湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题5

习题五

1．请举出5个日常生活中可以用图来描述的实例.

解：若V(G)表示中国的城市集合，E(G)表示城市间的道路集合，e 表示u 城到v 城的道路，ψG 代表ψG (e)=uv 这种关联函数全体，则所定义的图G 是中国国内的交通图。类似地可定义国内的通讯网络图，某城居民的亲属关系图，比赛中的比赛关系图，图书馆的藏书分类图等。 2．设()q p G ,是简单二分图, 求证：4/2p q ≤

分析：简单完全二分图K(m,n)的边数为m*n ，因此对于简单二分图V （m,n ）边数q ≤m*n 证明：设m p V m V V V G q p G -===2121,),,(),(，不妨设m p m ≤-。

则 )(m p m q -⋅≤

2m pm -=

22)2

(4m p p --= 因为 0)2

(

2≥-m p

，所以 4/2p q ≤。 3．设()q p G ,是简单图, 求证：()12/1-≤p p q 在什么情况下, ()12/1-=p p q ？

分析：利用简单图()q p G ,的边数q ≤简单完全图()q p G ,的边数即可有下述解。

解：因),(q p G 是简单图。所以G 中任意两颗点之间最多只有一条边。故

2/)1(2

-=≤p p C q p 。所以当),(q p G 为完全图时，有2/)1(-=p p q 。

4．试画出四个顶点的所有非同构的简单图。

分析：利用图的同构和无标记图的定义即可有如下解。 解：共有11个。.如下图所示。

(1) (2) (3) （4）

(5) (6) (7) (8)

(9) (10) (11)

5．证明图5. 14中的两个图是同构的, 图5.15中的两个图不是同构的. 试问, 图5.16中的两个图是否同构？

分析：利用图同构的定义可判断。 解：（1）如下图所示，令')(x x =ϕ

其中}',',',',',',',',','{'},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a x j i h g f e d c b a x ∈∈则可判断两图是同构的。

（2）如下图，若两图同构，则对任何双射，),,,,(),,,,(w v u y x e d c b a =ϕ

，

，，于是推出必有v b y e u a ===)()()(ϕϕϕ但b 与v 的不同，所以(a)与(b)不同构。

f

h

b '

f '

图

）（Petersen a ）

（b

（

3）图5.16中两个图是同构。如下图所示，

令,

)

(x

x'

=

σ}

,

,

,

,

,

,

{g

f

e

d

c

b

a

x∈，}

,

,

,

,

,

,

{g

f

e

d

c

b

a

x'

'

'

'

'

'

'

∈

'

则可判断两图是同构的。

6．设()q p

G,是简单图, 且G

G≅求证0

≡

p或1()4

mod.

分析：两个图同构的话，则它们的边数应该相等；又一个图同它的补图的边的和等于完全图的边数。

证明：G

G≅

，∴)

(

)

(G

E

G

E=且)1

(

2

1

)

(

)

(-

=

+p

p

G

E

G

E。

于是=

=)

(

)

(G

E

G

E)1

(

4

1

-

p

p。显然)

(G

E是整数。于是p或1

-

p是4的倍数。

因此，0

≡

p或)4

(mod

1

≡

p。

7．构造一个简单图G, 使得G

G≅.

分析：由第6题结论有0

≡

p或1()4

mod，定p=5，可得如下得图G及其G的补图。解：如下图G，令5

,4

,3

,2

,1

,=

↔

'i

i

i，则有G≌G。

b

d x v

y ）

（b

15

.5

图

c c'

f'

G

53''

8．求证：对任何图()q p G ,, 有：()()G p q G ∆≤≤/2δ

分析：利用图的最大度和最小度的概念以及图中所有顶点的度之和等于边的两倍可证。 证明： ∵ ∑==

p

i i

v d q 1

)(2 而 )()()(G v d G i

∆≤≤δ

∴ ∑=∆⋅≤≤

⋅p

i i

G p v d G p 1

)()()(δ

因此 ∑=∆≤≤p

i i G v d p G 1

)()(1)(δ

即 )(/2)(G p q G ∆≤≤δ。

9．设()q p G ,是简单图, 2≥p , 求证, G 中至少有两个顶点的度数相等. 分析：简单图是没有环和多重边的图。

证明：设),(q p G 中任何顶点的度均不相等, 则p 个顶点的度分别为0,1,2,…,1-p 。

（1）设0)(=i v d ，则),(q p G 中存在孤立点i v ；

（2）设1)(-=p v d j ，则),(q p G 中无顶点v 满足0)(=v d ，此与（1）矛盾。 总之，0和1-p 不能同时出现。由抽屉原理知，必有j i G V v v j i ≠∈),(,，使)()(j i v d v d =。 10．求证：在图()1,+p p G 中, 至少有一个顶点υ, 满足()3≥υd . 分析：利用图中所有顶点的度之和等于边的两倍可证。 证明：若对任意)(G v v ∈，均有2)(≤v d ，则有

∑=≤==+p

i i p v d q p 1

2)(2)1(2

即p p 2)1(2≤+，也即p p ≤+1。从而01≤，矛盾。故存在)(G v v ∈，使3)(≥v d 。 11．求证：在任何有()2≥n 个人的人群中, 至少有两个在其中恰有相同个数的朋友.

分析：作一个n 阶简单图G ，n 个顶点分别表示n 个人。两个人是朋友当且仅当表示这两个人的

顶点邻接。这样，问题就转化成G 中至少有两个顶点的度数相等。此结论题9已证。 12．求证：每一个p 阶简单图G , 都与p K 的子图同构. 证明：因任何一个p 阶简单图p k G ≤。又G G ≅。故结论成立。

13．求证：任何完全图的每个点导出子图仍是完全图. 证明：由点导出子图的定义及完全图的结构即知结论成立。