(完整版)平面向量的线性运算

A
B
a
b
b
a
a a O =−→
−OB
A B O B a a
b
b
=−→
−OB a +b A
B
A
a +b
向量的线性运算（一）
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→
--AB −→
−+BC =→
--AC ．
规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点O ，作→
--OA =a →--→--OB =→--OA +→
--AB a +b
2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法：
同向向量反向向量
（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：→
--AB −→
−+BC
=→
--AC ．
平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形
ABCD ，则以A 为起点的对角线→
--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法
的平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→
−AC 叫做a
与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→
−AC
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量
不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律：a +b =b +a
（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→
−CD c 则
(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→
−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．
例题：
例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）−→
−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→
−FE
例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水
a
a
a
b b
b
a +b
a +
b A
B
C A
B
C
D
三角形法则
平行四边形法则
的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：设−→
−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→
−AB 表示水流的速度，以AD ,
AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→
−AC 就是船实际航行的速度,在ABC Rt ∆
中，2||=−→
−AB ，32||=−→
−BC ，所以4||||||22
=+=−→
−−→
−−→−BC AB AC 。

因为32
3
2tan ==
∠CAB 60=∠⇒CBA 例 3 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23−→
−AB a =，−→−BC =b ，−→
−AC =c ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。

例 4 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东45，大小为2
例5 在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡般的速度为h km /25，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 【举一反三】
若渡般以h km /25的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
习题：
1.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度。

2.一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。

3.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v
4.一艘船以5h km /的速度在行驶，同时河水的流速为2h km /，则船的实际航行速度大小最大是
h km /，最小是h km /.
B C
A
a
b
a
O
A
b
a -b
a
O
A
b
a
b
D
a b a b
a
b
3.向量的减法
向量的减法是向量加法的逆运算。

1.向量减法的定义
若b +→
x =a ，则向量→
x 叫做a 与b 的差，记为a -b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.表示：a -b =a +（-b ）
2.向量减法的法则
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a -b 的作图方法 【思考】：已知a ,b ，怎样求作a -b ？
a
（1）三角形法则：已知，在平面内任取一点O ，作=−→
−OA a ，=−→
−OB b ，则
=−→
−BA a →
-b ．
即a -b 可以表示为从b （减向量）的终点，指向a （被减向量）的终点的向量．(强调：a ，b 同起点时，a -b 是连结a ，b 的终点，并指向“被减向量a ”的向量．)
（2）平行四边形法：在平面内任取一点O ，作=−→
−OA a ，-=−→
−OB b ，则由向量加法的平行四边形法则可得=−→
−BA −→
−−→
−
【思考】：从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么？（ b -a ）
【探究】：如右图，a ∥b 时，怎样作出a -b 呢？
例题
例1 如图所示，已知向量a ，b 不共线，求作向量a -b
【思考】：你能画图说明a -b =a +（-b ）吗？
a
b
例2 如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点， 若=−→
−AB a ，=−→
−DA b ,=−→
−OC c ，试证明：b +c -a =−→
−OA
例3 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 例4 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+． 证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。

（2）当a ，b 均不为零向量时：
①a 与b 共线，即//a b 。

当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当a ，b 反
向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．
②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，-−→
−|||AB <−→
−|||BC −→−AC +<−→−||AB ||−→
−BC ，则有
||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+
其中：当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+，
当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+．
【思考】：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？
A
b D
C
B
a b +a
a b
向量的线性运算（二）
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下： （1）||||||a a λλ=；
（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；
当0λ= 时，0a λ=．（请学生自己解释其几何意义） 实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘
2．实数与向量的积的运算律：
（1）()()a a λμλμ=（结合律）； ① （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ②
（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）． ③
3.定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b
=λa ．
例题
例1 已知向量a 和向量b ，求作向量5.2-a 和向量2a -3b 。

例2 计算：
（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )
【举一反三】
1.计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； （3）(23)(32)a b c a b c +---+．
解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-．
例3. 当Z ∈λ时，验证：λ(a +b )=λa +λb
证：当λ=0时，左边=0•(a +b )=0 右边=0•a +0•b
=0 分配律成立当λ为正整数
时，令λ=n , 则有：
n (a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )=a +a +…+a +b +b +b +…+b =n a +n b
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n (a +b )=n [-(a +b )]=n [(-a )+(-b
)] =n (-a )+n (-b )=-n a +(-n b )=-n a -n b
,分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa +λb
恒成立
例4 如图所示，E D ,分别为ABC ∆的边AB
和AC 中点，求证：→
--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→
--BC 线性表示。

例5 判断下列各题中的向量是否共线： （1）21245a e e =-
，121
10
b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线． 解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．
当0a ≠时，b
=1e -
1012e =4(411e -522e 4
1
)=a ，∴b 与a 共线．
（2）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线． 当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=
∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-
若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线．若1λ≠-时，22
1b a λλ
-=
+， ∴b 与a 共线．。