初高衔接3：韦达定理
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初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理
一元二次方程02
=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系
a b x x -=+21，a
c
x x =21
我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以
21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++
对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和
与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．
例1. 已知a ，b 是方程0142
=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)2
2
b a +，3
3b a +； (2)
b a 11+，b
a a
b +； (3)b a - ．
分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知
4=+b a ，1=ab .
于是(1)中：
142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .
(2)中：
411=+=+ab
b a b a ， 142
2=+=+ab
b a b a a b . (3)因为
ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，
所以32=-b a ．
注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．
例2 .已知α，β是方程012
=--x x 的两根，写出一个以
α
1
，
β
1
为两根的一元二次方程，并求βα86
+的值．
分析与解 由韦达定理知
1=+βα，1-=⋅βα，
所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+1
1
1111β
α
αβ
βαβα，
从而以α1
，β
1
为两根的一元二次方程为
01)1(2=---x x ,
即012
=-+x x ．
由韦达定理知αβ-=1，代入知
ααβα88866-+=+.
下面来写6
α：
因为α是方程的解，所以有αα+=12
，从而
24)1(αα+=
)1(21αα+++= α32+=
所以有
426ααα⋅=
)32)(1(αα++= )1(352αα+++=
58+=α
从而有1386=+βα． 注 事实上，令x
t 1
=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根
的一元二次方程．
一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023
≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么
有
d cx bx ax +++23
))()((321x x x x x x a ---=
3213231212
3213
)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-==++-=++a d x x x a c x x x x x x a
b x x x 3
213
23121321
例3. 设α，β，γ是三次方程0133
=+-x x 的三个根．
(1)以
α
1
，
β1，γ1
为根的三次方程是______________； (2)以
β
α
1
1
+
，
γ
β
1
1
+
，
α
γ
1
1
+
为根的三次方程是______________．
分析与解 由三次方程的韦达定理知
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅
=++=⋅+⋅+⋅=++=
++.
11
110111111,
3111γ
βα
αβγ
γ
βααγγββααβγ
αβ
αγβγγβα，
所以以
α
1
，
β1，γ
1
为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x
即0132
3
=+-x x ． (2)先计算三根和有
)11()11
(
)1
1
(
α
γγβ
β
α
+++++
)11
1
(2γ
β
α
++
=
6=
因为
21
1
γγ
γ
αββαβ
α
=--=+=
+
,
所以我们知道这三根就是2
α，2
β，2
γ，从而三根积为1)(2
=αβγ．
最后计算222222
αγγββα
++的值．
先介绍一个三项的完全平方式
ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.
从而有
222222αγγββα++
)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=
9=
综上知所求的三次方程为01962
3
=-+-x x x ．