2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业26

课时作业(二十六)
1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π
2]的值域是 ( )
A ．(－32，12]
B ．[－12，3
2] C ．[12，32] D ．[－32，－1
2]
答案 B
解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，3
2]．
2．(2012·山东)函数y ＝2sin(πx 6－π
3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A
解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π
3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.
3．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π
6)的值域为 ( )
A ．[－2,2]
B ．[－3，3]
C ．[－1,1]
D ．[－32，3
2]
答案 B
解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．
4．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是
( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[0,2]
D ．[0,1]
答案 B
解析 当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0，时y ＝0.
5．如果|x |≤π
4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是 ( )
A.
2－12
B ．－2＋12
C ．－1 D.
1－22
答案 D
解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－2
2时，有最小值，y min ＝24－22＝1－2
2.
6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π
3－2x )的最大值是 ( )
A ．6＋53
2 B ．17 C ．1
3 D ．12
答案 C
解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π
3－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π
6)
＝13sin(2x ＋π6＋φ)(φ＝arctan 5
12)，故选C.
7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2x
cos x sin x －sin 2x 的最小值是
( )
A.14
B.12 C ．2 D ．4
答案 D 解析 f (x )＝
1
－tan 2x ＋tan x
＝
1－(tan x －12)2＋14
，
当tan x ＝1
2时，f (x )的最小值为4，故选D. 8．已知f (x )＝sin x ＋1
sin x ，下列结论正确的是
( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
答案 B
解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1
t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1
y －1，由sin x ∈(0,1]
也可求出，故选B.
9．函数y ＝sin x ＋3cos x 在区间[0，π
2]上的最小值为______． 答案 1
解析 y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π
2]． ∴x ＋π3∈[π3，5π6]，∴y min ＝2sin 5π6＝1.
10．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－1
4，则α的取值范围是________．
答案 (－23π，2π
3]
解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－1
4，根据函数的对称性x ∈(－23π，2π3]．
11．(2011·上海理)函数y ＝sin(π2＋x )cos(π
6－x )的最大值为________． 答案
2＋3
4
12．函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π
2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．
答案 [－1，2]
解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π
2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．
2sin(2x－π
4)＝m有解．
∵x∈[0，π
2]，2x－
π
4∈[－
π
4，
3π
4]，
∴2sin(2x－π
4)∈[－1，2]．
13．函数y＝
1
sin2x＋
2
cos2x的最小值是________．
答案3＋2 2
解析y＝
1
sin2x＋
2
cos2x＝
sin2x＋cos2x
sin2x＋
2sin2x＋2cos2x
cos2x＝3＋
cos2x
sin2x＋
2sin2x
cos2x≥3
＋22，
∴y min＝3＋2 2.
14．(2013·东城区)已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x＋a，且f(π
6)＝4.
(1)求a的值；
(2)当－π
4≤x≤
π
3时，求函数f(x)的值域．
答案(1)a＝1(2)[2－3，4]
解析(1)由f(π
6)＝4，可得
2×(
3
2)
2＋23×
1
2×
3
2＋a＝4.
∴a＝1.
(2)f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x＋1 ＝cos2x＋3sin2x＋2
＝2sin(2x＋π
6)＋2，
∵－π
4≤x≤
π
3，∴－
π
3≤2x＋
π
6≤
5π
6.
∴－
3
2≤sin(2x＋
π
6)≤1.
∴2－3≤f(x)≤4.
∴函数f(x)的值域为[2－3，4]．
15．(2012·四川文)已知函数f (x )＝cos 2x
2－sin x 2cos x 2－1
2. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝32
10，求sin2α的值．
解析 (1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－1
2 ＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos(x ＋π4
)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为[－22，22]． (2)由(1)知，f (α)＝22cos(α＋π4)＝32
10， 所以cos(α＋π4)＝3
5.
所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π
4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝7
25.
16．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π
2)的部分图像如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π
3]上的最大值，并确定此时x 的值．
答案 (1)f (x )＝2sin(32x ＋π
4) (2)x ＝π
4时，g (x )max ＝4 解析 (1)由图知A ＝2，
T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.
又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π
4＋φ)＝0， ∴sin(φ－π
4)＝0.
∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π
4. ∴φ－π4＝0，即φ＝π4.
∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π
4)． (2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π
4] ＝2sin(32x ＋π
8)，
∴g (x )＝[f (x －π12)]2
＝4×1－cos (3x ＋π
4)
2
＝2－2cos(3x ＋π
4)．
∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π
4. ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π
4时，g (x )max ＝4.
