初高衔接3:韦达定理

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初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理

一元二次方程02

=++c bx ax 如果有两根1x ,2x ,则有根与系数的关系

a b x x -=+21,a

c

x x =21

我们称此为一元二次方程的韦达定理,在初中是通过求根公式证明的,现在给出另外更通用的证明方式.因为1x ,2x 是方程的两根,所以

21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++

对比两边的系数即得韦达定理.韦达定理给出了在不解出两根的情况下,两根和

与两根积的表达,在高中数学中占有非常重要的地位.

例1. 已知a ,b 是方程0142

=++x x 的两根,求下列各式的值: (1)2

2

b a +,3

3b a +; (2)

b a 11+,b

a a

b +; (3)b a - .

分析与解 一元二次方程的判别式为正,由韦达定理知

4=+b a ,1=ab .

于是(1)中:

142)(222=-+=+ab b a b a , 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .

(2)中:

411=+=+ab

b a b a , 142

2=+=+ab

b a b a a b . (3)因为

ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-,

所以32=-b a .

注 事实上,所有关于a ,b 的对称式(即交换a ,b 的顺序后,式子不变)都可以用b a +,ab 表示出来.

例2 .已知α,β是方程012

=--x x 的两根,写出一个以

α

1

β

1

为两根的一元二次方程,并求βα86

+的值.

分析与解 由韦达定理知

1=+βα,1-=⋅βα,

所以

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+1

1

1111β

α

αβ

βαβα,

从而以α1

,β

1

为两根的一元二次方程为

01)1(2=---x x ,

即012

=-+x x .

由韦达定理知αβ-=1,代入知

ααβα88866-+=+.

下面来写6

α:

因为α是方程的解,所以有αα+=12

,从而

24)1(αα+=

)1(21αα+++= α32+=

所以有

426ααα⋅=

)32)(1(αα++= )1(352αα+++=

58+=α

从而有1386=+βα. 注 事实上,令x

t 1

=,整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1,β1为两根

的一元二次方程.

一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去,我们处理较多的是一元三次方程,如果)0(023

≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ,2x ,3x ,那么

d cx bx ax +++23

))()((321x x x x x x a ---=

3213231212

3213

)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理

⎪⎪

⎪⎨⎧

-==++-=++a d x x x a c x x x x x x a

b x x x 3

213

23121321

例3. 设α,β,γ是三次方程0133

=+-x x 的三个根.

(1)以

α

1

β1,γ1

为根的三次方程是______________; (2)以

β

α

1

1

+

γ

β

1

1

+

α

γ

1

1

+

为根的三次方程是______________.

分析与解 由三次方程的韦达定理知

⎪⎩

⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅

=++=⋅+⋅+⋅=++=

++.

11

110111111,

3111γ

βα

αβγ

γ

βααγγββααβγ

αβ

αγβγγβα,

所以以

α

1

β1,γ

1

为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x

即0132

3

=+-x x . (2)先计算三根和有

)11()11

(

)1

1

(

α

γγβ

β

α

+++++

)11

1

(2γ

β

α

++

=

6=

因为

21

1

γγ

γ

αββαβ

α

=--=+=

+

,

所以我们知道这三根就是2

α,2

β,2

γ,从而三根积为1)(2

=αβγ.

最后计算222222

αγγββα

++的值.

先介绍一个三项的完全平方式

ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.

从而有

222222αγγββα++

)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=

9=

综上知所求的三次方程为01962

3

=-+-x x x .

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