初中几何证明题五大经典含问题详解

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经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）

证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE ∵EG⊥CO，EF⊥AB

∴∠EGO=90°，∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG ∴FGEO=HGGO

∵GH⊥AB，CD⊥AB ∴GH∥CD

∴CDCOHGGO?

∴CDCOFGEO?

∵EO=CO ∴CD=GF

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。

求证：△PBC是正三角形．（初二）

证明：作正三角形ADM，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°，∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形

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3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN∥AD，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM∥BC，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G ∵OG⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB⌒

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC ∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD⊥BC，OM ⊥BC，OG⊥AD ∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°

∴BO=2OM

由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

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2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ．证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF ∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG ∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180°

∴∠FCQ=∠QAF ∴F、C、A、Q四点共圆

∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG ∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D，∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ∴

DFBGFD2BG2DCBEADAB

∴△ABG∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN，

∴OA⊥MN 又OG⊥BE，

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ≌△OAP ∴AP=AQ

在△AEP和△AF ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP≌△AFQ ∴AP=AQ

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4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP（初二）

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM

同理△AMC≌△CND ∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°