤m m 或时I 发散。

例4 讨论sin 0
sin 2x e x
I
dx x
l +?
=
ò
的敛散性，其中0l >。

分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel 判别法或Dirichlet 判别法。

解：记 dx x x e I x ⎰=1
0sin 12sin λ， dx x x
e I x ⎰∞+=1sin 22sin λ
对1I ，当2 i.e , 11<<-λλ时，
e x
x
e x
x x 22s i n lim sin 1
=-→+λ
λ 故，1I 收敛。

由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。

当2 i.e , 11≥≥-λλ时，
e x x
e x
x x 22s i n lim sin 1
=-→+λ
λ 故，1I 发散。

对2I ，由于
λ
λx
e
x x e x ≤2sin sin ， 故当1>λ时，2I （绝对）收敛。

当10≤<λ时，由于，对任意1>A ，
222s i n s i n
1s i n
1
s i n ≤=⎰
⎰
d t t
e dx x e A t A
x
且 当+∞→x 时，λx
1
单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，2I 收敛。

又，此时
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=≥≥---λλλλλx x x e x x e x x e x x e x 4c o s 122s i n 2s i n 2s i n 1211s i n 且⎰⎰
∞∞
＋＋发散，11
4cos 1
dx x x dx x λλ收敛，因此，λλx
e dx x x e x
≤⎰∞+2sin sin 1发散。

因而，当10≤<λ时，2I 条件收敛。

综上，条件收敛时绝对收敛；时，I I ,1021≤<≤<λλ；发散。

时，I 2≥λ
例5 讨论⎰+∞
=0
sin dx x x I q p 的敛散性，其中p 、q 非负。

分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子q x sin ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。

处理技巧是先易后难。

解、先考虑最简情形：0=q 时的情形。

记⎰=1
1)(dx x p I p
，⎰+∞
=1
2)(dx x p I p ，此时，)(1p I 、)(2p I 分别是无界函数
和无穷限广义积分，因此，1->p 时，)(1p I 收敛；1-≤p 时， )(1p I 发散；而对2I ，1-<p 时)(2p I 时收敛，1-≥p 时)(2p I 发散，故0=q 时，I 发散。

当0≠q 时，令q x t =，q
q
p -+=
1α，则 t d t t
q
I q
q
p s i n 1
1⎰
∞
+-+=
＝
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+⎰⎰+∞110sin sin 1tdt t tdt t q α
α 对⎰=1
01sin tdt t I α
，由于 1sin lim 10=+→+ααt
t
t t ，故1I 与dt t ⎰+101α同时敛散。

因而，
2 , 1)1(-><+-ααie 时，1I （绝对）收敛；2-≤α时，1I 发散。

对⎰+∞
=1
2sin tdt t I α，由于ααt t t ≤sin ，故，1-<α时，2I 绝对收敛；当
01<≤-α时，由Dirichlet 判别法，2I （条件）收敛。

当0≥α时，利用周期函数的积分性质，则
⎰⎰
=≥+π
π
ππ
α0
222sin sin tdt tdt t n n
因而，由Cauchy 收敛准则，2I 发散。

综上：0=q 时，I 发散；0≠q 时， 01
1<+<
q
p －时，I 绝对收敛； 110<+≤
q p 时，I 条件收敛； q
p 1
1+≤ 时，I 发散。

注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。

注、也可以用配因子法处理。

下述的例子用阶的分析法。

例6 讨论dx x x I ⎰
∞+-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=0
31
1)sin 1(的敛散性。

分析 首先将积分分段处理，记dx x x I ⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=-1
031
11)sin 1( ，
dx x x I ⎰
∞
+-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=1
31
21)sin 1(。

从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。

对1I ，分析奇点附近被积函数的阶。

由于
)(!
31s i n , )(!3sin 223
3x o x x x x o x x x +-=+-=， 因而，1
2
33sin (1)x x x
---:，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。

对2I ，对被积函数作阶的分析，由于x 充分大时sin 1x
x
<<，因此，利
用函数展开理论得
)(01)1(2x x x ++=+αα , )1,1(-∈x ，
由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。

解、记dx x x I ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--
=-1
03111)sin 1( ，dx x x I ⎰∞+-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=131
21)sin 1(。

对1I ，利用L ’Hosptial 法则，
20
sin 11lim 6x x
x x +
®-=， 因而，
211
3
3
30
s i n 1l i m (1)()6
x x
x x
+
-
-®-=
，故，
1I 收敛。

