等五校2018届高三第三次五校联考数学(文)试题 含答案

高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的)
1.设全集{}{}{}0,1,2,3,4,1,2,1,3U U C A B ===，则A
B 等于（ ）
A ．{}2
B ． {}1,2,3
C ． {}0,1,3,4
D ．{}0,1,2,3,4
2.在等比数列{}n a 中，1241
,23
a a a =
=，则5a 等于（ ） A ．43 B ． 63 C ． 83 D ．163
3.在ABC ∆中，0,120a A ==，则角B 的大小为（ ）
A ． 30°
B ． 45°
C ． 60°
D ．90°
4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3
A π
>，则sin A >
．则下列命题为真命题的是（ ）
A ． p q ∧
B ． ()p q ∧⌝
C ． ()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨
5.已知曲线()2
1
ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）
A ．
32 B ． 32- C ． 34- D ．43
6.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．
23 B ． 34 C ．13 D ．1
4
7.若数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
A ． -3
B ．-4
C ． 6
D ．-6 8.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫
-
=∈ ⎪⎝⎭
，则cos 2α的值为（ ） A ．
45 B ．45- C ． 35 D ．35
- 9.已知函数()()sin ,08f x x x R πωω⎛
⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
A ． 向左平移
34π个单位长度 B ．向右平移34π个单位长度 C ．向左平移316π个单位长度 D ．向右平移316
π
个单位长度
10.函数()
32x
y x x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥=
=，则AC AD 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有
()()23f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()1
32
f x x '+
<，若()()27
392
f m f m m +--≤+
，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． 3,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭ B ．12⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
， C ． [)1-+∞，
D ．[)2-+∞，
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）
13.已知函数()3
sin ,02
1log ,0
6
x x f x x x π⎧
≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
，则(f f ⎡⎤=⎣⎦
__________．
14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-，且,b//c a c ⊥，则
a b +=__________．
15.设实数,m n
满足
64
m n
+=mn 的最小值为 ____________． 16.已知数列{}n a 的通项公式()(),14182,2
n
n a n a n a n =⎧⎪
=⎨+--≥⎪⎩，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设数列{}n a 满足14n n a a +=+，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n b 为n a 与1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知向量
()()2,,,1m b c a bc n b c =++=+-，且0m n =．
（1）求角A 的大小 ；
（2）若3a =，求ABC ∆的周长的最大值． 19.（本小题满分12分）
已知函数()2
cos 22sin 2sin f x x x x =++．
（1）将函数()2f x 的图像向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦，求函数()g x 的值域；
（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足
()
2,2sin b f A b A ==+=，求ABC ∆的面积．
20.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式．
（2）设2
n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21. (本小题满分12分）
设p ：()1f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立；q ：函数()2ln a
g x ax x x
=-+在其定义域上存在极值．
（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知曲线 ()x ax
f x e
=
在0x =处的切线方程为y x b =+． （1）求,a b 的值；
（2）若对任意()2
131,,2263x f x m x x ⎛⎫
∈< ⎪+-⎝⎭
恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题
二、填空题 13． 14. ()3,5 三、解答题
17．解：（1）由14n n a a +=+可得14n n a a +-=，所以，数列{}n a 是公差为4的等差数列， 又11a =，所以()11443n a n n =+-⨯=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）因为n b 为n a 与1n a +的等比中项，所以21n n n b a a +=，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以()()21111111434144341n n n b a a n n n n +⎛⎫
===- ⎪-+-+⎝⎭
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以
()(
)12
111111
11111
1111559913
43414559
434111144141
n n n T a a a a n n n n n n n +⎛⎫
=
++
=++++
=-+-+
+
- ⎪⨯⨯⨯-⨯+-+⎝⎭
⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭
又()0,A π∈，所以23
A π=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （
2）由（1）
及3a =，得()()()2
2
2
2222324b c a b c bc b c bc b c b c +⎛⎫
=++=+-≥+-=+ ⎪
⎝⎭
，
所以()2
12b c +≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以3b c a b c +≤++≤+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故ABC ∆的周长的最大值3+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：()2
cos 22sin 2sin f x x x x =++
()cos 21cos 22sin x x x =+-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
12sin x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（1）平移可得()2sin 213g x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x π
ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当12
x π
=
时，()min 0g x =
；当5
12
x π=
时，()max 3g x =．
．．．．．．．．．．．．
6分 ∴所求值域为[]0,3．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（22sin b A =2sin sin A B A =，．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴sin B =
，∵02B π<<，∴3
B π
=，由()1f A =得sin A =
4
A π
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由正弦定理得：a =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴11sin 222ABC S ab C ∆=
==
．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）因为1220n n a S ++-=，
所以，当2n ≥时，1220n n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，即111
220,2
n n n n n a a a a a ++-+==．．．．．．．．．．．．．3分
又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，所以2111
22
a a ==，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以{}n a 是以首项11a =，公比1
2
q =
的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，2
1
4
n n n n
b na -==
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123114444n n n n n
T ---=+++++，①
3231442444
n n n n n
T ---=+++++，②．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②—①得
321111354444n n n n n
T ---=+
+++-，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1
1634
334n n -+=-
⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为1
1634
994
n n n T -+=-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）因为10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立，所以1
a x ≥-，
所以max 112a x ⎛⎫≥-
=- ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）对于q ，()()222
222ln ,a a ax x a
g x ax x g x a x x x x ++'=-+=++=，
若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意； 若0a <，则1
0a
-
>，由2440a ∆=->，解得10a -<<， 所以，若q 为真命题，则10a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，
①p 真q 假时，12
01a a a ⎧
≥-
⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥， ②p 假q 真时，12
10
a a ⎧<-⎪
⎨⎪-<<⎩，解得112a -<<-， 综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛
⎫--
+∞ ⎪⎝⎭
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意得()()
1x
a x f x e -'=
，因曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x b =+，
所以，得()011
a
f '=
=，即1a =，又()00f =，从而0b =．
．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）由（1）知()2
163x x f x e m x x =
<+-对任意13,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立， 所以2630m x x +->，即236m x x >-，对任意13,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
恒成立，从而9
4
m ≥-．．．．．．．．．．．．．6分 又不等式整理可得2
36x e m x x x <+-，令()236x e g x x x x
=+-， 所以()()()()2
216116x x e x e g x x x x x -⎛⎫
'=+-=-+ ⎪⎝⎭
，令()0g x '=，得1x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
同理，函数()g x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以()()min 13m g x g e <==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上所述，实数m 的取值范围是9,34e ⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。