(完整版)平面向量的线性运算

A

B

a

b

b

a

a a O =−→

−OB

A B O B a a

b

b

=−→

−OB a +b A

B

A

a +b

向量的线性运算（一）

1.向量的加法

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：→

--AB −→

−+BC =→

--AC ．

规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．

【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

作法：在平面内任意取一点O ，作→

--OA =a →--→--OB =→--OA +→

--AB a +b

2.向量的加法法则

（1）共线向量的加法：

同向向量反向向量

（2）不共线向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：→

--AB −→

−+BC

=→

--AC ．

平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形

ABCD ，则以A 为起点的对角线→

--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法

的平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→

−AC 叫做a

与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→

−AC

【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量

不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.

（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加

3.向量加法的运算律

（1）向量加法的交换律：a +b =b +a

（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→

−CD c 则

(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→

−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行

例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．

例题：

例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：

（1）−→

−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→

−FE

例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水

a

a

a

b b

b

a +b

a +

b A

B

C A

B

C

D

三角形法则

平行四边形法则

的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：设−→

−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→

−AB 表示水流的速度，以AD ,

AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→

−AC 就是船实际航行的速度,在ABC Rt ∆

中，2||=−→

−AB ，32||=−→

−BC ，所以4||||||22

=+=−→

−−→

−−→−BC AB AC 。 因为32

3

2tan ==

∠CAB 60=∠⇒CBA 例 3 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23−→

−AB a =，−→−BC =b ，−→

−AC =c ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。

例 4 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东45，大小为2

例5 在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡般的速度为h km /25，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 【举一反三】

若渡般以h km /25的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？

习题：

1.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度。

2.一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。

3.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v

4.一艘船以5h km /的速度在行驶，同时河水的流速为2h km /，则船的实际航行速度大小最大是

h km /，最小是h km /.

B C

A