对2I 由于
)1( , 1sin ><x x
x
，则
)sin (0sin 311)sin 1(2231
x
x x x x x +=---
其中 2
22
)sin (
0x
C
x x ≤，因而221
sin )x o dx x
¥
ò
＋（收敛，又由于⎰+∞
1sin dx x x 条件
收敛，故2I 条件收敛。

因此，I 条件收敛。

注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。

例7 dx x
x x I ⎰∞
++=11
cos
ln )1
sin 1ln(βα （0>α）。

分析：这是无穷限广义积分，分析+∞→x 时被积函数的性质，此时 01
sin →αx
，故
αααx
x x 1
~1sin ~)1sin 1ln(+，
又 )1
(2111cos 32x
o x x +-=，故
)1(
211ln(1cos
ln 3
2
x o x x +-
=21
~x
所以
21~1cos
ln )1sin
1ln(-++βαβ
α
x x
x x ，证明过程就是验证上述函数关系。

解、由于
x
x x x x x x x x x 1
c o s ln 11)
1
sin 1ln(lim |1cos ln |)1sin 1ln(lim 22-+=+⋅+∞→-++∞→α
αβαβα
2c o s
ln lim 1cos
ln 1
lim
2
02=-=-=→+∞→t t x
x t x
因而，I 与广义积分⎰
+∞
-+1
2
1dx x βα同时敛散。

故3>+βα时，I 收敛；3≤+βα时，I 发散。

下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。

例8 证明：设)(x f 、),[)(+∞a x g 在上连续，)(x g 单调且0)(12>≥≥C x g C ， 则⎰
+∞a
dx x f )(与⎰
+∞
a
dx x g x f )()(同时敛散。

证明：若⎰+∞
a
dx x f )(收敛，由Abel 判别法，⎰
+∞a
dx x g x f )()(收敛。

若⎰
+∞a
dx x g x f )()(收敛，则
⎰
+∞
a
dx x f )(＝⎰
+∞
a
dx x g x g x f )
(1
)
()( 仍有)
(1
x g 单调且
01)(1121>≥≥C x g C ，由Abel 判别法，则⎰+∞a dx x f )(收敛。

注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。

即在讨论广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。

下面，通过一个例子，说明例8的作用。

例9 讨论dx x x
x I q
p ⎰∞
++=1
1sin )0(≥q 的敛散性。

解、由于
q
q
p q p x
x x x x x --+=+11sin 1sin , 由于 q x -+11 非负单调且21
111≥+≥-q x ，因此，利用例8的结论，其与dx
x x p
q ⎰+∞-1sin 同时敛散。

因而，1>-p q 时绝对收敛；10≤-<p q 时条件收敛；0≤-p q 时
发散。

下面一个结论与例8具有类似的思想。

例10 设函数f （x ）、g （x ）、h （x ）定义在[,)a +?上且对任意有限的实数A>a ，它们都在[a, A]上可积，证明：若
()()
()f x g x h x ＃且广义积分
⎰
+∞
a
dx x f )(、
()a
h x dx +?
ò
都收敛，则()a
g x dx +?ò
也收敛。

分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。

证明：由所给的关系式，则
0()()()(g x f x h x f x ??，
由条件和广义积分性质，则
(()())a
h x f x dx +?
-ò
收敛，由比较判别法，则
(()())a
g x f x dx +?
-ò
收敛，由于()()()()g x g x f x f x =-+，再次利
用积分性质，则
()a
g x dx +?
ò
收敛。

注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一思想。

注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。

下面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。

例11 设f(x)>0且单调递减，证明⎰
+∞a
dx x f )(与2()sin a
f x xdx +∞
⎰
同时敛散。

证明：因为f(x)>0且单调递减，故lim ()x f x →+∞
存在。

若lim ()x f x →+∞
＝0，则由Dirichlet 判别法，()cos 2a
f x xdx +∞
⎰
收敛。

由于
22
()sin a f x xdx +∞
⎰＝⎰
+∞
a
dx x f )(－()cos 2a
f x xdx +∞⎰
故，⎰
+∞a
dx x f )(与2()sin a
f x xdx +∞
⎰
同时敛散。

若lim ()x f x →+∞
＝b>0，此时⎰+∞a
dx x f )(发散。

由极限定义，存在A>a ，使得x>A
时，
()02
b
f x >
> 故，取n 充分大，使得 222
4
A n A n A π
π
ππ'''=+>=+
>，则
21
()s i n 8
A A f x x d x
b π''
'
≥⎰
， 故，2()sin a
f x xdx +∞⎰
发散。

