捕食被捕食三种群系统平衡点稳定性的分析

生态学是研究生物的生存条件 , 生物群与环境 之间相互作用及其规律的科学 . 种群生态学是生态 学的一个重要分支. 研究单种群、 两种群相互作用数 学模型的文献颇多, 成果颇丰 , 但是对 3 种群的研究 相对比较少[ 1~ 3] . 本文从具有捕食被捕食关系 3 种 群之间相互作用的数学模型出发 , 讨论了模型平衡 点的稳定性.
捕食被捕食三种群系统平衡点稳定性的分析
林 琳, 雒志学
730070 ) ( 兰州交通大学 数理与软件工程学院 , 甘肃 兰州
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摘
要 : 根据 3 种群间的相互作用 , 建立了 3 个不同的具有捕食被捕食关系的数学 模型 . 利 用微分方 程稳定性理 论
研究了 3 种群模型边界平衡点的稳定性 , 同时分别采用 3 种不同方 法获得了 3 模型正平衡点的稳定的条件 . 关键词 : 食饵 捕食者 ; 平衡点 ; 稳定性 中图分类号 : O 175. 1 文献标识码 : A
情形 Ⅱ 两个捕食者种群 x 2 , x 3 , 一个食饵种 群 x 1 . 此系统中 x 1 为食饵种群, 无密度制约, 有其它 资源供应. x 2 与 x 3 为捕食者 , 且都具有密度制约 . 如 图 2 所示. 其相应的数学模型为 x 1 = x 1 ( a10 - a12 x 2 - a13 x 3 ) x 2 = x 2 (- a20 + a 21 x 1 - a 22 x 2 ) x 3 = x 3 (- a30 + a 31 x 1 - a 33 x 3 ) ( 2)
模型( 1) 的平衡点稳定性分析 x 1 = x 1 ( a10 - a11 x 1 - a13 x 3 ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 )
a10 a 23 - a13 a20 , x* 1 = a11 a 23 a30 a 11 a23 + a13 a 31 a20 - a31 a10 a23 x* 2 = , a32 a 11 a23 x* 3 = a20 a23
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其中, a ij ( i = 1, 2, 3; j = 0 , 1, 2 , 3) 为正常数 . 情形 Ⅲ 食物链, 此系统中种群 x 2 主要依靠 种群 x 1 为生, 种群 x 3 主要依靠种群 x 2 为生, x 1 , x 2 , x 3 分别具有密度制约. 如图 3 所示. 其相应的数学模 型为 x 1 = x 1 ( a10 - a11 x 1 - a12 x 2 ) x 2 = x 2 (- a20 + a 21 x 1 - a 22 x 2 - a 23 x 3 ) x 3 = x 3 (- a30 + a 32 x 2 - a 33 x 3 ) ( 3)
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且当 a 10 a23 - a13 a20 > 0, a30 a 11 a23 + a13 a31 a 20 a31 a10 a 23 > 0 时 , 还可以得到一个正平衡点 p 5 ( x 1 , x 2 , x 3 ) 其中 ,
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图3 Fig. 3
食物链 Food chain
2
2. 1
平衡点稳定性的分析
收稿日期 : 2006 09 13 基金项目 : 国家自然科学基金 ( 604730304) ; 兰州交通大学 青蓝 人才工程基金资助计划资助 ( Q L 05 18A ) 作者简介 : 林 琳 ( 1983 ) , 女, 山西运城人 , 硕士研究生 .
第1期
林
琳等 : 捕食被捕食三 种群系统平衡点稳定性的分析
a 20 a12 + a22 a 10 a10 , ,0 a 12 a21 a12 且当 a 10 a21 a33 + a 13 a21 a30 - a 13 a20 a31 > 0, a 12 a20 a31 + a10 a22 a 31 - a 12 a21 a30 > 0 时 , 还可得到一个正平衡点 * * p4 (x* 1 , x 2 , x 3 ) , 其中, * a10 a 22 a33 + a13 a22 a30 + a12 a20 a33 x1 = , a12 a21 a 33 + a13 a22 a3 1 a10 a 21 a33 + a13 a21 a30 - a13 a20 a31 x* 2 = , a12 a21 a 33 + a13 a22 a3 1 a10 a 22 a31 - a12 a21 a30 + a12 a20 a31 x* 3 = , a12 a21 a 33 + a13 a22 a3 1 p3 类似于模型 ( 1) 平衡点稳定性的判断可得 1) 点 p 1 ( 0, 0 , 0) 是不稳定平衡点. 2) 当 a10 a21 a 33 + a13 a 21 a30 < a10 a31 a 33 + a20 a13 a 31 , a 21 ( a10 a33 + a30 a13 ) < a20 a 13 a31 时, 点 a 20 a 10 p2 , 0, 是稳定平衡点. a 21 a 13 3) 当 a31 ( a 20 a21 + a22 a 10 ) < a21 a30 a 12 时 , 点 a 20 a12 + a22 a 10 a10 p3 , , 0 是稳定平衡点. a 12 a21 a12
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f ( x 1 , x 2, x 3) = 0 取 当a a - a a 的边界平衡点
10 31 11 30
g( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 h( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 0 可得到系统 ( 1) 的 4 个有意义
图2
两个捕食者和一个食饵
p 1 ( 0, 0 , 0) , p 2 p4
x 1 = x 1 ( a10 - a11 x 1 - a13 x 3 ) x 2 = x 2 ( a20 - a23 x 3 ) x 3 = x 3 (- a30 + a 31 x 1 + a 32 x 2 ) 其中, a ij ( i = 1, 2, 3; j = 0 , 1, 2 , 3) 为正常数 . ( 1)
a10 a30 a20 , 0, 0 , p 3 0, , , a11 a32 a23
Fig. 2 Two predators and one prey
其中 , aij ( i = 1, 2, 3; j = 0, 1 , 2, 3 ) 为正常数.
