7.5 补充例题
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补充1 包糖机某日开工包了12包糖, 称得重量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505, 513,521, 520,512,485. 假设重量服从正态分布, 且标准差为 10, 试求糖包的平均重量 的1
置信区间 (分别取 0.10 和 0.05).
S12 1 , 2 S F / 2 ( n1 1, n2 1) 2 S1 1 2 S2 F1 / 2 ( n1 1, n2 1)
2
1 1 F / 2 (8, 5) F0.01 (8, 5) , F0.99 (5, 8) 6.63
0.245 , 0.357 10.3
当置信度 1 较大时, 置信区间也较大 .
N 补充2 设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自正态总体 ( , ) 的样本, 其中 2 和 为未知参数, 设随机变量 L 是
2
关于 的置信度为 1 的置信区间的长度 , 求 E ( L2 ).
解
当 2未知时,
2 2
0.98下, 试求这两台机床加工精度之比 1 2 的置 信区间.假定测量值都服从正态分布, 方差分别为
2 12 , 2 .
解
n1 9,
n2 6,
0.02,
F1 / 2 ( n1 1, n2 1) F0.99 (8, 5) 10.3,
Biblioteka Baidu
1 于是得 的一个置信度为0.98 的置信区间 2
的置信度为 1 的置信区间为
S t / 2 ( n 1) , X n
2S 置信区间长度 L t / 2 ( n 1), n
4S 2 2 [t / 2 ( n 1)]2 , L n 1 n 2 2 又 E( S ) E ( Xi X ) n 1 i 1
0.245 6.63 0.258, 2.133. 0.357
方差 2 的置信区间
(78.97, 453.64);
标准差 的置信区间 (8.87, 21.30 ).
补充4 甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲 加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件 中抽取6个样品, 并分别测得它们的长度(单位:mm),
由所给数据算得 s1 0.245, s2 0.357, 在置信度
2 1 n 2 2 2 2 [ ] n , n 1 i 1 n
4S 2 2 2 于是 E ( L ) E n [t / 2 ( n 1)]
4 4 2 2 [t / 2 ( n 1)] E ( S ) [t / 2 ( n 1)]2 2 . n n
1 n 2 2 E X i nX n 1 i 1
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1
1 n 2 2 [ D( X i ) E ( X i )] n[ D( X ) E ( X )] n 1 i 1
解
10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10 时, 1
查表得 z / 2 z0.05
2 1.645,
0.95,
附表1-1
x x
z / 2 502.92 10 1.645 498.17, n 12 z / 2 502.92 10 1.645 507.67, n 12
即 的置信度为 90% 的置信区间为
(498.17, 507.67).
( 2) 当 0.05 时, 1
2
0.975,
查表得
z / 2 z0.025 1.96,
附表1-2
同理可得 的置信度为 95%的置信区间为
(497.26, 508.58).
从此例可以看出,
当置信度 1 较小时, 置信区间也较小.
补充3 (续例1) 求例1中总体方差 2 和标准差 的
置信度为 0.95 的置信区间 . 0.025, 1 0.975, n 1 11, 解 2 2 查 2 ( n 1) 分布表可知 :
2 0.025
(11) 21.920,
2 0.975
(11) 3.816,
置信区间 (分别取 0.10 和 0.05).
S12 1 , 2 S F / 2 ( n1 1, n2 1) 2 S1 1 2 S2 F1 / 2 ( n1 1, n2 1)
2
1 1 F / 2 (8, 5) F0.01 (8, 5) , F0.99 (5, 8) 6.63
0.245 , 0.357 10.3
当置信度 1 较大时, 置信区间也较大 .
N 补充2 设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自正态总体 ( , ) 的样本, 其中 2 和 为未知参数, 设随机变量 L 是
2
关于 的置信度为 1 的置信区间的长度 , 求 E ( L2 ).
解
当 2未知时,
2 2
0.98下, 试求这两台机床加工精度之比 1 2 的置 信区间.假定测量值都服从正态分布, 方差分别为
2 12 , 2 .
解
n1 9,
n2 6,
0.02,
F1 / 2 ( n1 1, n2 1) F0.99 (8, 5) 10.3,
Biblioteka Baidu
1 于是得 的一个置信度为0.98 的置信区间 2
的置信度为 1 的置信区间为
S t / 2 ( n 1) , X n
2S 置信区间长度 L t / 2 ( n 1), n
4S 2 2 [t / 2 ( n 1)]2 , L n 1 n 2 2 又 E( S ) E ( Xi X ) n 1 i 1
0.245 6.63 0.258, 2.133. 0.357
方差 2 的置信区间
(78.97, 453.64);
标准差 的置信区间 (8.87, 21.30 ).
补充4 甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲 加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件 中抽取6个样品, 并分别测得它们的长度(单位:mm),
由所给数据算得 s1 0.245, s2 0.357, 在置信度
2 1 n 2 2 2 2 [ ] n , n 1 i 1 n
4S 2 2 2 于是 E ( L ) E n [t / 2 ( n 1)]
4 4 2 2 [t / 2 ( n 1)] E ( S ) [t / 2 ( n 1)]2 2 . n n
1 n 2 2 E X i nX n 1 i 1
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1
1 n 2 2 [ D( X i ) E ( X i )] n[ D( X ) E ( X )] n 1 i 1
解
10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10 时, 1
查表得 z / 2 z0.05
2 1.645,
0.95,
附表1-1
x x
z / 2 502.92 10 1.645 498.17, n 12 z / 2 502.92 10 1.645 507.67, n 12
即 的置信度为 90% 的置信区间为
(498.17, 507.67).
( 2) 当 0.05 时, 1
2
0.975,
查表得
z / 2 z0.025 1.96,
附表1-2
同理可得 的置信度为 95%的置信区间为
(497.26, 508.58).
从此例可以看出,
当置信度 1 较小时, 置信区间也较小.
补充3 (续例1) 求例1中总体方差 2 和标准差 的
置信度为 0.95 的置信区间 . 0.025, 1 0.975, n 1 11, 解 2 2 查 2 ( n 1) 分布表可知 :
2 0.025
(11) 21.920,
2 0.975
(11) 3.816,