因而，此时二者同时发散。

下面的例子用上述结论很容易处理。

例12 讨论2sin sin p x
I dx x x
+∞=+⎰的敛散性。

解、由于
2
s i n s i n s i n
s i n (s i n )
p
p
p p
x
x x x x
x x x x =-++ 对12
sin p x
I dx x
+∞
=⎰
，已知p>0时收敛，0p ≤时发散。

为讨论222
sin (sin )
p p x
I dx x x x +∞
=+⎰
的敛散性，注意到
2222
2
22sin sin sin sin 2sin 2(1)(sin )(1)p p p p p p p p
x x x x x x x x x x x x x x
≤≤≤≤++-
故，222
sin (sin )p p x
I dx x x x +∞
=+⎰
与2
22sin p
x dx x +∞⎰同时敛散，由例11，又与221p dx x +∞⎰同
时敛散，即12p >
时收敛，1
2p ≤时发散。

故，2sin sin p x I dx x x +∞=+⎰当12p >时收敛，1
2
p ≤
时发散。

注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。

事实上，和2sin p
x
dx x +∞
⎰
作对比可以发现，分母上增加因子sinx ，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围变小。

这也反映了广义积分敛散性的复杂性。

注、例12也表明了因子sinx 的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义积分的敛散性。

也可以通过与例9的结论对比发现这些差异，例9中，分母为
1~q q x x +，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx 起到了影响敛散性的
作用。

例13 若⎰+∞a
dx x f )(收敛，)(x f 在),[+∞a 单调，则)1
()(x
o x f =)(+∞→x ，
即
lim ()0x xf x ?
?
=。

分析 要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为（)+∞→x ，
即要控制当x 充分大时的xf （x ），而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy 收敛准则，因此，建立二者的桥梁为Cauchy 收敛准则。

因此，证明的关键就是如何从Cauchy 片段
()A A f t dt
ⅱ
¢
ò
中分离出xf （x ），因此，必须通过选择与x 有关的,A A ⅱ?达到目的，特别注意f （x ）可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然要通过积分限产生。

证明：设)(x f 单调递减，由⎰
+∞a
dx x f )(收敛，则0)(≥x f 。

由Cauchy 收敛
准则，存在充分大00>A ，使得对任意012A A A >>，成立
2
1
()A A f t dt e <ò
，
对任意02A x >，取 2
, 12x
A x A =
=，则
2
()x
x f t dt e <ò
，
利用函数的单调性，则，
ε2)(<x xf ，
故，0)(lim =+∞
→x xf x 。

类例：若⎰1
)(dx x f 收敛，+∞==→)(lim 0x f x ，则0)(lim =+∞
→x xf x 。

注、此结论比讲义中的结论更强。

注、作为最简单的广义积分――p －积分，揭示了广义积分收敛的本质，即+∞→x 时，被积函数趋于0的速度高于一阶时，广义积分收敛。

本题说明：在一定的条件下，上述条件还是必要的。

注、更进一步还有:若
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，)(x xf 单调递减，则
0ln )(lim =+∞
→x x xf x 。

事实上，对充分大的x ，由Cauchy 收敛准则，
⎰⎰⎰
=≥=>x x
x x x
x x x xf dt t x xf dt t t tf dt t f ln )(2
1
1)(1)()(ε。

结论说明，此时f （x ）趋于0的速度比1
ln x x
趋于0的速度还大。

注、成立更一般的结论：设 )(x f 在(0,1]单调，且1
()p x f x dx ò
收敛，
则
1
lim ()0p x x f x +
+®=。

例14 设若)(x f 在),[+∞a 上有连续导数且)(x f 单调递减趋于0（+∞→x ），
证明⎰
+∞
a
dx x f )(收敛的充要条件是⎰+∞
'a
dx x f x )(收敛。

分析 从要证明的结论看，建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法，即
()()|
()A
A A a
a
a
f x dx xf x xf x dx ¢=-
蝌。

从此关系式看，要证明结论关
键是解决极限
lim ()x xf x ?
?
的存在性。

证明：必要性。

若⎰
+∞a
dx x f )(收敛，则由例13，
0)(lim =+∞
→x xf x ，
因而，
⎰⎰
⎰
+∞
--→-='A a
a
A
a
A
a dx x f a af dx x f x xf dx x f x )()()(|)()(，
故，⎰+∞'a
dx x f x )(收敛。

