公平分配问题数学建模
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公平分配问题-数学建模
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公平分配问题
摘要
公平分配问题是生活中常遇到的问题。对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。我们需要另寻其他方法。
我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。即：使得各自的分配最公平。
关键词：公平分配最佳方案最公平
班级：
姓名：
学号：
问题重述
三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。分别应得收入10.3, 6.3, 3.4 元。因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。即分别收入10元，6元，4元。由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。于是甲提议重新分配收入。21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。回答下列问题：
（1）上分配方案是否公平？为什么？
（2）建立数学模型确定分配方案．
符号说明
A、B 某人
p
A搬运的货物数量
1
p
B搬运的货物数
2
量
n1搬运p
数量的
1货物的报酬
n2搬运p
数量的
2货物的报酬
P 衡量不公平程度
r A(n1,n2) 相对于A的不公平值
r B(n1,n2) 相对B的不公平值
Q
k对应的人的
K
报酬的Q值
Q
甲对应的Q值
1
的大小
Q
乙对应的Q值
2
的大小
Q
丙对应的Q
3
值得大小
基本假设
假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。
模型设计
先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。
A 、
B 分配报酬情况
某人
搬运货物
报酬
每件的报酬
A
p 1
n
1
n p
1
1
B
p 2
n
2
n
p 2
2
要满足公平，应该有
n
p n
p 2
2
1
1
=
但这一般不成立。注意到等是不成立时，有
若
n p n p 2
2
1
1
>
，则对A 不公平；
若n
p n
p 2
2
1
1
<，则对B 不公平；
因此，可以考虑用算式p=︱
n
p n
p
2
2
1
1
=
∣来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不
足之处（绝对数的特点），如果个人的搬运件数和报酬为
n 1
=n
2
=10,
p 1=120，
p 2
=100，算得p=2；另两人的搬运件数和报酬为n 1
=n
2
=10,
p 1
=1020，p 2
=1000，
算得p=2.虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种情况公平。
下面采用先对标准对公式给予改进，定义劳动报酬的相对不公平标准公式如下.
若
n
p n
p 2
2
1
1
>
，定义
r A
(n 1
,n 2
)=n
p n
p n p 2
2
2
21
1-
为对A 的相对不公平值。
若n
p n
p 2
2
1
1
<，定义
r B
(n 1
,n
2
)=n
p n p n p 1
1
1
12
2-
为对B 的相对比公平值。
由定义知，对某人的不公平值越小，该人在报酬分配中越有利，因此，可以用不公平只尽量笑得分配方案来减分配中得不公平。
下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案。 设A 的搬运件数为
p 1
，所得报酬为n
1
，B 的搬运件数为
p 2
，所得报酬为n
2
。
再增加一元报酬，分别分配给A 、B ，有如下不公平值
r B
(n 1
+1,n
2
)=1
1-n p
n p n p 1
11
1
2
2
++=n p p n 2
1
2
1
1）（+-1
r A
(n 1
, n 2
+1)=
1
1-n p
n p n p 2
22
2
1
1
++=n p n 1
2
1
2
)1(p +-1 用不公平值的公式来决定报酬的分配。对于新的报酬分配，若有
r B
(n
1
+1,
n
2
)＜
r A
(n 1
,n
2
+1)
则增加的报酬应给A ，此时对不等式
r B
(n
1
+1,
n
2
)＜
r A
(n 1
,n
2
+1)进行简化，