知识讲解-空间直角坐标系-基础

空间直角坐标系

【学习目标】

通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.

【要点梳理】

要点一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.

2.右手直角坐标系

—

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.

要点二、空间直角坐标系中点的坐标

1.空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.

特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

）

2.空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有

点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；

点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；

点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；

点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；

点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；

.

点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；

点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.

要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离

222121212||()()()d AB x x y y z z ==-+-+-.

特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为222OA x y z =

++. 。

2.空间线段中点坐标

空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 【典型例题】

类型一：空间坐标系

例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。

【答案】11,0,2E ⎛

⎫ ⎪⎝⎭，11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】 法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，点E 在xOy 面上的投影为B （1，0，0），

[

∵点E 竖坐标为12，∴11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝

⎭。 F 在xOy 面上的投影为BD 的中点G ，竖坐标为1，

∴11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 法二：如解法一所建立空间直角坐标系，

∵B 1（1，0，1），D 1（0，1，1），B （1，0，0）

E 为BB 1的中点，

F 为B 1D 1的中点，

∴E 的坐标为1100101,,1,0,2222+++⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， >

F 的坐标为10011111,,,,122222+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 点评：本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。由于正方体的棱AB ，AD ，AA 1互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。点的各个坐标分量就是

这个点在各个坐标轴上的投影在相应坐标轴上的坐标。

举一反三：

【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．

【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），

B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，1

2）。

例2．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：

（1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）；

~

（2）关于x轴的对称点是P＂（x，－y）；

（3）关于y轴的对称点是P'''（－x，y）．

那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：

①关于原点的对称点是P1________；

②关于横轴（x轴）的对称点是P2________；

③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________；

④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________；

：

⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________；

⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________；

⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________．

【答案】①（－x，－y，－z）②（x，－y，－z）③（－x，y，－z）④（－x，－y，z）

⑤（x，y，－z）⑥（－x，y，z）⑦（x，－y，z）

【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下

结论：①P1（－x，－y，－z）；②P2（x，－y，－z）；③P3（－x，y，－z）；④P4（－x，－y，z）；⑤P5（x，y，－z）；⑥P6（－x，y，z）；⑦P7（x，－y，z）．

>

【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标．

上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．举一反三：

【变式1】（2015春福建厦门期末）在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（）

A．（―1，2，3）B．（―1，―2，3）C．（1，2，―3）D．（1，―2，―3）

【答案】C

【解析】空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为

1(,,)

P a b c ；由题

意可得：点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标是（1，2，―3）．

故选：C．

?

【总结升华】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记