充分性。

由于0)(lim =+∞
→x f x ，下面利用⎰+∞
'a dx x f x )(的收敛性研究极限
lim ()x xf x ?
?
的存在性，由于
()()(
())(
())x x
x
x f x x f t d t
x
f t d t
x f t d t
+?
?
?
ⅱ?=
=-=-蝌
? ⎰
⎰
+∞
+∞
'=
'-≤x
x
dt t f t dt t f t )())((
由⎰+∞'a
dx x f x )(收敛，则0)(lim =+∞
→x xf x 。

又，同样成立
⎰⎰
-='A
a
A
a
A
a dx x f x xf dx x f x )(|)()(，
因而
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛。

注、证明过程中，用到了结论：若
()a
f x dx +?
ò
收敛，则
lim
()0A A
f x dx +?
??
=ò。

事实上，记
()a
f x dx +?
ò
＝I ，则
l i m ()l i m [
()]
A A A A
a
f x dx I f x dx +?
?
ギ
+?
=
-=蝌。

例15 证明：若)(x f 在),[+∞a 上有连续导数且⎰+∞
a
dx x f )(、⎰
+∞
'a
dx x f )(都收
敛，则0)(lim =+∞
→x f x
证明：由收敛性定义，对任意a A >，
⎰
+∞
'a
dx x f )(＝)]()([lim )(lim
a f A f dx x f A
a
A A -='⎰
+∞
→+∞→
因而，)(lim x f A +∞
→存在，又⎰
+∞a
dx x f )(收敛，则必有0)(lim =+∞
→x f x 。

注、也可以用Cauchy 收敛准则证明。

但本题采用定义证明更简单，因此既要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。

注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立，必须增加一定的条件才能保证其成立。

例16 证明：若非负函数)(x f 在),1[+∞单调减少，则⎰
+∞1
)(dx x f 与数项级数
∑∞
=1
)(n n f 同时敛散。

分析 本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是形式统一法，将积分转化为和式即⎰+∞
1
)(dx x f ∑⎰
∞
=+=1
1
)(n n n
dx x f ，由此看出，命题
的证明实际就是比较 ⎰
+1
)()(n n
dx x f n f 与的关系。

证明：由于0)(≥x f 且)(x f 在),1[+∞单调减少，故 ]1,[ , )1()()(+∈+≥≥n n x n f x f n f 因而
⎰⎰
⎰
++++=+≥≥=11
1
)1()1()()()(n n
n n
n n
n f dx n f dx x f dx n f n f
故 ，
∑⎰
∑=++=≥≥n
k n n k k f dx x f k f 1
1
1
1
2)()()(，
因而，
⎰
+∞
1
)(dx x f 与数项级数∑∞
=1
)(n n f 同时敛散。

例17设)(x f 在任意有限区间],[A a 上可积且0)(lim =+∞
→x f x ，
A dx x f n
a
n =⎰
+∞→)(lim
，证明：
⎰
+∞
a
dx x f )(＝A 。

分析 从条件和结论很发现证明的思路。

证明：由0)(lim =+∞
→x f x 和A dx x f n
a
n =⎰
+∞→)(lim
，则对任意0>ε，存在0>N ，
使得当 N n N x >>和时，
εε<-<⎰n
a A dx x f x f )( , |)(|
对任意1+>N M ，存在n N >，使得1n M
n ?+，故
⎰
⎰⎰⎰
-+-=
-M
a
n
a
n
a
M
a
A d x x f d x x f d x x f A d x x f )()()()(
ε
εε2)()(|)(|≤+-≤-+≤⎰⎰n M A dx x f dx x f M
n
n
a
故，⎰
+∞
a
dx x f )(＝A 。

下面给出几个广义积分的计算题目。

关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L 公式、分部积分、极限运算。

技巧是选择合适的变量代换。

例18 （Frullani 积分）证明：若),0[)(+∞∈C x f 且对任意0>A ，广义积分
⎰
+∞
A
dx x x f )(收敛，则 a
b
f dx x bx f ax f I ln )0()()(0=-=⎰+∞
分析 解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用变量代换。

事实上，已知的是积分形式
⎰
+∞
A
dx x
x f )
(，待计算的量是形式0
()()
f ax f bx dx x
+?
-ò
，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未
知的量联系起来。

证明：对任意的0>ε，则
dt t t f dx x ax f a ax t ⎰⎰+∞=+∞
=εε)
()(；
同样，dt t
t f dx x bx f b bx t ⎰⎰+∞=+∞=εε)()
(。

