条件最值问题的几种基本解法

条件最值问题的几种基本解法

条件最值是最值问题中的一种常见题型，这类问题可以较好考查学生的数学应用能力。分析和解决条件最值问题的思路和方法多种多样，笔者认为方法不宜分太细，学生只要掌握其中最基本的几种就行了，在应用中可以以不变应万变。笔者在实践中归纳出了这类问题的几种基本解法：

一、构造函数法

利用所给条件，将所求式转化成关于某个自变量的函数形式，再利用求函数在给定区间上最值的方法来解题，这种方法就是笔者所说的函数构造法。函数构造法又分为直接构造法和间接构造法两种。

(一)直接构造法又称代入消元法，直接将条件式简单变形后代入所求式，使之转化成关于某个自变量的函数形式再来求解，这种方法主要适用于条件式的次数不高于所求式的次数的题型。

例1:若，求的最小值。

解：由得，所以

，从而的最小值为-45。

变式：若，求的最小值。

（注意字母的取值范围，如变式中

,所以。）

(二)间接构造法又称参数法，在不容易直接代入的情况下根据条件式的特征及常见曲线参数方程的形式引入一个新的参数，将所

求式转化成关于新参数的函数，再利用函数的性质求解问题的方法。

例2:若求的最大值。

解：由可令

所以=，则的最大值是

变式1若求的最大值。（）

变式2若求的最小值

（令，则=

=，其中，所以的最小值为）

参数法主要适用于条件式为两个平方式之和为1（或其它正数），求一次或二次代数式最值的问题，（条件为两式之和等于一个正数的情况也可以使用），通常会涉及到三角函数的化简及最值的求解问题。

练习1：若试分别用两种方法求的最大值。（4）

二、方程与不等式法

题目中出现两个齐次式，特别是两个字母的和或者积式且其中一个为等式，求另一个式子的最值时，常通过根与系数的关系将问题转化成方程根的分布问题，或者利用放缩法将问题变成解不等式或应用均值不等式的问题，利用均值不等式时必须注意“一正，二定，三相等”的条件限制，特别是要验证等号能否成立。

例3:已知正数满足，求的最小值。

分析：条件和结论都是齐次式，可考虑用均值不等式。

解：因为正数满足，所以

（当且仅当正数同时满足和，即时等号成立。）

别解一，考虑到条件中，也可用参数法

令

别解二：正数满足

，所以

（……）

（得出关于y的函数后也可用求导判断单调性的方法来求解。）

三、数形结合法

华罗庚先生说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合本就是一种重要的数学思想，条件最值问题有时可以借助几何图形来处理。数形结合法求条件最值的前提条件是对常见代数式或方程对应的几何图形比较熟悉，非常了解基本几何图形的定义与性质。

例4:圆有动点，求的最小值。

解：方法一:参数法（类似例2）

方法二:令，可变形为，

由条件可知这组斜率为1的直线与圆有公共点，其中是这组直线纵截距的相反数，问题变为求截距的最大值。

显然，直线与圆相切且截距为正时所求式子的值最小，利用点到直线的距离公式列方程计算可得结果。

例5:（2002 北京）已知p是直线上的动点，pa、pb是圆的两

条切线，a、b是切点，c是圆心，那么四边形pacb面积的最小值为________.

分析：如图，ac⊥pa，bc⊥pb，

=2

到此，问题转化成求c点与直线上的动点p的连线段长的最小值，易知，pc与所给定直线垂直时可得最小值，利用点到直线的距离公式计算即可。（也可设出点p的坐标，用直接构造函数法求解。）使用数形结合法求条件最值时一定要注意准确判断条件所对应的几何图形，并能通过直接定义或者转化法清楚所求式的几何意义。

练习2:如图，已知定点a(1,1),p是焦点为f的抛物线上的一个动点，求的最小值。

根据抛物线的定义，将|pf|转化为点p到准线的距离|pm|，这时，只要m,p,a三点共线即可求得的最小值，只需过点a作准线的垂线。

，

拓展1：一个左焦点为f的椭圆上有动点p，又有点a(1,1)，求的最小值。（利用椭圆的第二定义先将所求式转化为椭圆上的动点到左准线与椭圆内的顶点a的距离之和，再利用点到直线之间垂线段最短可求得结果为5。）

拓展2：椭圆上有动点p，椭圆的左，右焦点分别为,又有点

a(1,1)，分别求的最小值与最大值。（利用椭圆的第一定义先将所

求式进行转化，

，从而得出所求式的最值。）

从不同的角度思考条件最值问题，就会有不同的处理方法，但万变不离其宗，函数、方程与不等式及数形结合思想是最基本也是很重要的思维方向，到底使用何种方法解题更简洁，这在很大程度上受所给条件与所求式子形式上的限制，还有解题者对基本知识的理解与掌握程度。所以，熟练基础，认真分析题目的情景，选用合适的方法才是解题的关键。

参考文献

[1] 2009广州市教研室编《高中毕业班数学备考指南》.