17．(2012·山东理)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A
2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π
12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π
24]上的值域．
解析 (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A
2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．
因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π
6)．
将函数y ＝f (x )的图像向左平移π
12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π
3)的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π
3)的图像．
因此g (x )＝6sin(4x ＋π
3)．
因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π
6]． 故g (x )在[0，5π
24]上的值域为[－3,6]．
18．(2012·重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1
f (x ＋π6)
的值域．
解析 (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2π
ω＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π
6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z . 又由－π<φ≤π，得φ＝π
6.
故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π
6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin (2x ＋π2)
＝6cos 4x ＋cos 2x －2
2cos2x
＝(2cos2x－1)(3cos2x＋2)
2(2cos2x－1)
＝
3
2cos
2x＋1(cos2x≠1
2)．
因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠1
2，故g(x)的值域为[1，
7
4)∪(
7
4，
5
2]．
1．已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)cos(πx＋θ)在x＝3时取得最小值，则θ的一个值可以是()
A．－π
2B．－π4
C.π
4 D.
π
2
答案 B
解析∵f(x)＝1
2sin(2πx＋2θ)，
∴f(3)＝1
2sin(6π＋2θ)＝
1
2sin2θ.
此时sin2θ＝－1,2θ＝2kπ－π2.
∴θ＝kπ－π
4(k∈Z)．
2．(2012·烟台模拟)已知向量a＝(－1
2cos x，－x)，b＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b
在区间(0，π
2)上存在增区间，则t的取值范围为________．
答案(－∞，1 2)
解析f(x)＝a·b＝－1
2cos x－tx.
f′(x)＝1
2sin x－t，由f′(x)≥0，得
1
2sin x－t≥0，∴t≤1
2sin x.
∵f(x)在区间(0，π
2)上存在增区间，
∴t应小于1
2sin x在(0，
π
2)上最大值，即t<
1
2.
3．(2012·湖北文)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈(1
2，1)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π
4，0)，求函数f (x )的值域．
解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π
6)＋λ，
由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π
6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋1
3(k ∈Z )．
又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝5
6. 所以f (x )的最小正周期是6π
5.
(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)，得f (π
4)＝0.
即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π
4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π
6)－2，函数f (x )的值域为 [－2－2，2－2]．
4．(2012·四川理)函数f (x )＝6cos 2ωx
2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为
图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．
(1)求ω的值及函数f (x )的值域；
(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈(－103，2
3)，求f (x 0＋1)的值．
解析 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin(ωx ＋π
3)． 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4. 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π
4. 函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝83
5，由(1)有
f (x 0)＝23sin(πx 04＋π3)＝835，即sin(πx 04＋π3)＝4
5. 由x 0∈(－103，23)，知πx 04＋π3∈(－π2，π
2)． 所以cos(πx 04＋π
3)＝
1－(45)2＝35.
故f (x 0＋1)＝23sin(πx 04＋π4＋π
3) ＝23sin[(πx 04＋π3)＋π
4]
＝23[sin(πx 04＋π3)cos π4＋cos(πx 04＋π3)sin π
4] ＝23×(45×22＋35×22)＝76
5.
5．已知△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝2π3，∠BAC ＝x ，记f (x )＝AB →·BC →.
(1)求函数f (x )的解析式及定义域；
(2)设g (x )＝6m ·f (x )＋1，x ∈(0，π3)，是否存在正实数m ，使函数g (x )的值域为(1，5
4]？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
解析 (1)由正弦定理，得BC sin x ＝1sin 2π3＝AB
sin (π
3－x )
.
∴BC ＝
1
sin 2π3sin x ，AB ＝sin (π
3－x )
sin 2π3
.
∴f (x )＝AB →·BC →＝AB ·BC ·cos π3＝43sin x ·sin(π3－x )·12＝23(32cos x －12sin x )·sin x ＝13
sin(2x ＋π6)－16(0<x <π3)．
(2)g (x )＝6m ·f (x )＋1＝2m sin(2x ＋π6)－m ＋1(0<x <π3)．
假设存在正实数m 符合题意，∵x ∈(0，π3)， ∴π6<2x ＋π6<5π6，∴sin(2x ＋π6)∈(12，1]． ∵m >0，
∴函数g (x )＝2m sin(2x ＋π6)－m ＋1的值域为(1，m ＋1]．
又函数g (x )的值域为(1，54]，∴m ＋1＝54，解得m ＝14.∴存在．。