因而，
dx x
x f dx x bx f ax f I b a ⎰⎰++→+∞→=-=εεεεε)
(lim )()(lim 00
利用积分中值定理， ⎰
==+→ε
εεξb a a b
f dx x f I ln )0(1)(lim 0。

例19 证明：dt ab t f a dx x b ax f a
)4(1)(0
2⎰
⎰+∞
+∞
+=+，
其中 0,0>>b a ，积分有意义。

分析 从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择一个合适的变换，使得ab t x
b
ax 42+=+
，从这一关系式中可以发现，变换不
唯一。

证明：令t x b ax =-
，则 ab t x
b
ax 42+=+ 且dt ab
t ab t t a dx ab t t a x 4421 ),4(21222
+++=++=
，故 dt ab
t ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(220
2
++++=+⎰
⎰∞
+∞+∞-
dt ab
t ab t t ab t f a 44)4(][212202
0+++++=
⎰⎰∞-∞+， 又
=
++++⎰
∞
-dt ab
t ab t t ab t f 0
2
22
44)
4(dt ab
t t ab t ab t f ⎰
∞
++-++0
2
22
44)
4(，
由此可证明命题。

注、也可以取b ax t x -=
，此时1
(2x t a
=
+。

例20 计算⎰
+∞+=0
2
1ln dx x
x
I 。

分析 这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的变量代换，在两个积分段之间寻找连续。

解、由于⎰⎰
+-=+=
∞
+1021
1
21ln 1ln dx x x dx x x
x
t ，而二者都收敛，故， ⎰⎰+∞+++=12102
1ln 1ln dx x x dx x x I ＝0。

例21 证明⎰
+∞
++=0
2)
1)(1(1
dx x x I α )0(>α与α无关。

证明：由于⎰⎰
++=++=
∞
+1
0211
2)1)(1()
1)(1(1
dt t t t dx x x x
t αα
α
因而 ⎰⎰⎰+∞+=+++++=110221
0211)1)(1(1)
1)(1(1dt t dx x x dx x x I αα 故其与α无关。

下面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。

例22 设)(x f 在（0，1]单调，x=0为其奇点，广义积分1
0()f x dx ⎰收敛，证
明：
1
()f x dx ⎰
＝1
1lim ()n n k k f n n →+∞=∑。

分析 与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。

证明: 设)(x f 在（0，1]单调递增，则
1
11()()()k
k n n k k n n
k
f x dx f f x dx n n +-≤≤⎰
⎰,
因而，利用1
()f x dx ⎰的收敛性，则
1
()f x dx ⎰
＝1
1111111
()()()(1)k n
n n n k k k k n
k k f x dx f f f n n n
n n --===≤=+∑∑∑⎰
1
1
111
11
()(1)()(1)k n n k k n
n
f x dx f f x dx f n n +-=≤+
=+∑⎰
⎰， 由此，命题得证。

注、由此可得
1
10
1ln ln 1lim lim lim n
k k
xdx n n
n n n e e
e e =-→+∞→+∞
→+∞
∑
⎰====
即：!~n n n e n -。

例23 设对任意A>0，f(x)[0,]R A ∈且lim ()x f x a →+∞
=，证明：
l i m
()tx t t e f x dx a +∞
-→=⎰。

分析 题目中所给的定量条件只有lim ()x f x a →+∞
=，为了利用这个条件，仍然
可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于
00
l i m
(())0tx t t e f x a dx +∞
-→-=⎰， 为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究
0(()
)A
tx t e f x a dx --⎰、 (())(())tx y A tA y
t e f x a dx e f a dt t
+∞+∞---=-⎰⎰ 的极限行为。

证明：因为lim ()x f x a →+∞
=，故存在M>0,使得x>M 时，|()|1f x a -<；又
f(x)[0,1]R M ∈+，因而，f(x)有界C 。

注意到 0
1tx t e dx +∞-=⎰，故只需证明0
lim |()|0tx t t e f x a dx +∞
-→-=⎰。

由于对任意0ε>，存在A>0，使得x>A 时 |()|f x a ε-<，故 0|()|tx
t e
f x a dx +∞
--=⎰0
|()|A
tx
t e
f x a dx --⎰＋|()|tx A
t e f x a dx +∞
--⎰
()()(1)()(1)A
tx
tx tA
x A
tA
C a t e dx te dx C a e e dx
C a e εεε
+∞
+∞
-----≤++≤+-+≤+-+⎰⎰⎰ 由于 10 ,( t 0)tA e --→→，故，存在0,0t δδ>∍<<时，|1|tA e C a
ε
--<
+，因而
0|()|2tx t e f x a dx ε+∞
--<⎰
故，0
lim |()|0tx t t e f x a dx +∞
-→-=⎰。