a 30 a 10 a31 - a11 a 30 , 0, a 31 a13 a31
第 26 卷 第 1 期 2007 年 2 月
兰 州 交 通 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )
J ou rnal of Lanzh ou J iaot ong U niversit y ( N at ural S ciences)
V ol. 26 N o. 1 Feb. 2007
文章编号 : 1001 4373( 2007) 01 0142 04
a13 a 20 a31 + a11 a 23 a30 > a 10 a23 a31 ,
a10 a 31 < a11 a3 0 时 , 有 p < 0 , 且 q < 0, 从而点 p4 a30 a10 a31 - a 11 a30 , 0, 是稳定平衡点 . a31 a13 a31
* * 5) 对系统 ( 1) 的 正平衡点 p 5 ( x * 1 , x2 , x3 ) 的
将 f , g , h 在点 p 0 ( x 10 , x 20 , x 30 ) 展开为 T aylo r 级数,
令 x 2 = x 2 ( a20 - a23 x 3 ) = g( x 1 , x 2 , x 3 )
略去二次及二次以上的高阶项, 系统 ( 1) 变为 x 3 = x 3 (- a30 + a31 x 1 + a32 x 2 ) = h( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 = f x 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 1 - x 10 ) + f x 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 2 - x 20 ) + f x 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 3 - x 30 ) x 2 = g x 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 1 - x 10 ) + g x 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 2 - x 20 ) + g x 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 3 - x 30 ) x 3 = hx 1 ( x 1 0 , x 20 , x 30 ) ( x 1 - x 10 ) + hx 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 2 - x 20 ) + hx 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) ( x 3 - x 30 ) 引进记号 p = f x 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) + g x 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) + hx 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) , f x 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) f x 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) f x 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) q= 经计算 , 有 1) 对于点 p 1 ( 0 , 0, 0 ) , 有 f + x1 f x1 g + x2 f x2 g x2 h x2 h x3 f x3 g = - a10 a20 a30 , x3 h x3 g x 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) hx 1 ( x 10 , x 20 , x 30 ) g x 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) hx 2 ( x 10 , x 20 , x 30 ) g x 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) . h x 3 ( x 10 , x 20 , x 30 ) 0, 即 a 20 a11 + a 10 a31 < ( a 10 + a30 ) a11 , a10 a 31 > a30 a11 时 , 有 p < 0, 且 q < 0, 从而点 p 2 衡点. 3) 对于点 p 3 0,
23 10 31 11 30 a20 - a (a a - a a ) , a13 a31
故当 - a10 + a20 - a30 +
a11 a30 a10 a31 - a11 a30 a31 a13
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兰 州交通 大学学 报( 自然科 学版)
第 26 卷
故当 a20 0, 即
a23 ( a10 a31 - a11 a30 ) a10 a31 - a11 a31 > 0, < 13 31 a a a13
a 30 a 10 a31 - a11 a 30 , 0, , 可得到 a 31 a13 a31
a10 a 31 a10 a31 , q = - a10 a20 - a30 + , a11 a11 a10 a31 a 10 a31 < 0, - a30 + > a11 a11
a11 a30 a23 ( a 10 a31 - a11 a 30 ) a 20 , a13 a31 a31
1
数学模型的建立
3 种群相互作用比 2 种群的相互作用复杂一些 ,
图1 Fig. 1 一个捕食者和两个食饵 One predator and two preys
但是构造数学模型的规律基本相同. 根据 3 种群之 间两两关系不同的各种组合 , 就会产生种类繁多的 数学模型 . 3 个种群的每一种关系对应一个 数学模 型. 为了叙述方便, 用图形的方法来表示 3 种群之间 的关系. 3 种群分别记为 A , B, C, 为了描述它们之间 的关系, 作以下约定 :
故当 a10 + a20 - a30 < 0 时, 有 p < 0, 且 q < 0, 从而 点 p 1 ( 0, 0, 0 ) 是稳定平衡点. 2) 对于点 p 2 a30 + a10 , 0, 0 , 有 p = - a 10 + a20 a11
0, 且 q < 0 , 从而点 p 3 0, 4) 对于点 p 4 p =q=
稳定性进行判断 . 定理 1 当 a10 a23 - a 13 a20 > 0 , a30 a 11 a23 + a13 a 31 a20 - a31 a10 a 23 > 0 时 , 系统 ( 1) 的正平衡 点
* * 3 p 5( x * 1 , x 2 , x 3 ) 在域 R+ 内全局渐近稳定的.
1Fra Baidu bibliotek 20 p = a 10 - a a , q = a22
a10 , 0, 0 是稳定平 a11
p =
p
= a10 + a 20 - a30 ,
1
a30 a 20 , , 同理可得 a32 a 23 a10 a 13 a20 a20 a30 , a23
q=
g x1 h x1
故当 a10 -
a13 a20 < 0, 即 a13 a20 < a10 a23 时, 有 p < a23 a30 a 20 , 是稳定平衡点. a32 a 23
令 3 种 群 的 密 度 函 数 分 别 为 x 1 ( t) , x 2 ( t ) , x 3 ( t ) , 根据 3 种群间的相互作用 , 建立了 3 个不同的 数学模型 . 情形 Ⅰ 一个捕食者种群 x 3 , 两个食饵种群 x 1 , x 2 . 此系统中 x 1 与 x 2 间无任何关系 ; x 1 有其它 资源供应及密度制约 ; x 2 仅有其它资源供应而无密 度制约. 如图 1 所示 . 其相应的数学模型为