3.4 基本不等式

第10课时 课题: §3.42a b

ab +≤

（1）

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 【教学重点】

2a b

ab +≤

的证明过程；

【教学难点】

2a b

ab +≤

等号成立条件

【教学过程】 一.课题导入

2a b

ab +≤

的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 二.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角

形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的

和是2ab ，正方形的面积为22

a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2

2

2a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有

222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果

)""(2R,,2

2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为 2

22)(2b a ab b a -=-+

当

22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时

所以，0)(2

≥-b a ，即

.2)(22ab b a ≥+ 4．12a b

ab +≤

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，

(a>0,b>0)2a b

ab +≤

22a b

ab +≤

用分析法证明：

要证 2a b

ab +≥只要证 a+b ≥ (2)

要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2

（4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

32a b

ab +≤

的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于

AB 的弦DE ，连接AD 、BD 2a b

ab +≤

的几

何解释吗？

易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD2＝ＣA ·ＣB

即ＣD ＝ab .

这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab

b

a ≥+2，其中当且仅当点C 与

圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.

2a b

ab +≤

几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把2b

a +看作是正数a 、

b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，

那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称2b

a+

为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)

y

x

x

y

+

≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

分析：在运用定理：

ab

b

a

≥

+

2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把

握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数∴y

x

＞0，x

y

＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1)

x

y

y

x

x

y

y

x

⋅

≥

+2

＝2即

x

y

y

x

+

≥2.

(2)x＋y≥2xy

＞0 x2＋y2≥2

2

2y

x

＞0 x3＋y3≥

2

3

3y

x

＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2

xy

·2

2

2y

x

·2

3

3y

x

＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

三.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：

ab

b

a

≥

+

2（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结

果.

解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2

ab＞0

b＋c≥2

bc＞0

c＋a≥2

ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2

ab·2bc·2ac＝８abc