下面是一些判断题。

22、判断下列命题是否成立。

1）、设)(x f 在任意区间],[A a 上可积，若对任意的0>ε、0>B ，存在0A ，使得对任意的0A A >，都成立
ε<⎰
+B
A A
dx x f )(，则⎰
+∞
a
dx x f )(收敛。

解：错。

正确理解Cauchy 收敛准则。

反例。

如dx x
⎰
+∞1
1
，则 对任意的0>B 都有 0)1l n (1→+=⎰
+A
B dx x B
A A
，+∞→A 但dx x
⎰
+∞
1
1
发散。

2）、设)(x f 在任意区间],[A a 上可积，若⎰+∞
a
dx x xf )(收敛，则⎰+∞
a
dx x f )(
收敛。

解、正确。

利用)(1
)(x xf x
x f =
和Abel 判别法即可。

3）、若存在+∞→n x 使得∑⎰
∞
=+1
1)(n x x n n
dx x f 发散，则⎰
+∞
a
dx x f )(发散。

解、正确。

事实上，⎰
+∞
a
dx x f )(收敛充要条件为对任意的+∞→n x ，
∑⎰
∞
=+1
1
)(n x x n n
dx x f 收敛。

证明：若⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，+∞→n x ，则由于
⎰
n
x a
dx x f )(＝⎰1
)(x a
dx x f ＋∑⎰
=n
k x x nk k
dx x f 1
1
)(
故∑⎰
∞
=+1
1
)(n x x n n
dx x f 收敛。

反之，若⎰
+∞
a
dx x f )(发散，则存在00>ε和n n
A A +∞→''+∞→' , ，使得 0)(ε>⎰
'''n
n
A A dx x f
取⎩⎨⎧+=''='=12 , 2 , k n A k n A x n
n
n ，则+∞→n x 且
01
)(ε>⎰
+n n
x x dx x f ，故
∑⎰
∞
=+1
1
)(n x x n n
dx x f 发散。

4）、设⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，下列条件能否保证0)(lim =+∞
→x f x 。

1、)(x f 在),[+∞a 连续、恒正。

2、C x f x =+∞
→)(lim 存在。

3、)(x f 单调。

4、)(x f 在),[+∞a 一致连续。

5、)(x f 在),[+∞a 连续可导。

6、)(x f 在),[+∞a 上有连续的导数。

7、)(x f 在),[+∞a 可导且⎰+∞'a
dx x f )(收敛。

解、1、不能。

反例：如⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧
+-∈≤=+-∉=]1,1[ 14,3,2 , 11,1[ , 0)(2222k k k k x x k k k k x x f ，非负连续且
则
2
221
11
)1(1)1(2
)1(11)()()(2
2
k
k k dx x f dx x f dx x f k k
k k k
k k k ≤++≤
+=⎰
⎰
⎰
++
++-
+ 故
∑⎰
∞
=+1
1
)(n n n
dx x f 收敛，因而
⎰
+∞
1
)(dx x f 收敛，但0)(lim ,1)(≠=+∞
→x f n f x 。

2、可以。

若0≠C ，不妨设0>C ，则存在00>A ，使得0A x >时，2
)(C
x f >，
因而对任意10+>A A ，⎰
+-->
A A A A C
dx x f 1
00)1(2
)(，与⎰+∞a dx x f )(收敛矛盾。

3、4、6、可以。

可以转化为2。

5、不可以。

可以通过例1的光滑化。

7、可以。

因为⎰-='x
a a f x f dx x f )()()(，故C x f x =+∞
→)(lim 存在。

5）、若⎰
-+∞→A
A
A dx x f |)(|lim 存在，则⎰
+∞
∞
-dx x f )(收敛。

解、正确。

此时，由于⎰⎰-≤A
A
A
dx x f dx x f 0
|)(||)(|故
⎰
+∞
|)(|dx x f 收敛。

同样，⎰∞-0
|)(|dx x f 收敛。

6）、若)(x f 为偶函数，⎰
-+∞→A
A
A dx x f )(lim
存在，则⎰
+∞
∞
-dx x f )(收敛。

解、正确。

此时，⎰⎰-=A A
A
dx x f dx x f 0
)(21)(。